8 Valore assoluto. 8.1 Definizione e proprietà

Transcript

1 8 Valore assoluto 8. Definizione e proprietà Si dice valore assoluto o modulo di un numero reale, e si indica con, il numero stesso se questo è positivo o nullo, altrimenti il suo opposto -, in simboli: se (8.) := se < quindi il valore assoluto è una funzione da R ad R + { }, cioè una relazione che associa ad ogni numero reale uno ed un solo numero reale non negativo. Ad esempio si ha: 3 = 3 poiché 3 ; 7 = ( 7) = 7 poiché 7 < ; =. Enunciamo ora le principali proprietà del valore assoluto. Per ogni coppia di numeri reali, y, con y diverso da zero nel caso compaia al denominatore, valgono le seguenti: (8.) (8.3) = = (8.4) = (8.5) (8.6) + y + y (disuguaglianza triangolare) (8.7) y y (8.8) y = y, y = (8.9) n n = per qualsiasi esponente n intero positivo. y Si osservi infine che nelle (8.6) e (8.7) valgono le disuguaglianze strette quando i numeri e y sono discordi.

2 Il grafico nel piano cartesiano di y = è riportato nella fig. 8. (si osservi che tale grafico riassume le (8.), (8.), (8.3), (8.4), (8.5)). 4 y y = 3 O fig y y = O fig. 8. Consideriamo ora il valore assoluto di una espressione incognita e quindi di cui non si conosce il segno. Se ad esempio tale quantità incognita è, funzione della variabile reale, il suo valore assoluto si determina utilizzando la definizione (8.) e risulta esprimibile nel modo seguente:

3 se - ossia se =. ( ) = se - < ossia se < Il grafico nel piano cartesiano di y = è riportato nella fig. 8.. In generale, indicando con f ( ) una qualsiasi funzione della variabile reale, il suo valore assoluto è il seguente: f ( ) se f ( ) (8.) f ( ) =. f ( ) se f ( ) < 8. Equazioni con valore assoluto Si consideri l equazione contenente un solo valore assoluto: (8.) f() = c dove c è un numero reale noto. Per quanto riguarda la risolubilità della (8.) sono possibili i seguenti casi: - se c < la (8.) non ha soluzioni, in quanto f() è una quantità sempre positiva o nulla; - se c = la (8.) si riduce all equazione f() = ; - se c >, per la (8.), si ottengono le due equazioni: (8.) f() = c per i valori di che rendono f() positiva o nulla (8.3) - f() = c per i valori di che rendono f() positiva o nulla. e l insieme delle soluzioni della (8.) è l unione degli insiemi delle soluzioni della (8.) e della (8.3). Esempio 8. Si consideri l equazione: (8.4) - 5 =. Per prima cosa si studia il segno della quantità -5, risolvendo la disequazione: - 5 (si veda il paragrafo 7.), le cui soluzioni sono: (8.5) 5 5. Dunque per gli che soddisfano la (8.5), la (8.4) diventa: - 5 = (per la (8.)), cioè si ottiene l equazione di secondo grado spuria: - 6 = il cui insieme di soluzioni è: S = { 6, 6}

4 (visto che entrambe le soluzioni dell equazione di secondo grado verificano la condizione (8.5)). Per i valori di che non soddisfano la (8.5), e quindi che rendono negativa la quantità - 5, ossia: (8.6) 5 < < 5 la (8.4) diventa: = (per la (8.3)), da cui: - 4 = il cui insieme di soluzioni è: S = {-, } (visto che entrambe le soluzioni dell equazione di secondo grado verificano la condizione (8.5)). Dunque l insieme delle soluzioni della (8.4) è: 6,,, 6. S = S S = { } Nel caso di un equazione contenente due o più valori assoluti si procede studiando i segni di ciascuna delle quantità di cui si considera il valore assoluto, come mostra l esempio seguente. Esempio 8. Si consideri l equazione: (8.7) = 4. Facendo riferimento alla fig. 8.3 che riassume i segni di ciascuna delle quantità tra valore assoluto, si deducono i seguenti casi: caso: se < - allora + < e - <, quindi la (8.7) diventa: = 4 perciò si ottiene il sistema misto: < 4 = 3 il cui insieme di soluzioni è: S = 4 3 ; caso: se - / allora + e -, quindi la (8.7) diventa: = 4 perciò si ottiene il sistema misto: = il cui insieme di soluzioni è: S = ;

5 3 caso: se > / allora + > e - >, quindi la (8.7) diventa: = 4 pertanto si ottiene il sistema misto: > 4 = 3 il cui insieme di soluzioni è: 4 S 3 = 3. L insieme S delle soluzioni della (8.7) si ottiene dall unione degli insiemi S, S, S 3 : S = 4 4, ½ fig Disequazioni con valore assoluto Soffermiamoci sul significato geometrico del valore assoluto di un numero reale. Se si considera sull asse reale di origine O un punto P di ascissa, allora misura la distanza di P da O (si veda la fig. 8.4). O P asse reale fig. 8.4 A O B - a a asse reale fig. 8.5

6 A O B - a a asse reale fig. 8.6 Dunque la disuguaglianza: (8.8) a con a R e a (si osservi che se a < la disuguaglianza (8.8) risulta impossibile) indica, geometricamente, che il punto P di ascissa si trova a sinistra o a destra di O sull asse reale ed ha distanza da O minore o uguale ad a (nella fig. 8.5 ciò significa che il punto P appartiene al segmento AB dell asse reale). Si deduce pertanto che il valore di deve essere compreso tra -a e a, in simboli: (8.9) a - a a. Analogamente, la disuguaglianza: (8.) a con a R e a (si osservi che se a < la disuguaglianza (8.8) risulta verificata per ogni reale) indica, geometricamente, che il punto P di ascissa sull asse reale ha distanza da O maggiore di a e quindi si trova, facendo riferimento alla fig. 8.6, o a destra di B, o a sinistra di A. Si deduce pertanto che il valore di è minore o uguale a -a, oppure maggiore o uguale ad a, in simboli: (8.) a - a a. Le (8.9) e (8.) possono essere generalizzate considerando al posto della variabile reale una qualsiasi funzione di questa, che possiamo indicare con f ( ), ottenendo le seguenti equivalenze: (8.) f () a -a f () a (8.3) f () a f () -a f () a Mostriamo ora tramite gli esempi 8.3 e 8.4 l utilità delle (8.) e (8.3) nella risoluzione di disequazioni in cui compare un solo valore assoluto. Esempio 8.3 Consideriamo la disequazione: (8.4) Per la (8.) si ha: pertanto le soluzioni della (8.4) si ottengono risolvendo il seguente sistema di disequazioni: Oppure, utilizzando la simbologia degli intervalli: [ a, a]. Oppure, utilizzando la simbologia degli intervalli: ] a ] [ a + [,,.

7 e quindi: 8 6 (8.5). 8 Poiché le soluzioni dell equazione di secondo grado associata alla prima disequazione di (8.5) sono, = 4± e quelle dell equazione associata alla seconda disequazione di (8.5) sono = e = 8, (8.5) è equivalente al sistema: (8.6). 8 Quindi le due disequazioni di (8.6) risultano contemporaneamente soddisfatte dagli reali seguenti (si veda la fig. 8.7: basta considerare gli intervalli evidenziati come soluzione in entrambe le disequazioni): che costituiscono l insieme delle soluzioni di (8.4) fig. 8.7 Esempio 8.4 Consideriamo la disequazione: (8.7) Per la (8.3) si ha: oppure e quindi la (8.7) è equivalente a: 8 oppure 8 6 e quindi le sue soluzioni sono le seguenti: 4 o 8 o 4 +. Gli esempi seguenti riguardano la presenza di due o più valori assoluti nella stessa disequazione. Esempio 8.5 Consideriamo la disuguaglianza:

8 (8.8) + + >. Per risolverla studiamo il segno delle quantità di cui viene considerato il valore assoluto: +. Rappresentiamo ora graficamente il segno delle due quantità tra valore assoluto: si veda la fig fig. 8.8 Dalla rappresentazione grafica in fig. 8.8 si deduce la necessità di analizzare tre casi separatamente: il primo di questi riguarda la risoluzione di (8.8) per gli minori di -, il secondo per gli maggiori o uguali a - e minori di, infine il terzo per gli maggiori o uguali a. In ciascuno di questi casi infatti, come mostra la fig. 8.8, si conosce il segno di ognuna delle espressioni tra valore assoluto e quindi è possibile eliminare il simbolo di valore assoluto utilizzando opportunamente la (8.): caso: < < < < + > > < caso: < < < > > 3 caso: + + > > > Unendo le soluzioni ottenute nei singoli casi si ottiene che ogni reale è soluzione della (8.8). Nell esempio seguente si hanno ancora più valori assoluti, ma annidati tra loro (cioè uno dentro l altro), per cui essendo la risoluzione algebrica (simile a quella utilizzata nell esempio precedente, ma con più casi da studiare) troppo complessa, si preferisce utilizzare la via grafica.

9 Esempio 8.6 Consideriamo la disuguaglianza: (8.9) 3 4 <. Per risolverla graficamente, tracciamo i grafici delle funzioni che compaiono nei due membri della (8.9). Il grafico della funzione al secondo membro, cioè di y =, è una retta orizzontale che interseca l asse delle ordinate nel punto (,). Per disegnare il grafico della funzione al primo membro procediamo per passi successivi, disegnando i grafici dei vari valori assoluti che compaiono in (8.9). Si parte da quello più interno, cioè si traccia il grafico di y = 3 che è riportato nella fig y y = O fig. 8.9 Quindi si disegna il grafico di y = 3, che si ottiene da quello della fig. 8.9 diminuendo di due unità l ordinata di ogni suo punto (si veda la fig. 8.).

10 y y = O fig y y = O fig. 8.

11 y y = O fig. 8. Si disegna poi il grafico di y = 3 che si ottiene da quello della fig. 8. ribaltando, rispetto all asse, la parte contenente punti con ordinate negative, per definizione di valore assoluto (si veda la fig. 8.). Quindi, si passa al grafico della funzione y = 3 4 che si ottiene da quello della fig. 8. diminuendo di quattro unità l ordinata di ogni suo punto (si veda la fig. 8.). Dopodiché si disegna il grafico di y = 3 4 che si ottiene da quello della fig. 8. ribaltando, rispetto all asse, la parte contenente punti con ordinate negative: tale grafico è riportato nella fig. 8.3, insieme a quello di y =. Dalla fig. 8.3 si deducono le soluzioni di (8.9) considerando le ascisse dei punti della parte di grafico della funzione y = 3 4 sottesa dal grafico di y =. Poiché i punti in cui i due grafici si intersecano hanno coordinate: (-4,), (-,), (8,), (,), le soluzioni della (8.9) sono le seguenti: 4 < < oppure 8 < <.

12 5 4 y y = y = 3 O fig. 8.3