La Disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni matematiche. contenente almeno un incognita:

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1 Definizione La Disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni matematiche contenente almeno un incognita: Esempio: 5x+2>0 Tutorial di Paola Barberis - agg. 2011

2 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO: ax+b>0 ax+b<0 Si risolvono come le equazioni applicando i Principi di EQUIVALENZA Esempio 5x+2>0 trasporto >-2; x>-2/5 5x>-2 MA: Se moltiplico o divido per un numero negativo Il verso CAMBIA!!! Esempio: -3x+4>0 ; cambio tutti i segni e il verso +3x-4<0; +3x<+4; x<+4/3

3 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO +ax 2 +bx+c>0 +ax 2 +bx+c<0 Forma normale SE a<0 si consiglia per evitare errori di cambiare segni e verso in modo che a diventi positivo (parabola associata concava verso l alto)

4 RISOLUZIONE: DISEQUAZIONE DI II GRADO PRIMA RISOLVO L EQUAZIONE ASSOCIATA ax 2 +bx+c +c =0 con la formula x 1,2 =!b ± Ma Attenzione: b2! 4ac 2a b 2-4ac = Δ DELTA Se spuria: ax 2 +bx=0 raccolgo x(ax+b)=0 x 1 =0 x 2 =-b/a Δ>0 2 soluzioni Se pura: ax 2 +c=0 con segni discordi se pura con segni concordi Δ >0 2 soluzioni opposte Δ negativo Ci sono TRE casi che dipendono dal DELTA Δ : Δ >0 Δ =0 Δ <0

5 DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO I CASO: DELTA >0 L EQUAZIONE ASSOCIATA HA 2 SOLUZIONI REALI E DISTINTE X 1 e X 2 la parabola corrispondente è SECANTE CONCORDANZA +ax 2 +bx+c >0 DISCORDANZA +ax 2 +bx+c <0 VALORI ESTERNI X<X 1 o X>X 2 VALORI INTERNI X 1 <X<X 2 Per aiutarti : C E D I Concordi - Esterni Discord i- Interni

6 DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO II CASO: DELTA=0 L EQUAZIONE ASSOCIATA HA 2 SOLUZIONI COINCIDENTI X 1 = X 2 LA PARABOLA corrispondente è TANGENTE CONCORDANZA +ax 2 +bx+c >0 SEMPRE TRANNE X 1 = X 2 x R-{ R-{X 1 } DISCORDANZA +ax 2 +bx+c <0 NESSUN VALORE DI X Soluzione = Ø MAI VERIFICATA

7 DISEQUAZIONE DI SECONDO GRADO L EQUAZIONE ASSOCIATA NON HA SOLUZIONI la parabola non interseca l asse x CONCORDANZA +ax 2 +bx+c >0 III CASO: DELTA <0 SEMPRE qualunque x appartenente ai Reali x R DISCORDANZA +ax 2 +bx+c <0 NESSUN VALORE DI X S = Ø (insieme vuoto ) MAI VERIFICATA

8 RIASSUMENDO, ottengo la seguente REGOLA da memorizzare DISEQUAZIONE DI II GRADO: ax 2 +bx+c>0;ax 2 +bx+c<0 1) risolvo equazione associata ax 2 +bx+c=0 2) applico la Regola del DELTA Δ>0 Δ=0 Δ<0 CONCORDANZA +ax 2 +bx+c >0 X<X 1 o X>X 2 Valori Esterni x R-{ R-{X 1 } Sempre tranne X 1 x R sempre DISCORDANZA +ax 2 +bx+c <0 X 1 <X<X 2 valori Interni MAI VERIFICATA S = Ø MAI VERIFICATA S = Ø *NB: per risolvere con 0 o 0, se Δ>0 o Δ=0, aggiungo x 1 e x 2 alla soluzione

9 Esercizi: VUOI provare??? 1) x 2! 4x + 3 > 0 * 2) 3) 4) 2x 2 + 5x! 3 " 0 7x 2 + 2x! 0 x 2! 5 " 0 Ricopia e risolvi le disequazioni proposte sul tuo quaderno: Controlla poi i risultati 5) x 2 + 6x + 9 > 0 esercizi 6) 7) 8) 5x 2! x +1> 0 x 2! 4x + 3 > 0!8x 2! 17x! 2 > 0!6x x < 0 * Se c è maggiore o uguale O minore o uguale il procedimento non cambia: dopo aver trovato il risultato si aggiunge l uguale

10 Soluzione esercizi 1-2 1) +x 2! 4x + 3 > 0 Risolvo l equazione associata x 2! 4x + 3 = 0 x = Applico regola del DELTA>0 c è + > concordanza 4 ± 16!12 2 = 4 ± 2 2 x < 1! x > 3 x 1 =1;x 2 = 3 Δ>0 2) +2x 2 + 5x! 3 " 0 Applico regola del DELTA>0 c è + discordanza Risolvo l equazione associata x =!5 ± =!5 ± 7 4!3 " x "1/2 2x 2 + 5x! 3 = 0 x 1 =!3" x 2 =1/2 Δ>0

11 Soluzione esercizi 3-4 3) +7x 2 + 2x! 0 Risolvo l equazione associata 7x 2 + 2x = 0 x! (7x + 2) = 0 x 1 = 0;x 2 =! 2 7 Δ>0 Applico regola del DELTA>0 c è discordanza! 2 7 " x " 0 4) +x 2! 5 " 0 Risolvo l equazione associata Pura + - x 2! 5 = 0 x 2 = 5! x 1,2 = ± 5 Δ>0 Applico regola del DELTA >0 c è concordanza x! " 5 # x $ 5

12 Soluzione esercizi 5-6 5) +x 2 + 6x + 9 > 0 Risolvo l equazione associata x 2 + 6x + 9 = 0 Applico regola del DELTA c è + > concordanza x =!6 ± 36! 36 2 =!6 ± 0 2 Δ=0!x "R # { #3 } x 1 = x 2 =!3 Qualunque x appartenente ai Reali tranne x=-3 6) +5x 2! x +1> 0 Applico regola del DELTA c è + > concordanza Risolvo l equazione associata +1 ± 1! 20 x = 10 Δ<0 =!x " R +1 ±! x 2! x +1= 0 Qualunque x appartenente ai Reali

13 7)!8x 2! 17x! 2 > 0 +8x x! 2 < 0 Soluzione esercizi 7-8 Risolvo l equazione associata completa x = Cambio segni e verso 8x x + 2 = 0!17 ± 289! =!17 ± x 1 =!2; x 2 =! 1 8 Δ>0 Applico regola DELTA>0 c è + < discordanza!2 < x <! 1 8 8)!6x x < 0 Cambio segni e verso Risolvo l eq associata spuria +6x 2! 14x > 0 +6x 2! 14 = 0 2x(3x! 7) = 0 2x = 0! x = 0 Δ>0 3x " 7 = 0! 3x = 7! x = 7 / 3 Applico regola del DELTA>0 c è +..> concordanza x < 0! x > + 7 3