25 o Convegno di Didattica della Matematica Viareggio settembre 2008
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- Andrea Belloni
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1 25 o Convegno di Didattica della Matematica Viareggio settembre 28 La geometria delle equazioni di secondo e terzo grado Giorgio Ottaviani, Università di Firenze GFMT La geometria delle equazioni p. 1/21
2 L equazione di secondo grado x 2 + bx + c = La geometria delle equazioni p. 2/21
3 L equazione di secondo grado x 2 + bx + c = x 2 + bx = c La geometria delle equazioni p. 2/21
4 L equazione di secondo grado x 2 + bx + c = x 2 + bx = c x 2 + bx + b2 4 = b2 4 c La geometria delle equazioni p. 2/21
5 L equazione di secondo grado x 2 + bx + c = x 2 + bx = c x 2 + bx + b2 4 = b2 4 c ( x + b 2 ) 2 = b2 4 c La geometria delle equazioni p. 2/21
6 Condizioni per le soluzioni Teorema Consideriamo l equazione x 2 + bx + c = Se b2 4 c > ha due radici reali distinte La geometria delle equazioni p. 3/21
7 Condizioni per le soluzioni Teorema Consideriamo l equazione x 2 + bx + c = Se b2 4 Se b2 4 c > ha due radici reali distinte c = ha una radice doppia (reale) La geometria delle equazioni p. 3/21
8 Condizioni per le soluzioni Teorema Consideriamo l equazione x 2 + bx + c = Se b2 4 Se b2 4 Se b2 4 c > ha due radici reali distinte c = ha una radice doppia (reale) c < non ha radici reali La geometria delle equazioni p. 3/21
9 Condizioni per le soluzioni Teorema Consideriamo l equazione x 2 + bx + c = Se b2 4 Se b2 4 c > ha due radici reali distinte c = ha una radice doppia (reale) Se b2 4 c < non ha radici reali (libro VI degli Elementi di Euclide) La geometria delle equazioni p. 3/21
10 Visualizzazione geometrica Equazione x 2 + bx + c = punto (b, c) La geometria delle equazioni p. 4/21
11 Visualizzazione geometrica Equazione x 2 + bx + c = punto (b, c) Otteniamo due regioni nel piano: 1 (b,c) verde se x 2 +bx+c= ha soluzioni c b La geometria delle equazioni p. 4/21
12 Le equazioni con una radice fissata Le equazioni che hanno x come radice, corrispondono ai punti (b, c) tali che x 2 + bx + c = La geometria delle equazioni p. 5/21
13 Le equazioni con una radice fissata Le equazioni che hanno x come radice, corrispondono ai punti (b, c) tali che x 2 + bx + c = Questa è una retta, tutta formata da punti verdi, con un solo punto sulla parabola La geometria delle equazioni p. 5/21
14 Le equazioni con una radice fissata Le equazioni che hanno x come radice, corrispondono ai punti (b, c) tali che x 2 + bx + c = Questa è una retta, tutta formata da punti verdi, con un solo punto sulla parabola È una retta tangente, nel punto di ascissa b 2 /4 c= c b 2x (da x = b 2 ). La geometria delle equazioni p. 5/21
15 Esempi: dall equazione alle soluzioni c 2 (1, 2) b Tangenti da (1, 2) La geometria delle equazioni p. 6/21
16 Esempi: dall equazione alle soluzioni c 2 (1, 2) b Le ascisse dei punti di tangenza sono 2 e 4. Le soluzioni sono 1 e 2 La geometria delle equazioni p. 6/21
17 Esempi: dall equazione alle soluzioni c 2 (, 2) b Tangenti da (, 2) La geometria delle equazioni p. 6/21
18 Esempi: dall equazione alle soluzioni c 2 (, 2) b La geometria delle equazioni p. 6/21
19 Vantaggi del metodo Permette di visualizzare il risultato (pur con approssimazione ) La geometria delle equazioni p. 7/21
20 Vantaggi del metodo Permette di visualizzare il risultato (pur con approssimazione ) Permette di visualizzare la dipendenza delle soluzioni dai coefficienti dell equazione La geometria delle equazioni p. 7/21
21 Vantaggi del metodo Permette di visualizzare il risultato (pur con approssimazione ) Permette di visualizzare la dipendenza delle soluzioni dai coefficienti dell equazione Utilizza la Geometria per risolvere un problema di Algebra La geometria delle equazioni p. 7/21
22 Segni delle soluzioni concordi positive concordi negative discordi La geometria delle equazioni p. 8/21
23 Problema con 2x Se parto dall equazione x 2 2bx + c = le ascisse dei punti di tangenza danno direttamente le soluzioni La geometria delle equazioni p. 9/21
24 Problema con 2x Se parto dall equazione x 2 2bx + c = le ascisse dei punti di tangenza danno direttamente le soluzioni La parabola in questo caso diventa b 2 c = La geometria delle equazioni p. 9/21
25 Limiti del metodo c 2 4 ( 2, 4) b Tangenti da (-2,-4) La geometria delle equazioni p. 1/21
26 Limiti del metodo c 2 4 ( 2, 4) b dal foglio! Il punto di tangenza esce La geometria delle equazioni p. 1/21
27 Limiti del metodo c 2 4 ( 2, 4) b Se potessi ingrandire il foglio troverei il punto di tangenza. In questo caso è difficile identificare con precisione il punto di tangenza. La geometria delle equazioni p. 1/21
28 Limiti del metodo c b La regione blu contiene i punti per cui entrambe le tangenti hanno punto di tangenza dentro il foglio La geometria delle equazioni p. 1/21
29 Costruzione sintetica della tangente F c b direttrice La parabola ha fuoco F e La geometria delle equazioni p. 11/21
30 Costruzione sintetica della tangente P 2 F c b tangente in P Voglio disegnare la La geometria delle equazioni p. 11/21
31 Costruzione sintetica della tangente P 2 F c 2 H b P sulla direttrice Chiamo H la proiezione di La geometria delle equazioni p. 11/21
32 Costruzione sintetica della tangente P 2 F c 2 H b in P L asse di FH è la tangente La geometria delle equazioni p. 11/21
33 Corollari della costruz. della tangente c 2 (1, 2) b L ascissa dell intersezione tra due tangenti è intermedia tra le ascisse dei punti di tangenza, quindi basta trovare una tangente. La geometria delle equazioni p. 12/21
34 Corollari della costruz. della tangente F c 2 Q b Per costruire le tangenti da Q, punto il compasso in Q con la punta in F La geometria delle equazioni p. 12/21
35 Corollari della costruz. della tangente F c 2 4 H Q b Se H è una intersezione con la direttrice, l asse di FH passa per Q. La geometria delle equazioni p. 12/21
36 Corollari della costruz. della tangente P F c 2 4 H Q b cercata! Quindi H ha l ascissa La geometria delle equazioni p. 12/21
37 Corollari della costruz. della tangente b 2 /4 c= c (a 1,a 1 2 /4) a 2 F a 1 b (b,c) d La geometria delle equazioni p. 12/21
38 La soluzione senza la parabola! F c 2 4 Q b Per risolvere x 2 + x 2 = punto il compasso in Q = (1, 2) con la punta in F. La geometria delle equazioni p. 13/21
39 La soluzione senza la parabola! F c 2 4 Q b Le intersezioni con la direttrice hanno ascissa 2 e 4. Le soluzioni sono 1 e 2. La geometria delle equazioni p. 13/21
40 La soluzione senza la parabola! Q 2 c F b Se punto il compasso in Q = (1, 3) con la punta in F, non ho intersezioni. La geometria delle equazioni p. 13/21
41 La soluzione senza la parabola! Q 2 c F b Questo significa che x 2 + x + 3 = non ha soluzioni reali. La geometria delle equazioni p. 13/21
42 Vantaggi del secondo metodo Le soluzioni vengono calcolate con maggiore precisione. La geometria delle equazioni p. 14/21
43 Vantaggi del secondo metodo Le soluzioni vengono calcolate con maggiore precisione. La regione blu contiene i punti per cui entrambe le intersezioni cadono dentro il foglio La geometria delle equazioni p. 14/21
44 Forma canonica dell eq.di 3 o grado, I Siano t 1 e t 2 le soluzioni dell equazione di secondo grado 3t 2 p + 9qt p 2 = che ha discriminante 3(4p q 2 ) che supponiamo diverso da zero. La geometria delle equazioni p. 15/21
45 Forma canonica dell eq.di 3 o grado, I Siano t 1 e t 2 le soluzioni dell equazione di secondo grado 3t 2 p + 9qt p 2 = che ha discriminante 3(4p q 2 ) che supponiamo diverso da zero. Abbiamo la forma canonica di Sylvester x 3 + px + q = t 2 t 2 t 1 (x t 1 ) 3 t 1 t 2 t 1 (x t 2 ) 3 La geometria delle equazioni p. 15/21
46 Forma canonica dell eq.di 3 o grado, I Siano t 1 e t 2 le soluzioni dell equazione di secondo grado 3t 2 p + 9qt p 2 = che ha discriminante 3(4p q 2 ) che supponiamo diverso da zero. Abbiamo la forma canonica di Sylvester x 3 + px + q = t 2 t 2 t 1 (x t 1 ) 3 t 1 t 2 t 1 (x t 2 ) 3 L interpretazione geometrica è che (, c, d) appartiene alla retta secante per i punti (t 1,t 2 1,t 3 1) e (t 2,t 2 2,t 3 La geometria delle equazioni p. 15/21 2)
47 Forma canonica dell eq. di 3 o grado, II Sia α tale che α 3 = t 1 t2 e siano ǫ = 1 ǫ 1 = i 3 2, ǫ2 = 1 2 i 3 2 le tre radici cubiche dell unità. La geometria delle equazioni p. 16/21
48 Forma canonica dell eq. di 3 o grado, II Sia α tale che α 3 = t 1 t2 e siano ǫ = 1 ǫ 1 = i 3 2, ǫ2 = 1 2 i 3 2 le tre radici cubiche dell unità. Le soluzioni dell equazione x 3 + px + q = sono per j =, 1, 2 x j = t 1 αǫ j t 2 1 αǫ j La geometria delle equazioni p. 16/21
49 Metodo geometrico per il 3 o grado Sia x 1 una radice di x 3 + px + q =. Allora abbiamo x 3 + px + q = (x x 1 ) ( x 2 + xx 1 + (x p) ) La geometria delle equazioni p. 17/21
50 Metodo geometrico per il 3 o grado Sia x 1 una radice di x 3 + px + q =. Allora abbiamo x 3 + px + q = (x x 1 ) ( x 2 + xx 1 + (x p) ) x 1 è radice doppia se 3x p =, da cui 4p q 2 = La geometria delle equazioni p. 17/21
51 Metodo geometrico per il 3 o grado Sia x 1 una radice di x 3 + px + q =. Allora abbiamo x 3 + px + q = (x x 1 ) ( x 2 + xx 1 + (x p) ) x 1 è radice doppia se 3x p =, da cui 4p q 2 = La parabola è sostituita dalla cubica q 3 4p 3 +27q 2 = 2 1 q= 1 4p q 2 = p La geometria delle equazioni p. 17/21
52 Visualizzazione geometrica Equazione x 3 + px + q = punto (p, q) La geometria delle equazioni p. 18/21
53 Le equazioni con una radice fissata Le equazioni che hanno x come radice, corrispondono ai punti (p, q) tali che x 3 + px + q = La geometria delle equazioni p. 19/21
54 Le equazioni con una radice fissata Le equazioni che hanno x come radice, corrispondono ai punti (p, q) tali che x 3 + px + q = Questa è una retta, non verticale, con due punti sulla cubica. La geometria delle equazioni p. 19/21
55 Le equazioni con una radice fissata Le equazioni che hanno x come radice, corrispondono ai punti (p, q) tali che x 3 + px + q = Questa è una retta, non verticale, con due punti sulla cubica. È una retta tangente, nel punto di ascissa q 2 1,5 1 4p 3 +27q 2 = t=1 t=7/8 t=3/4,5 t=1/2 t=,5 t= 1/2 3x 2. 3,5 1 1,5 2 t= 1 t= 7/8 t= 3/4 2,5 3 2,5 2 1,5 1,5,5 1 p La geometria delle equazioni p. 19/21
56 Numero e segno delle soluzioni q 4p 3 +27q 2 = 3 SOL. REALI: 1 NEGATIVA, 2 POSITIVE 1 SOL. REALE NEGATIVA 3 SOL. REALI: 1 POSITIVA, 2 NEGATIVE 1 SOL. REALE POSITIVA p La geometria delle equazioni p. 2/21
57 Numero e segno delle soluzioni q 9 d) 4p 3 +27q 2 = 8 7 ( 1,8) (5,4) 3 f) e) 2 ( 3,2) 1 1 ( 2/3, 4/3) (7, 2) 2 c) 3 a) 4 5 ( 3/2, 5) 6 b) p La geometria delle equazioni p. 2/21
58 Esempi di soluzioni approssimate d p 3 +27q 2 = t=3 t=21/8 t=9/4 (5,2) t=3/2 t= t= 3/2 t= 9/4 t= 21/8 5 t= soluzione c x 3 + 5x + 2 =, una La geometria delle equazioni p. 21/21
59 Esempi di soluzioni approssimate q t=5/4 4p 3 +27q 2 = t=1 t=3/4 t=1/2 t= ( 6/5,1/5) t= 1/2 t= 3/4 t= 1 t=7/8 t= 7/8 t= 5/ soluzioni p 5x 3 6x + 1 =, tre La geometria delle equazioni p. 21/21
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