Equazioni con valore assoluto

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1 Equazioni del tipo A(x) =a, con a Є R Equazioni con valore assoluto 1. a<0: l'equazione A(x) =a non ammette soluzioni in quanto nel membro di sinistra si avrebbe una valore maggiore o uguale a zero e nel membro di sinistra un valore negativo 2. a=0: l'equazione A(x) =0 è equivalente all'equazione A(x)=0 3. a>0: per determinare le soluzioni dell'equazione A(x) =a bisogna studiare i casi seguenti: A(x)=a per i valori di x per i quali A(x)>=0. Questo corrisponde allo studio del sistema A(x)>=0 A(x)=a A(x)=a per i valori di x per i quali A(x)<0.Questo corrisponde allo studio del sistema A(x)<0 A(x)=a (equivalente a A(X)= a) L'insieme delle soluzioni dell'equazione è l'unione degli insiemi delle soluzioni di entrambi i sistemi. Questo significa che per risolvere l'equazione iniziale si risolvono le due equazioni A(x)=±a Esempio 1: x+3 = 5 : nessuna soluzione perché x+3 è uguale a 0 per x=3, mentre per tutti gli altri valori di x è maggiore di 0, quindi non potrà mai essere uguale a -5 Esempio 2: x+3 = 0 : la soluzione è x=3 Esempio 3: x+3 = 5 : bisogna studiare i sistemi seguenti: x 3=5 x 3 0 La soluzione dell'equazione è x= 2 che è compatibile con la disequazione x<=3. L'altro sistema da studiare è: x 3=5

2 x 3 0 La soluzione dell'equazione è x=8 che è compatibile con la disequazione x+3<0. In definitiva, la soluzione della equazione iniziale è x=8 V x=-2 Se si risolvono le equazioni x 3=± 5 si ottiene lo stesso risultato. Verificare! Equazioni del tipo A(x) =B(x) Analogamente a quanto scritto precedentemente, bisogna considerare il segno di A(x): per i valori di x che rendono bisogna studiare l'equazione A x =B x per i valori di x che rendono bisogna studiare l'equazione A x =B x Questo significa studiare i sistemi A x =B x A x =B x Esempio 4 (es. n.387 pag. 57): x 2 9 = 4x 4 I sistemi da studiare sono i seguenti: x x 2 9<0 x 2 9= 4x 4 x 2 +9= 4x 4 Primo sistema: l'equazione è verificata per x=1 e per x= 5, ma la disequazione è verificata per x 3 V x 3, quindi solo il valore -5 è accettabile. Secondo sistema: l'equazione è verificata per x=2 17 e x=2 17 mentre la disequazione è verificata per 3<x<3, quindi solo il valore 2 17 è compreso tra -3 e 3. In definitiva, l'equazione è verificata per x=5 e x=2 17 Equazioni con più valori assoluti Se ci sono più valori assoluti da studiare, bisogna considerare tutte le combinazioni di segno delle diverse espressioni all'interno dei valori assoluti. E' conveniente allora fare uno schema che riassuma il segno di ciascuna espressione all'interno dei valori assoluti. Partiamo da un esempio: x 2 +2x+3 = x+3 Si studia il segno di x 2 +2x+3 e di x+3 e si riporta in uno schema quanto trovato.

3 Segno di x 2 +2x+3 (si tratta di un polinomio di secondo grado che si studia come al solito) x 2 2x 3 0 per 1 x 3 x 2 2x 3 0 per x 1 V x 3 Segno di x+3 x 3 0 per x 3 x 3 0 per x 3 Riportiamo su uno schema queste informazioni, utilizzando la notazione solita (linea tratteggiata = segno negativo, linea continua= segno positivo, pallino=valore nullo): segno di -x 2 +2x+3 segno di -x Per x 1 il polinomio di secondo grado è negativo, quindi bisogna considerarlo con il segno cambiato. Si studia perciò l'equazione ( x 2 +2x+3)= x+3. Questa ha come soluzione i valori -2 e 3, ma solo il valore -2 soddisfa la disequazione x 1. In altre parole, si è studiato il sistema ( x 2 +2x+3)= x+3 x< 1 Per x= 1 l'equazione non è verificata (basta sostituire il valore -1 alla x) Per 1 x 3 entrambi i polinomi sono positivi. Si studia perciò l'equazione x 2 +2x+3=x+3. Questa ha come soluzione i valori 0 e 3, ed entrambi i valori 0 e 3 soddisfano la condizione 1 x 3. In altre parole, si è studiato il sistema x 2 +2x+3= x+3 x> 1 x<3 Per x=3 il primo e il secondo membro sono entrambi nulli, quindi il valore 3 è accettabile Per x 3 bisogna studiare l'equazione ( x 2 +2x+3)= ( x+3) che è equivalente all'equazione vista precedentemente x 2 +2x+3= x+3. Nessuna delle due soluzioni (0 e 3) soddisfa la disequazione x 3. In altre parole, si è studiato il sistema

4 x 2 +2x+3= x+3 x>3 In definitiva le soluzioni sono x= 2, x=0, x=3 Nel caso ci siano tre, quattro o più espressioni all'interno dei valori assoluti, si studia il segno di ciascna espressione e si procede in modo analogo. Esempio 5 (es. n. 400 pag. 57): x 1 x 1 = x 2 1 Poiché si tratta di un'equazione fratta bisogna studiare le condizioni di esistenza. In questo caso x deve essere diverso da 1 Lo schema relativo ai segni delle espressioni con valore assoluto è il seguente: segno di x+2 segno di x-1 segno di x Per x 2 tutte e tre le espressioni sono negative, quindi si deve cambiare il segno a tutte e si studia perciò il sistema x 1 1 x = x 2 1 x 2 Per x= 2 si ottiene 2+1=4-1 ossia 3=3, perciò x=-2 è una soluzione dell'equazione. Gli altri casi studiateli da soli :-)

5 Disequazioni con valore assoluto Per studiare una disequazione con valore assoluto bisogna tener conto di quanto studiato precedentemente. Disequazioni del tipo A(x) >B(x)(o con altri segni della disequazione) Si studiano i sistemi seguenti (in questo caso si tratta di due sistemi di disequazioni) e si considerano i valori appartenenti all'unione degli insiemi delle soluzioni: A x B x A x B x Esempio 6 (es. n.421 pag. 59): 3x+1 3(x+5)>2 Si arriva alla forma 3x+1 >3x+17 I sistemi da studiare sono: 3x 1 3x 17 3x 1 0 3x 1 3x 17 3x 1 0 Il sistema a sinistra è impossibile, mentre quello a destra ha come soluzione x< 3 Disequazioni del tipo A(x) <k (k reale e positivo) I sistemi da studiare sono: A x k A x k (equivalente a A(x)> k) Il primo sistema è verificato per 0<=A(x)<k e il secondo per k<a(x)<0, quindi l'unione degli insiemi delle soluzioni è k< A(x) <k Disequazioni del tipo A(x) <k (k reale e negativo o nullo) In questo caso la disequazione non ha soluzione in quanto, essendo A(x) >=0, non si potrà mai verificare che un numero positivo o nullo sia minore di un numero nullo o negativo

6 Disequazioni del tipo A(x) >k (k reale e positivo) I sistemi da studiare sono: A x k A x k (equivalente a A(x)< k) Il primo sistema è verificato per A(x)>k e il secondo per A(x)< k, quindi l'unione degli insiemi delle soluzioni è A(x)< k V A(x)>k Disequazioni del tipo A(x) >k (k reale e negativo) La disequazione è sempre verificata in quanto A x 0 Disequazioni del tipo A(x) >k (k nullo) La disequazione è verificata per tutti i valori di x (compatibilmente con le condizioni di esistenza di A(x)) tranne che per i valori per cui A(x)=0 Disequazioni con più valori assoluti Si procede come per le equazioni. Questa volta, però, si studiano sistemi di disequazioni. Esempio 7 (es. n.473 pag. 61): x x 8 x Si studiano i segni di ciascuna espressione all'interno dei valori assoluti, si costruisce il solito schema e, per ogni intervallo, si studia la disequazione opportuna. In altre parole, per ogni intervallo si studia un sistema di disequazioni. Lo schema è il seguente: segno di ½x-8 segno di x Per x 1 entrambe le espressioni sono negative, quindi la disequazione da studiare è x x 8 x In altre parole, bisogna studiare il sistema:

7 x x 8 x x 1 Questo sistema ha come soluzione 14 3 x 1 Per x=1 si ottiene una diseguaglianza vera, quiindi x=1 è soluzione della disequazione Per 1 x 16 il sistema da risolvere è: x x 8 x x 1 x 16 Questo sistema ha come soluzione 1 x 16 Per x=16 si ottiene una diseguaglianza vera, quindi x=16 è soluzione della disequazione Per x 16 il sistema da risolvere è: x x 8 x x 16 che ha come soluzione x 16 Facendo l'unione tra gli insiemi delle soluzioni di tutti i sistemi si ottiene la soluzione x 14 3