Classe TERZA A inf. MATEMATICA : COMPITI VACANZE E SOSPENSIONE DEL GIUDIZIO

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1 Classe TERZA A inf. MATEMATICA : COMPITI VACANZE E SOSPENSIONE DEL GIUDIZIO RICORDA: Nelle disequazioni di primo grado a>b o a<b si capovolge il segno della disuguaglianza quando a è negativo : esempio -> ris <-/ oppure 5>6 ris >6/5 Nelle disequazioni di secondo grado (tenendo conto che ci si può sempre ricondurre al caso a>0) : 1 Esempio 1 - >0 Passo all equazione = +, Δ >0 f()>0 quindi valori esterni <- U > Esempio - >0 moltiplico per -1 +<0 passo all equazione =0 ed = il Δ > 0, f()<0 quindi valori interni 0<< Esempio > 0 Δ = - = 0 1 = = -1 Δ = 0 e f() > 0, dunque la disequazione è verificata per ogni diverso da -1 Esempio + >0 Δ <0 f()>0 quindi sempre verificata Esempio Pongo numeratore e denominatore > 0 : N > > 0, < -1 U > 9 D > > 0, < -5 U > Costruisco il grafico Esempio Pongo numeratore e denominatore > 0 : N > > 0, < 5, > 11 D > 0-1 > 0, > 1 - > 0, < il fattore (positivo) si può tralasciare Costruisco il grafico Poiché il verso della diseq. è positivo, la soluzione è data dagli intervalli positivi : < -5, -1 < <, > 9 Poiché il verso della d. è negativo, la soluzione è < 1, < < 5, > 11

2 Esercizio (-1 - )( - ) < 0 Pongo ogni fattore > 0 : Esercizio > 0 moltiplico per -1 e cambio il verso : 1 + < 0 il primo membro, essendo una somma di due quadrati, è sempre positivo ; quindi MAI VERIFICATA ( - ) > 0 è una diseq. di secondo grado verificata per i valori esterni per < 0 e > costruisco il grafico : La soluzione è data dagli intervalli negativi : < 0 e > Risolvo le due disequazioni ->0 < -9<0 valori interni -<< costruisco il grafico ( metto solo la linea continua dove sono verificate le due disequazioni) - Essendo un sistema considero gli intervalli in cui sono verificate entrambe le disequazioni: -<< A)Risolvi le seguenti disequazioni 1-5>0 ris <1/5-5 8 > -6 ris > (-+1)<-7 ris >/ > (+) ris: <- U > - t + 5 < 6t ris 1<t<5 - - < 0 ris : 0<< (-5)(+5)>0 ris <-5 U >5 - (-7)(+) < 0 ris : -< < > 0 ris <-1 U > + 16 < 10 ris <<8 - (-1)(+)(-)>0 ris <- U 0<<1 U > ( )( - + ) >0 ris <-1 U > - ( -1)(-)( -+)<0 ris 1 5 ris U - 0 ris ris 1 U ris ris -1<</ 5 0 ris 0<< ½ << ris -1/<</ 1 0 ris 0<< ris >1/ B) Disequazioni biquadratiche Il procedimento risolutivo e' il seguente : si pone = t cosi' sara' = t la disequazione diventa di secondo grado si risolve con le note regole quindi si sostituisce alla t la ottenute. e si risolvono le disequazioni di secondo grado ESEMPIO 1 5 0

3 pongo = t l'equazione diventa t - t la risolvo t 1 = -1, t =5 (segni discordi valori interni) -1 t 5 sostituisco a t il suo valore -1 5 questa disequazione equivale al sistema : sempre verificata per quindi sono verificate entrambe le disequazioni che compongono il sistema 5 5 che e' il risultato della disequazione assegnata ESEMPIO pongo = t l'equazione diventa t - 6 t + 8 > 0 la risolvo t 1 =, t = (segni concordi valori esterni) t< U t> sostituisco a t il suo valore < U > risolvo le due disequazioni e unisco i risultati ( cioe' li pongo uno vicino all'altro) ATTENZIONE QUANDO SI PRENDONO I VALORI INTERNI SI DEVE FARE IL SISTEMA QUANDO SI CONSIDERANO I VALORI ESTERNI LA DISEQUAZIONE E' MOLTO PIU' BREVE, BASTA PORRE I RISULTATI UNO ACCANTO ALL'ALTRO,CON IL SIMBOLO DI UNIONE Svolgi sul quaderno i due esercizi precedenti e i seguenti C) Disequazioni irrazionali risolte algebricamente Se si tratta di radici cubiche ( ma analogamente se la radice ha indice dispari) basta isolare la radice ed elevare entrambi i membri al cubo : elevo al cubo ->8 ris. <-5 - >- ris. >0 elevo al cubo Se si tratta di radice quadrata ( in modo analogo se l esponente è pari) : 1 1 elevo al cubo 1 - > <0 ris. 0<<1

4 Risolvi le seguenti disequazioni irrazionali : ris <0. ris <-5/. 0 ris <-1 U 0<<1.

5 D) Disequazioni con un modulo ris 7. ris - < /. f() >K con K positivo f()< -k v f()>k f() <K con K positivo -k<f()<k che diventa un sistema f ( ) k f ( ) k Risolvi sul quaderno > ; + 1 1; 1; 5 < 7; < 1; 9 < 1; + 1 > ; + 1 > ; + > ; 7 - < ; 5 E) Rappresenta graficamente le seguenti rette, circonferenze e parabole ( rivedi gli appunti presi a lezione o il libro di testo vol A) PARABOLA CON ASSE PARALLELO Equazione retta // asse y = K es. y= ASSE Y Equazione retta // asse y = K es. = equazione cartesiana: Equazione retta per O(0,0) y = m es. y= - 5 Equazione retta generica y= m + q es y= CIRCONFERENZA DI CENTRO C (a,b) e raggio r equazione cartesiana: vertice: PARABOLA CON ASSE PARALLELO ASSE X» centro:» raggio: equazione cartesiana:» vertice: Rappresenta graficamente : y=-+ y= 1 -y = 0 6-5y+10 =0 y= - y= y= - +y = +y -+y = 0 +y - =0 TRIGONOMETRIA ( rivedi gli appunti presi a lezione o il libro di testo) Ripassa la definizione di seno, coseno e tangente di un angolo; i valori del seno, coseno e tangente degli angoli di 0, 5, 60 ; i grafici di sinusoide, cosinusoide e tangentoide F) Risolvi le seguenti equazioni in 0<< π, in 0<<60 e in R sen=1 Ris = / ; =90 ;=/ +k sen= Ris: =/ ; / ; = 5 ; 15 ; = /+k ; / +k cos=-1 Ris = ; =180 ; = +k

6 cos=1 Ris = /; 5/ ; = 60 ; 00 ; =/+k; 5/+k tg=0 Ris =0; ; ; = 0;180;60 ; =k tg - =0 = /6;7/6 ; =0;10 ; =/6+k ; 7/6 +k; tg -=0 ris = /;/;/;5/ = 60, 10,0,00 = +/ +k cos cos-1=0 ris =0; ; /; / ; = 0;60;10;0 =+k =+/+k sen + sen=0 ris =0,, ; 7/6 ; 11/6 ; =0;180;60;10;0 =K ;+ 7/6+K Risolvere in 0<< sen<-1 ; cos +1 >0 ; sen<0 ; tg<1 ; 1/ sen >0 ; cos 1 >0 ESPONENZIALI E LOGARITMI G) Equazioni esponenziali e logaritmiche ESERCIZI GUIDA RISOLTI 5 5 Ricorda: = 81 ; 1/ 9 / / Il logaritmo in base a ( numero reale positivo) di b è l esponente che si deve dare ad a per ottenere b << il log a b è se e solo se a =b >> ; log 9 ; log 1 8 ; log ; 5 1 Calcola a mente il valore dei seguenti logaritmi log (1/5) 15= Ris - log 6= Ris 6 log (1/) (1/81)= Ris log 6= Ris Log (1/100)= Ris - log = Ris PROPRIETà DEI LOGARITMI logaritmi godono delle seguenti proprietà: 1) log a 1=0 ) log a a=1 ) log a y= log a + log a y ) log a /y= log a - log a y 5) log a y = ylog a 1 log 5 6 Calcola la condizione di esistenza dell esercizio ->0 quindi C. E. > calcola il valore di applicando la definizione di logaritmo -= quindi =8 poi pero devi chiederti se il risultato trovato e accettabile. Esso e accettabile solo se appartiene al C.E. dell esercizio. Nel nostro caso il risultato e accettabile poiché 8>. = 1/7 trasformo l'equazione in modo che compaiono potenze con la stessa base: = - uguaglio gli esponenti: = - Ris: = - / 5 = 1/65 0 C. E. quindi C.E. >7/ 7 0 si considerano solo gli argomenti(tolgo i log) = -7 quindi = 7 accettabile (perché 7> 7/) Log Log 0 ho C.E. >0 Pongo Log = t e l equazione diventa t -t + = 0 la risolvo ed ho t=1 ed t= sostituisco t con Log ( che è il log 10 ) Log = 1 ed Log = Ricordando la definizione di logaritmo: = 10 ed = 100 accettabili - 5 = Pongo = t Risolvo l'equazione t -5t -=0 ottengo t= ed t= -1/ quindi ricordando che t= = -1/ ed = impossibile ed = (Log ) / (Log )

7 trasformo l'equazione in modo che compaiono potenze con la stessa base: (5 ) = 5-5 = 5 - = - Ris : = - +1 = 5 non potendo trasformare l equazione in potenze con la stessa base applico il logaritmo in base 10 ad entrambi i membri Log +1 = Log 5 Uso la proprieta' dei logaritmi (+1)Log = Log 5 svolgo i calcoli, ricavo ed ottengo Log +Log = Log5 = (Log 5 Log ) / (Log) - * + =0 con la sostituzione = t t - t +=0 la risolvo t=1 ed t= quindi =1 mi da = 0 = mi da = 1 SOLUZIONI =0 ED =1 diventa Risolvi le equazioni esponenziali e logaritmiche 1 +1 =81 ris / ; = ris =11/ ; 1 15 ris (7 ) + 7 = 0 ris 1 e 0 ; - ( ) -=0 ris 1 ; Log(-)= ris 10; 7 Log(+8) = Log ( -) ris U - ; Log 11Log +10 =0 ris 1 U ; log log 0 ris 9 U 1/ ; log (5-) = 0 ris = ; log 5 (6-) = 1 ris =1/ Disequazioni esponenziali e logaritmiche Ris : 1U Log( -1)-Log( -7+1)<Log Ris: <-1 U1<<7/ U >7 9 Ris U log 1/ ( ++1)< Ris <-5/ U >-/