Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale

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1 Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale 1. Risolvere, nel campo reale, le seguenti equazioni di secondo grado: (a) 81x 0; (b) (x 1) 7x ; (c) 7x x 0; (d) x x + 0; (e) (x + )(x ) 6x x ; (f) (x 1) x(x ) ; (g) (x + ) 10 (h) + x + x x 1 1 x ; (i) x x 7 0; (j) x x (x + )(x ) x;. (a) Determinare due numeri reali aventi come somma e come prodotto 10; (b) Risolvere il sistema seguente nelle incognite u, v: { u + v uv 1. Risolvere, nel campo reale, le seguenti equazioni riconducibili ad equazioni di secondo grado (fratte o biquadratiche): (a) 1 x 1 x 1; (b) x + 1 x 1 x + x x + 0; (c) x x + 0; (d) x + x 0.. Determinare per quali k R (k 1) l'equazione (k + 1)x kx + k + 0 (a) ammette una soluzione nulla ovvero è un'equazione spuria; (b) è un'equazione pura; (c) ammette soluzioni reali; (d) ammette una soluzione x ; (e) ha una radice uguale a diminuito dell'altra radice; (f) ha una radice che è l'antireciproco dell'altra. 1

2 Risoluzione esercizi 1. (a) L'equazione 81x 0 è un'equazione di secondo grado pura. Trasportando il termine noto al secondo membro e dividendo ambo i membri per 81, si ha: x 7 81 x ± 81 x ± (b) Eliminando la parentesi al primo membro e trasportando i termini dal secondo al primo membro, si ha: x 7x + 0 da cui, sommando i termini simili al primo membro si otttiene la forma normale dell'equazione data da x 7x 0 che rapprersenta un'equazione spuria le cui soluzioni sono x 1 0 ed x 7/. (c) Ricordiamo che, un'equazione di secondo grado completa in forma normale ax + bx + c 0, ammette le soluzioni x 1, b ± a con b ac e che tali soluzioni sono reali se 0 eventualmente coincidenti se vale l'uguale. Nel caso in esame abbiamo a, b, c sicché il discriminante ( ) 7 ( ) > 0 per cui si hanno due soluzioni reali e distinte date da x 1, ( ) ± 81 7 ± 1 e, quindi, x , x (d) Procedendo come nel caso precedente (tenendo conto che a 1, b, c ), si ha: 8 17 > 0 l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte Applicando la formula risolutiva, si ha: x 1, ± 17 (e) L'equazione (x + )(x ) 6x x va dapprima portata in forma normale per poi procedere come nei casi precedenti. Così facendo si ha: (x+)(x ) 6x x x 6x x+ 0 x 7x 1 0 Risulta 7 1 ( 1) + > 101 > 0 per cui l'equazione ammette due soluzioni reali distinte date da x 1, 7 ± 101.

3 (f) Procedendo in modo analogo al caso precedente, si ha: (x 1) x(x ) x x + x 1 x x x x + x 1 x + x + 0 x + 8x Poichè il coeciente b della x ha la forma k, è applicabile la b ± formula risolutiva ridotta x 1, ( b con a ) ac. Tornando all'equazione che si sta risolvendo (essendo a, b 8, c 1), si ha che ( ) > 0 per cui si hanno le due soluzioni reali e distinte x 1, ± 1 1 ovvero x 1 1, x + 1 (g) Conviene dapprima eliminare i denominatori tenendo conto del fatto che il mcm tra di essi è 0: (x + ) x (x + )(x ) 1 x 10 (x + ) ( x) 0 (x + )(x ) 0x 0 0 (x + x x 0) (x ) 0x x + 8x x 0 0x x 8x 0 Quest'ultima è un'equazione spuria avente le soluzioni x 1 0 8/ che risolvono anche l'equazione di partenza data ed x l'equivalenza con l'ultima scitta. (h) Procedendo analogamente al caso precedente, si ha: + x +x 1 x 1 + x + x (1 x ) 1+x +x x 1 + x + x + x 0 10x + x + 0. Risulta < 0 per cui l'equazione non ammette soluzioni reali. (i) L'equazione è nella forma canonica ax + bx + c 0 con a, b, c 7 e, potendo applicaremula risolutiva ridotta, si ha: ( ) b ac ( ) > 0 per cui l'equazione ammette le due soluzioni reali date da. x 1, b ± a ± 16 ±

4 (j) Procedendo come nel caso precedente applicando la formula risolutiva ridotta, si ha: ( ) > 0 x 1, 1 ± 81 1 ± e, in deni- da cui, razionalizzando il rapporto, x 1, (1 ± ) tiva, x 1 8, x 6.. (a) I numeri cercati rappresentano le soluzioni x 1, x dell'equazione x sx + p 0, x 1 + x s, x 1 x p Nel caso in esame s e p 10 sicché l'equazione da risolvere è x x 10 0 x 1, ± 1 avendo applicato la formula risolutiva ridotta. In denitiva, i numeri cercati sono 1 e + 1. (b) Il sistema simmetrico in questione è riconducibile ad una equazione di secondo grado: x x 11 0 x x 1 0 x 1, ± + ± 6 avendo applicato ancora la formula risolutiva ridotta nel risolvere l'equazione. Ne consegue che le soluzioni del sistema sono, allora, date da u 6 v + 6 u + 6 v 6. (a) Anché l'equazione non perda di signicato, deve aversi che i denominatori siano non nulli e, cioè, deve risultare x 0. Ciò premesso, si ha: 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x x x Risulta 1 < 0 per cui l'equazione non ammette soluzioni reali. (b) Anché l'equazione non perda di signicato deve aversi che i denominatori siano non nulli che è racchiudibile nella condizione x 0 x ± essendo x (x + )(x ) il mcm tra i denominatori. Sotto la condizione imposta possiamo procedere come segue:

5 x + 1 x 1 0 x x + 0 x + 1 (x + ) + x(x ) (x + )(x ) x + 0 (x + )(x ) x +1 x +x x 0 x x 1 da cui, applicando la formula risolutiva essendo 17 > 0, x 1, ± 17 entrambe accettabili poiché diverse da ±. (c) Posto t x, l'equazione si scive come t t + 0 t 1, ± ± 7 / R per cui l'equazione di quarto grado data non ammette alcuna soluzione reale. (d) Posto t x, l'equazione si scive come t + t 0 t 1, ± 7 avendo applicato la formula risolutiva ridotta. Dalla sostituzione fatta, si ricava x ± t 1, sicché x ± t 1 7 / R in quanto 7 < 0 essendo < 7; x ± t + 7. le soluzioni reali dell'equazione di quarto grado sono, allora, x e x In tutta la trattzione seguente ci riferiamo ad un'equazione della forma ax + bx + c 0 con a k + 1, b k, c k +. Ciò premesso, passiamo alle risposte ai quesiti posti. (a) L'equazione è spuria se c 0 che, nel nosto caso, conduce alla condizione k + 0 da cui k. (b) Ricordando che un'equazione di secondo grado è pura se b 0, si ottiene la condizione k 0 da cui k 0. (c) Un'equazione di secondo grado ammette soluzioni reali se 0. Nel nostro caso, tenendo presente che b è della forma α, si ha: ( ) b ( ) k (k) ac (k + 1)(k + ) k (k + k + k + ) k (k + k + ) k k k k. Imponendo0 la condizione 0, si perviene alla disequazione k 0 da cui k.

6 (d) Sostituendo x nell'equazione, si ha: (k + 1) k + k + 0 (k + 1) k + k + 0 k + k + k + 0 k k 6 (e) Indicate, al solito, con x 1 e x le soluzioni (radici) dell'equazione, dire che una radice è uguale a diminuito dell'altra radice, conduce all'uguaglianza x 1 x x 1 + x da cui, tenendo presente che x 1 + x b, per confronto tra le a ultime due relazioni scritte, si ha: b a b a Tenendo presente che a k + 1, b k, si ottiene: k k + 1 k k + 1 k (k + 1) k (k + 1) k k + k k k k (f) Indicate ancora con x 1, le radici, una soluzione è l'antireciproco dell'altra se risulta x 1 1 x x 1 x 1 Ricordando che x 1 x c a scritte, si ha: per confronto tra le due ultime relazioni da cui c a 1 k + k esssendo a k + 1, c k + k+ (k+1) k+ k 1 k+k 1 k e, dividendo per ambo i membri dell'ultima equazione scritta, si determina k. 6