Oltre la riga e il compasso, piegando la carta

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1 Oltre la riga e il compasso, piegando la carta r1 a B2 Emma Frigerio Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Milano A3 A1 A2 2 2 A r2 Maria Luisa Sonia Spreafico Dipartimento di Scienze Matematiche Politecnico di Torino B r3 B3 B1 b Convegno Origami Didattica e Dinamiche Educative - Bel

2 INDICE La geometria dell origami: regole per costruzioni riga e compasso regole per costruzioni con l origami esempi di nuove costruzioni (trisezione e duplicazione del cubo). L algebra dell origami: numeri costruibili ed equazioni esempi figure costruibili.

3 Regole di rc-costruzioni (euclide) RC1: si può tracciare una retta per due punti. RC2: si può trovare il punto di intersezione di due rette (se esiste). RC3: assegnati due punti P e Q si può tracciare la circonferenza di centro P e passante per Q. RC4: si possono trovare (se esistono) i punti di intersezione di due circonferenze. RC5: si possono trovare (se esistono) i punti di intersezione di una retta con una circonferenza.

4 Situazione iniziale: 2 punti retta e circonferenze

5 Nuovi punti

6 nuove rette... E CIRCONFERENZE (QUANTE?)

7 Costruzioni impossibili Trisezione di un angolo noto θ Duplicazione del cubo Dato un cubo C di lato a, trovare il lato L di un cubo C' di volume doppio rispetto a C; cioè: L³ = 2 a³ Costruzione dell ettagono regolare

8 Regole di o-costruzioni (H. Huzita H. HATORI) O1: si può piegare una retta per due punti P e Q. O2: si può piegare un punto P su di un punto Q ottenendo come piega l'asse del segmento PQ. O3 : assegnati un punto P e una retta r, si può piegare la retta per P perpendicolare ad r. O4 : assegnate due rette, r ed s, è possibile piegare r su s. O5 : assegnati due punti, P e Q, e una retta r, si può piegare (se esiste) una retta per P che porti Q su r. O6 : assegnati due punti, P e Q, e due rette, r ed s, si può piegare (se esiste) una retta che porti contemporaneamente P su r e Q su s. O7 : assegnato un punto P e due rette, r ed s, è possibile piegare una retta che porti P su r e sia contemporaneamente ortogonale ad s.

9 Interpretazione 1 assioma O5

10 Interpretazione 2 assioma O5

11 due parabole con 3 tangenti comuni r1 B2 A3 A1 A2 a 2 B B3 2 A r2 B1 r3 b

12 Costruzioni possibili Trisezione di un angolo noto θ Duplicazione del cubo Dato un cubo C di lato a, trovare il lato L di un cubo C' di volume doppio rispetto a C; cioè: L³ = 2 a³ Costruzione dell ettagono regolare

13 TRISEzione dell angolo STEp 1

14 TRISEzione dell angolo STEp 2

15 Trisezione dell angolo STEp 3

16 Duplicazione del cubo STEp 1 O(0,0) va sulla retta v: x=2; R(1, - 2) va sulla retta r: y= 2.

17 Duplicazione del cubo STEp 2 I triangoli OLH, HLK e KLR sono simili si deduce che LH = ³ 2

18 Rc-NUMERI e o-numeri I numeri riga-compasso (risp. i numeri origami) corrispondono all'ascissa e all'ordinata di punti costruiti con riga e compasso (risp. con le regole origami).

19 NUMERI COSTRUIBILI ed C'è una corrispondenza tra: equazioni i numeri costruibili con riga e compasso e le soluzioni di equazioni di grado 1 e 2. i numeri costruibili con le pieghe origami e le soluzioni di equazioni polinomiali di grado 1,2, e 3.

20 NUMERI COSTRUIBILI Siano (*) K 0 < K 1 < K i < K i+1 < K n e [K i+1 :K i ] = d i rispettivamente una catena di estensione di campi e il grado dell estensione. Allora: Teorema RC (Klein, 1895): Un numero reale u è costruibile con riga e compasso a partire da K 0 se e solo se esiste una catena di campi (*) con u є K n e con d i =2. (anche Wantzel 1837, non completa e Petersen, 1863). Teorema O (Scimemi, ~1990): Un numero reale u è costruibile con le pieghe origami a partire da K 0 se e solo se esiste una catena di campi (*) con u є K n e con d i =2,3. (anche Piazzolla Beloch ~1930).

21 Equazione per la trisezione Sia θ=3α un angolo noto. Trisecare l'angolo equivale a trovare un punto Q di coordinate Q(cos(α), sin(α)). Abbiamo: cos(3α)= cos( 2α + α) = = 4cos³(α) - 3cos(α) In definitiva avremo l'angolo (o il suo coseno) risolvendo l'equazione di terzo grado: 4cos³(α) - 3cos(α) = cos(3α) (esempio di equazione di terzo grado con 3 soluzioni reali)

22 Equazione per le tangenti comuni alle parabole Cerchiamo la tangente comune alle parabole: 2y=x 2 e y 2 = - 4x. Intersechiamo le parabole con la generica retta y=mx+q ottenendo: x 2-2mx-2q=0 e m 2 x 2 +2(mq+2)x+q 2 =0. Ponendo il Δ=0 in entrambe le equazioni abbiamo: q=-m 2 /2 e (mq+2) 2 -m 2 q 2 =0. Sostituendo q nella seconda equazione e semplificando abbiamo m 3 =2. (esempio di equazione di terzo grado con 1 soluzione)

23 Legame tra equazioni di grado 3 e parabole di o6 Teorema (Geretschläger,1995) Le soluzioni dell equazione x 3 +ax 2 +bx+c=0 sono i coefficienti angolari delle tangenti comuni alle due parabole π 1 e π 2, di fuochi F 1 =( (c-a)/2, b/2) e F 2 =(0,1/2) e direttrici l 1 : x= - (c+a)/2 e l 2 : y= - 1/2, rispettivamente.

24 Figure costruibili Teorema RC (Gauss, 1799) Si possono costruire con riga e compasso i poligoni regolari di n lati con n=2 k p 1 p s dove i numeri p j sono primi distinti della forma p j =2 r(i) +1. (Per esempio n= 3, 5, 17). Teorema O (Scimemi, ~1990) Si possono costruire con pieghe origami i poligoni regolari di n lati con n=2 k 3 h p 1 p s dove i numeri p j sono primi distinti della forma p j =2 r(i) 3 s(i) +1. (Anche n = 7).

25 L algebra dell ettagono Vertici dell ettagono: punti della circonferenza soluzioni complesse dell equazione z 7-1=0 Dividendo per z-1 si ottiene: (z 6 + z 5 +z 4 +z 3 +z 2 +z+1)=0. Se z è soluzione, anche il coniugato z*=1/z lo è. Dividendo per z 3 il secondo fattore abbiamo: z 3 +z 2 +z+1+z*+z* 2 +z*3=0 E, definendo t = z+z*=2 Re(z), con alcuni conti si ottiene: t 3 + t 2 2t 1 = 0. Determinando t (con le tangenti comuni a due parabole,come dice l assioma 06), si risale alla corrispondente coppia z, z* intersecando la circonferenza unitaria con la retta x=re(z).

26 la geometria dell ettagono scimemi B2 r1 a A3 A1 A2 r2 B A B3 B1 r3 b