Equazione della circonferenza

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1 Equazione della circonferenza Scrivi la circonferenza Γ di centro C(-,4) e raggio r=3. L equazione di Γ è: y 4 3 cioè y 4 9 sviluppiamo (ricordando che a b a ab b ): 4 4 y 8y 16 9 mettiamo tutto a primo membro e riordiniamo: y 4 8y cioè (essendo =11): y 4 8y 11 0 In pratica quando conosciamo il centro C(α,β) e il raggio r, l equazione è: y r Sviluppando e riordinando alla fine si arriva ad un equazione che ha la seguente forma: y a by c 0 dove a, b, c sono coefficienti numerici (nell esempio precedente a=4, b=-8, c=11). Intersezione con una particolare retta parallela all asse Esamina l intersezione tra la circonferenza di centro (,-1) e raggio 5 e la retta di equazione y= Prima dobbiamo scrivere l equazione della circonferenza: y 1 5 Sviluppando e riordinando otteniamo ^+y^-4+y-0=0 L equazione è stata scritta nel formato che richiede Geogebra (basta copiarla nella barra di inserimento per farla disegnare a Geogebra oppure online, anche con il cellulare, andando sul sito ).

2 Poi dobbiamo risolvere il seguente sistema: y 4 y 0 0 y Sostituendo y= nella prima equazione si ottiene: ^+^-4+ -0=0 cioè ^-4-1=0 che è un equazione di secondo grado. Risolviamola: si trova Δ=16-4(-1)=16+48=64; il Δ è positivo quindi l equazione ammette due soluzioni distinte; usando la formula risolutiva troviamo 1 =- e =6. Abbiamo trovato le due ascisse (cioè le ) dei punti di intersezione I 1 e I cioè dei due unici punti che appartengono sia alla circonferenza che alla retta. Siccome sia I 1 che I sono punti della retta y=, già conosciamo il valore delle loro ordinate (è ). Dunque le coordinate dei punti di intersezione sono rispettivamente (-,) e (6,). Verifichiamo con il grafico:

3 Non sempre i punti di intersezione hanno ascisse che sono numeri interi. Anzi, non accade quasi mai! Come possiamo vedere dal grafico precedente, nel nostro particolare esempio, solo con le rette y=4, y=3, y=, y=-1, y=-4, y=-5 e y=-6 possiamo avere punti di intersezione che abbiano coordinate intere. Se invece intersechiamo la circonferenza per esempio con la retta y=1 otteniamo punti che hanno le seguenti coordinate (dopo semplificazione): In genere se intersechiamo la circonferenza con una retta y=k dove k è un qualsiasi numero reale compreso tra -6 e 4, la risoluzione del sistema ci condurrà a un equazione di secondo grado che ha un delta positivo. Nei casi molto fortunati delta è non solo positivo ma addirittura un quadrato perfetto (per esempio nell intersezione con y= abbiamo trovato delta=64). In questi casi la radice quadrata sparisce e otteniamo dei valori di 1 e che sono razionali. Negli altri casi (quando delta NON è un quadrato perfetto) scriveremo 1 e lasciando la radice quadrata e calcolando il valore approssimato solo per verificare sul grafico. Come si vede dal grafico, se intersechiamo la circonferenza con la retta y=-6 (o con la retta y=4) i punti di intersezione si sovrappongono. In questi casi diremo che il punto di intersezione è doppio e che la retta è tangente. Che cosa accade invece se intersechiamo la circonferenza con una retta y=k quando k è un valore minore di -6 o maggiore di 4? Dal grafico capiamo che non esistono punti di intersezione. Infatti, se svolgiamo i passaggi per la risoluzione del sistema, alla fine sfociamo su un equazione di secondo grado avente delta negativo. Proviamo per esempio con y=5: y 4 y 0 0 y 5 Sostituendo si ottiene ^+5^ =0 cioè ^-4+15=0. Il delta è (-4)^-4 15=-44 che è negativo equazione impossibile!

4 Intersezione con una generica retta parallela all asse Esamina le intersezioni della circonferenza di centro (-,1) e raggio 3 con la retta y=k Dobbiamo risolvere il seguente sistema: y 1 3 y k Sostituendo, dopo qualche passaggio si giunge alla seguente equazione: ^+4+k^-k-4=0 L incognita è (la lettera k rappresenta un parametro: deve essere trattata come se fosse un numero assegnato di cui però non conosciamo il valore). I coefficienti dell equazione di secondo grado sono: a=1, b=4, c=k^-k-4 quindi il discriminante delta è: Δ=4^-4(k^-k-4)=16-4k^+8k+16=-4k^+8k+3 Adesso che sappiamo che Δ=-4k^+8k+3 possiamo rispondere a molte domande. Prima domanda: per quali valori di k la retta y=k è tangente alla circonferenza? La condizione di tangenza (come abbiamo visto nell esempio precedente) è Δ=0 Quindi per rispondere alla domanda dobbiamo risolvere l equazione 4k^+8k+3=0 (ora consideriamo k come incognita) Visto che in questo particolare caso si può, dividiamo per 4 (solo per avere a che fare con numeri più piccoli): -k^+k+8=0 Moltiplichiamo per (-1) (solo per non avere la noia di soluzioni che abbiano un denominatore negativo) k^-k-8=0 Δ * =4-4(-8)=36 quindi k 1 =- k =4 Possiamo quindi dare la risposta: la retta y=- e la retta y=4 sono tangenti alla circonferenza. Seconda domanda: per quali valori di k la retta y=k è esterna alla circonferenza? In base allo studio fatto per trovare k 1 =- k =4, possiamo affermare che se k<- o se k>4 la retta y=k è esterna alla circonferenza. Terza domanda: per quali valori di k la retta y=k è secante? Come prima: se -<k<4 allora la retta y=k interseca la circonferenza in due punti distinti.

5 ESERCIZI LIBERI Inventa tu una circonferenza (assegna liberamente il centro e il raggio) e risolvi il problema di determinare le rette y=k tangenti alla circonferenza che hai scelto. Verifica facendo il disegno a mano o con un programma.