MATEMATICA PROPEDEUTICA PER LO STUDIO DELLE FUNZIONI GSCATULLO

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1 MATEMATICA PROPEDEUTICA PER LO STUDIO DELLE FUNZIONI GSCATULLO 1

2 Propedeutica alle Funzioni Premessa Questo documento vuole essere una preparazione per lo studio delle funzioni, comprendendo tutte quelle nozioni fondamentali che tornano necessarie allo studente. La presentazione di esse è graduale, partendo dalle disequazioni ed introducendo il concetto di funzione e di dominio. Lo studio del segno Disequazioni di I Grado Una disequazione è una diseguaglianza tra due espressioni che contengono delle incognite (x, y, z, ). Questa diseguaglianza è espressa da alcuni simboli, posti tra le due espressioni: > < Maggiore Maggiore o uguale Minore Minore o uguale Questi segni si pongono tra le due espressioni in questo modo: a > b Le disequazioni di primo grado sono quelle disequazioni le cui incognite compaiono solamente al primo grado. La loro risoluzione è molto semplice e tiene conto di tre regole: 1. Si può sommare o sottrarre ad entrambi i membri della disequazione una qualsiasi quantità senza alterarne il risultato.. Si può moltiplicare o dividere entrambi i membri della disequazione una quantità positiva senza alterarne il risultato. 3. Si può moltiplicare o dividere entrambi i membri della disequazione una quantità negativa a patto che si cambi il verso della disequazione per non alterarne il risultato. Di seguito degli esempi di quanto affermato. Gli esempi su queste tre regole, per chiarezza, non contengono incognite, sono dunque in realtà diseguaglianze: 1 3 > Consideriamo una diseguaglianza tra due numeri reali. 3 > > > 7 Alla diseguaglianza considerata aggiungiamo ad entrambi i membri una quantità positiva (5). La diseguaglianza 3 3 > 3 > 1 > 0 3 > 3 > 1 > > 3 > 0,75 > 0,5 6 3 > 1 3 > ( 1) NO 3 > continua ad essere vera. Adesso aggiungiamo ad entrambi i membri una quantità negativa (-), quindi la sottraiamo. La diseguaglianza continua ad essere vera. Moltiplichiamo entrambi i membri per una quantità positiva e la diseguaglianza continua ad essere vera. Dividiamo entrambi i membri per una quantità positiva, e la diseguaglianza non cambia. Se moltiplicassimo i membri della diseguaglianza per un numero negativo

3 VERO 3 < 7 3 > 3 > NO 0,75 > 0,50 VERO 0,75 < 0,50 senza cambiare il segno essa risulterebbe falsa! Lo stesso accadrebbe se li dividessimo per un numero negativo. Risolvere una disequazione significa determinare quali valori può assumere l incognita. Per far questo nelle disequazioni di primo grado bisogna isolarla, portando tutti i termini noti in un membro e l incognita nell altro. 1 x + 1 > Consideriamo una disequazione di primo grado. x > 1 x > 1 Portiamo il termine noto 1 al secondo membro. Per far questo lo sottraiamo ad x + 1 > x > 1 3 x > 1 x > 1 entrambi i membri. È chiaro che questo passaggio può essere sottinteso e per portarlo all altro membro sarà sufficiente cambiarlo di segno. Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente di x, così da isolare l incognita. Otteniamo il risultato della disequazione: l incognita può assumere tutti i valori maggiori di ½. Studio del segno di un polinomio di primo grado Le disequazioni tornano utili nello studio del segno di un polinomio di primo grado. Cioè quando dato un polinomio nella forma P x = x ci si domanda per quali valori di x il polinomio P x risulti positivo, e per quali risulti negativo. Per far questo si utilizzerà una disequazione, impostandola sotto forma di domanda (per quali valori P x > 0? o per quali valori P x < 0?) che ha per risposta la soluzione della disequazione. 1 P x = x + 1 Consideriamo un polinomio di primo grado. P x > 0 x + 1 > 0 Per determinarne il segno ci domandiamo per quali valori il polinomio è (per esempio) positivo. 3 x > 1 Risolviamo la disequazione. x > 1 x > 1 Il polinomio è positivo per quei valori dell incognita maggiori di 1 5 x > 1 Disegniamo la soluzione grafica della disequazione. Sull asse orientato dei numeri reali poniamo la soluzione. Scriviamo per quali valori l incognita è negativa (con dei meno) e per quali è positiva (con dei più). 3

4 Fa attenzione: per trovare il segno di P x ci siamo chiesti per quali valori di x il polinomio sia negativo, ma ci si sarebbe potuto chiedere anche per quali valori il polinomio risulti essere negativo. Conoscendo per quali valori sia negativo conosco automaticamente anche per quali sia positivo! 1 P x = x + 1 Consideriamo un polinomio di primo grado. P x < 0 x + 1 < 0 Per determinarne il segno ci domandiamo per quali valori il polinomio 3 x < 1 x < 1 x < 1 5 x < 1 è (per esempio) negativo. Risolviamo la disequazione. Il polinomio è negativo per quei valori dell incognita minori di 1 Disegniamo la soluzione grafica della disequazione. Sull asse orientato dei numeri reali poniamo la soluzione. Scriviamo per quali valori l incognita è negativa (con dei meno) e per quali è positiva (con dei più). Studio del segno di una frazione Con lo stesso metodo è possibile studiare il segno di una frazione del tipo F x = P x Q x contenente cioè due polinomi di primo grado. Bisognerà però avere qualche accortezza in più: 1. Prima si studi il segno del Numeratore.. Poi quello del Denominatore. 3. Infine si confrontino le soluzioni, con la regola dei segni. 1 Studio il segno di N. F x = x + 1 x + 8 x + 1 > 0 3 x > 1 x > 1 Consideriamo una frazione composta da due polinomi di primo grado. Studiamo il segno del numeratore, chiedendoci (per esempio) per quali valori dell incognita il polinomio è positivo. Risolviamo la disequazione. x > 1 x > 1 Rappresentiamo la soluzione su un grafico. 5 Nota bene: in corrispondenza di x = 1 il polinomio vale zero! Bisogna scriverlo!

5 6 Studio il segno di D. x + 8 < 0 7 x < 8 x < 8 x < Studiamo il segno del denominatore, chiedendoci (per esempio) per quali valori dell incognita il polinomio è negativo. Risolviamo la disequazione. 8 x < Rappresentiamo la soluzione sullo stesso grafico di prima. Attenzione anche in questo caso in corrispondenza di x=- il polinomio assume valore di zero. 9 Studiamo il segno della frazione, mettendo a confronto i segni dei singoli polinomi ed applicando la regola dei segni. Consideriamo le tre sezioni ( ; ), ( ; 1 ), ( 1 ; ) con i rispettivi segni. 10 Dividiamo il segno del numeratore per quello del denominatore per ogni sezione. Ricorda: meno/meno=più, meno/più=meno ecc. Segni concordi = +, segni discordi = In corrispondenza di -, dove lo zero figura al denominatore la frazione non esiste! (Non è possibile dividere per zero), per questo lo si segnala con un pallino vuoto. In corrispondenza di ½ assume valore di zero, perché zero diviso un numero positivo da zero. 1 F x > 0 x ( ; ) ( 1 ; + ) Determinato il segno della frazione scriviamo la soluzione. F x < 0 x ( ; 1 ) La Parabola Si definisce equazione della parabola quell equazione in due variabili di cui almeno una è al secondo grado. Generalmente si trova nella forma: Per esempio: y = ax + bx + c y = x 7x + 10 L equazione della parabola ci consente di individuare coppie di numeri reali che rappresentano le coordinate di punti che appartengono ad una parabola. È possibile disegnare la parabola in modo qualitativo in pochi passaggi: 1. Osserviamo a. Se a > 0 la parabola è rivolta verso l alto. Se a < 0 è rivolta verso il basso. 5

6 . Individuiamo l intersezione con l asse delle ordinate (y), che ha coordinate (0; c), dove c è il valore del termine noto. 3. Individuiamo l intersezione con l asse delle ascisse (x), ponendo la quota y = 0 dunque 0 = ax + bx + c. Risolviamo l equazione di secondo grado trovando due valori di x, che saranno le ascisse di due punti: A (x; 0) e B (x; 0). Individuiamo l ascissa (x) del vertice della parabola con la formula x V = b a 1 y = x + 5x + Consideriamo l equazione di una parabola. x 1 Individuiamo il verso: (verso il basso) 1 < 0 3 y = x + 5x + con x = 0 y = Individuiamo l intersezione con le ordinate. y = x + 5x + x + 5x + = 0 Per individuare l intersezione con le ascisse poniamo y = 0. 5 x 1; = b ± b ac Utilizzando la formula risolutiva troviamo a i valori di x. 5 ± ± 1 x 1; = = x 1 = 0, x = 5,6 6 x V = 5 = 5/ Trovo l ascissa del vertice. 7 Con i dati raccolti proviamo a disegnare qualitativamente la parabola. Studio del segno di un polinomio di secondo grado L equazione della parabola può essere utilizzata per risolvere le disequazioni di secondo grado ed individuare il segno dei polinomi di secondo grado. È sufficiente a questo scopo considerare la disequazione come un equazione di una parabola per individuare i due valori di x, e disegnarli sul piano cartesiano. Il polinomio di secondo grado è positivo ogni qual volta ad un valore di x corrisponde un valore positivo di y. Nel caso delle parabole rivolte verso l alto ( ) avranno questa caratteristica tutti i valori di x esterni a quelli individuati con la formula risolutiva, mentre per quelle rivolte verso il basso ( ), quelli interni. È opportuno per capire meglio un esempio: 1 P x = x 10x + 16 Consideriamo un polinomio di secondo grado. Vogliamo determinarne il segno. 6

7 y = x 10x + 16 Consideriamo l equazione come quella di una parabola. 3 Verso y = 16 x V = 10 = 5 Individuiamo il verso, l intersezione con le ordinate e l ascissa del vertice. x 1; = 10 ± = 10 ± 6 Individuiamo l intersezione con le ascisse utilizzando la formula risolutiva. x 1 = = 16 = 8 x = 10 6 = 5 Disegniamo la parabola in maniera qualitativa. 6 Individuo i valori positivi, esterni alle due soluzioni, e quelli negativi, interni alle due soluzioni. In corrispondenza delle due soluzioni x = 0. 7 Rappresentiamo su un grafico la soluzione. 8 P x > 0 x ( ; ) (8; + ) Scriviamo la soluzione. Disequazioni fratte con polinomi di secondo grado. È possibile combinando questo metodo di risoluzione con quello delle disequazioni fratte, disequazioni nella quale compare l incognita al denominatore, risolverne di più complesse. Di seguito un esempio. 1 x + x x Studio il segno di N. y = x + x + 1 Verso y = 1 x V = 1 Prendiamo il caso di una disequazione fratta contenente un polinomio di secondo grado. Studiamo il segno del numeratore risolvendo l equazione della parabola. 7

8 3 ± x 1; = = = 1 Utilizziamo la formula risolutiva. NB: è possibile utilizzare anche il prodotto notevole (quadrato di binomio) in questo caso. Disegno qualitativamente la parabola. 5 Poiché la parabola, tangente all asse delle ascisse, non ha nessun punto in cui y < 0, il polinomio è sempre positivo. Quando x = 1 allora assumerà valore di zero. 6 Studio il segno di D. Per studiare il segno del denominatore mi x > 0 x > chiedo per quali valori di x il polinomio assumerà valore positivo. 7 Rappresento la risposta sul grafico di prima. 8 Applico la regola dei segni ed individuo le soluzioni della disequazione. Poiché la disequazione ammette per soluzione i valori maggiori o uguali a zero, segniamo l 1 come soluzione accettabile. 9 S: x (; + ) {1} Scriviamo la soluzione. Sistemi di disequazioni È possibile studiare anche sistemi di disequazioni. Le soluzioni di un sistema di disequazioni saranno le soluzioni comuni ai polinomi che compongono il sistema. 1 Risolvo d1. { x + 3 > 0 x Consideriamo un sistema di disequazioni composto da due polinomi. Risolviamo la prima disequazione, individuando quei valori di x che rendono il polinomio maggiore di zero. x + 3 > 0 x > 3 3 Rappresentiamo la soluzione su un grafico. Risolvo d. x x 1 6 Risolviamo la seconda disequazione. 8

9 x 5 x 5 5 Rappresentiamo la soluzione sullo stesso grafico. 6 Confrontiamo i grafici e consideriamo vere solo le soluzioni comuni. S: x [5; ) Scriviamo la soluzione. Le Funzioni Definizioni La corrispondenza è un associazione di uno o più elementi di un insieme A, con uno o più elementi di un insieme B, eseguita mediante una regola La funzione (o applicazione) è una particolare corrispondenza in cui ad un elemento di A viene associato uno ed un solo elemento di B. L elemento di B associato ad un elemento di A, tramite una regola, è immagine di quell elemento. La funzione è iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. La funzione è suriettiva (o surgettiva) se ogni elemento di B è immagine di un elemento di A. La funzione è biunivoca (o biettiva) se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, ed ogni elemento di B è immagine di un elemento di A. È cioè contemporaneamente iniettiva e suriettiva. La funzione è invertibile se e solo se essa è biunivoca. f: A B f: B A 9

10 Il codominio o insieme immagine è l insieme formato da quegli elementi di B che sono immagine di un qualche elemento di A. Nel caso delle funzioni suriettive I B I: {b1; b; b3} Il Dominio Il dominio di una funzione è costituito dall insieme degli elementi di A che possono essere associati, mediante una legge stabilita, ad un elemento di B. Per consuetudine data una funzione f: A B si considera A D. Data una funzione f: R R è fondamentale prima di studiarla stabilirne il dominio, ovvero escludere dai numeri reali dell insieme A quelli che annullerebbero la funzione. Di seguito riportiamo nei diversi casi quale operazione è necessaria per individuare il dominio. Funzione Dominio Razionale intera Nessuna operazione Razionale fratta Porre il denominatore 0 Irrazionale intera, con indice dispari Nessuna operazione Irrazionale intera, con indice pari Porre il radicando 0 Irrazionale fratta, con indice dispari Porre il denominatore del radicando 0 Irrazionale fratta, con indice pari In un sistema porre le seguenti condizioni: radicando 0 denominatore del radicando 0 (Quest ultima operazione potrà non essere svolta, perché già considerata nella prima) Logaritmo Porre la base > 0 Nel caso di una funzione sotto forma di espressione, tutte le condizioni del dominio devono essere poste in un sistema. Alcuni esempi di come si determina il dominio: 1 3 Risolvo la 1d. Studio N. f x = 3x 6x x 3x 6x { 0 x x 0 y = 3x 6x Verso y = 0 x V = 6 6 = 1 3x 6x = 0 3x(x ) = 0 x 1 = 0 x = Consideriamo una funzione f: R R Individuiamo il campo di esistenza, tramite un sistema. Risolviamo la prima disequazione ed iniziamo con lo studiare il nominatore. È una parabola rivolta verso l alto, che interseca l asse delle y nell origine. Troviamo l intersezione con le ascisse. I valori esterni sono positivi, quelli interni negativi. 5 Rappresentiamo le soluzioni su un grafico. 10

11 6 Studio D. x < 0 x < x > Studiamo il denominatore e mi chiedo (per esempio) quand è che la x assume valori negativi. 7 Rappresentiamo la soluzione sullo stesso grafico. 8 Confrontiamo le soluzioni. In corrispondenza di ho 0 il cui risultato è 0 indeterminato, perciò non la considero come soluzione. 9 Studio d. x 0 x Risolviamo la seconda disequazione, mi rendo conto però che il risultato è già stato considerato nella risoluzione della prima. 10 Confronto le due soluzioni. La soluzione del sistema coincide con quella della disequazione del radicando. 11 D: ( ; 0] Scrivo il campo di esistenza, ovvero il dominio della funzione. 1 Rappresento sul cartesiano il dominio: escludo le aree in cui la funzione non può esistere. Nel primo e nel quarto non può esistere come risultato della nostra disequazione. Nel terzo perché una radice con indice pari non può mai assumere valore negativo. 1 f x = x 3 Studio d x 1 ln(x 7x + 3) x 0 { x 7x + 3 > 0 x 0 x x Consideriamo una funzione f: R R complessa con diversi polinomi. Cerchiamo il campo di esistenza della funzione mettendo a sistema le diverse condizioni richieste. Studiamo la prima disequazione. 11

12 Rappresentiamo la prima soluzione su di un grafico. 5 Studio d. x 7x + 3 > 0 x 7x + 3 = 0 7 ± 9 1 x 1; = = 7 ± 37 x 1 = ,5 x = ,5 Studiamo la seconda disequazione, risolvendo l equazione associata. Consideriamo i valori esterni alle ascisse trovate. 6 Rappresentiamo anche la seconda soluzione. 7 Determiniamo la soluzione dell intero sistema, ovvero il dominio della funzione. 8 D: ( Scriviamo la soluzione ; ) 9 Rappresentiamo il dominio sul piano cartesiano. Realizzato il 07/11/015 da Paolo Franchi, 5BC (A.S. 015/016) per Sapere Aude! (gscatullo.altervista.org) AMDG 1