0.1 Limiti per x tendente a un valore finito

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1 0.1 Limiti per x tendente a un valore finito Limite destro e ite sinistro finiti Dati una funzione reale f definita in D f e un numero reale x 0 [D f ]: Si definisce ite finito sinistro di f(x) per x tendente a x 0, o ite di f(x) per x tendente a x 0 da sinistra, e si scrive f(x) il numero reale l tale che sia verificata la seguente condizione: ε ]0, + [ δ(ε) ]0, + [ x ]x 0 δ(ε),x 0 [ f(x) ]l ε,l + ε[ f(x) l < ε includa l intervallo ]x 0 δ(ε),x 0 [, ossia un intorno sinistro Analogamente si definisce ite finito destro di f(x) per x tendente a x 0, o ite di f(x) per x tendente a x 0 da destra, e si scrive f(x) il numero reale l tale che sia verificata la seguente condizione: ε ]0, + [ δ(ε) ]0, + [ x ]x 0,x 0 + δ(ε)[ f(x) ]l ε,l + ε[ f(x) l < ε includa l intervallo ]x 0,x 0 +δ(ε)[, ossia un intorno destro Limite destro e ite sinistro infiniti Le definizioni appena date per il ite finito si estendono al caso in cui l assuma valore più o meno infinito. 1

2 Si dice che il ite sinistro di f(x) per x tendente a x 0 è e si scrive f(x) = E ]0, + [ δ(e) ]0, + [ x ]x 0 δ(e),x 0 [ f(x) ], E[ f(x) < E includa l intervallo ]x 0 δ(e),x 0 [, ossia un intorno sinistro Analogamente si danno le seguenti definizioni: Il ite sinistro di f(x) per x tendente a x 0 è + e si scrive f(x) = + E ]0, + [ δ(e) ]0, + [ x ]x 0 δ(e),x 0 [ f(x) ]E, + [ f(x) > E includa l intervallo ]x 0 δ(e),x 0 [, ossia un intorno sinistro Il ite destro di f(x) per x tendente a x 0 è e si scrive f(x) = E ]0, + [ δ(e) ]0, + [ x ]x 0,x 0 + δ(e)[ f(x) ], E[ f(x) < E includa l intervallo ]x 0,x 0 +δ(e)[, ossia un intorno sinistro 2

3 Il ite destro di f(x) per x tendente a x 0 è + e si scrive f(x) = + E ]0, + [ δ(e) ]0, + [ x ]x 0,x 0 + δ(e),x 0 [ f(x) ]E, + [ f(x) > E includa l intervallo ]x 0,x 0 + δ(e)[, ossia un intorno sinistro Limite generale Se la funzione f ammette ite sinistro e ite destro per x tendente a x 0 (sia che tale ite sia finito, sia che esso sia più o meno infinito) ed essi coincidono allora si dice che tale valore è il ite della funzione f per x tendente a x 0 : f(x) = f(x) = l f(x) = l x x + x x Esempi di verifica di ite Verificare il seguente ite: Svolgimento: x 0 x = 1 Si rileva preinarmente che la funzione, cosiddetta funzione segno, è x definita per ogni numero reale diverso da 0, assume valore -1 su tutto il semiasse negativo e valore +1 su tutto il semiasse positivo. Il ite è verificato se l insieme delle soluzioni della disequazione x + 1 < ε include un intorno sinistro di 0, escluso il punto 0 dove la funzione x non è definita. 3

4 L insieme delle soluzioni della disequazione suddetta equivale all unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi: x + 1 < ε e x x 1 < ε x + 1 < 0 ma, poiché x x 1 x 0 ossia la seconda disequazione del primo sistema è soddisfatta su tutto il dominio della funzione x e x + 1 < 0 x < 1 x ossia la seconda disequazione del secondo sistema non ha soluzione, è sufficiente trovare l insieme delle soluzioni della prima disequazione del primo sistema, ossia x + 1 < ε che corrisponde all unione delle soluzioni dei sistemi e x x + 1 < ε x 0 x x + 1 < ε < ε x > < ε 4 ε > 2 x > 0 ε > 0

5 Posto che ad ε deve potersi assegnare qualunque valore positivo, quindi piccolo quanto si vuole, il primo sistema risulta impossibile (basta assegnare a ε qualunque valore minore o uguale a 2). Il secondo sistema è invece soddisfatto per x ], 0[, quindi per qualunque intorno sinistro di 0, escluso 0, pertanto il ite è verificato. 5