Esercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale

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1 Esercitzione di Mtemtic sulle equzioni di secondo grdo (o d esse riconducibili) nel cmpo rele 1. Risolvere, nel cmpo rele, le seguenti equzioni di secondo grdo: () 81x 0; (b) (x 1) 7x ; (c) 7x x 0; (d) x x + 0; (e) (x + )(x ) 6x x ; (f) (x 1) x(x ) ; (g) (x + ) 10 (h) + x + x x 1 1 x ; (i) x x 7 0; (j) x x (x + )(x ) x;. () Determinre due numeri reli venti come somm e come prodotto 10; (b) Risolvere il sistem seguente nelle incognite u, v: { u + v uv 1. Risolvere, nel cmpo rele, le seguenti equzioni riconducibili d equzioni di secondo grdo (frtte o biqudrtiche): () 1 x 1 x 1; (b) x + 1 x 1 x + x x + 0; (c) x x + 0; (d) x + x 0.. Determinre per quli k R (k 1) l'equzione (k + 1)x kx + k + 0 () mmette un soluzione null ovvero è un'equzione spuri; (b) è un'equzione pur; (c) mmette soluzioni reli; (d) mmette un soluzione x ; (e) h un rdice ugule diminuito dell'ltr rdice; (f) h un rdice che è l'ntireciproco dell'ltr. 1

2 Risoluzione esercizi 1. () L'equzione 81x 0 è un'equzione di secondo grdo pur. Trsportndo il termine noto l secondo membro e dividendo mbo i membri per 81, si h: x 7 81 x ± 81 x ± (b) Eliminndo l prentesi l primo membro e trsportndo i termini dl secondo l primo membro, si h: x 7x + 0 d cui, sommndo i termini simili l primo membro si otttiene l form normle dell'equzione dt d x 7x 0 che rpprersent un'equzione spuri le cui soluzioni sono x 1 0 ed x 7/. (c) Ricordimo che, un'equzione di secondo grdo complet in form normle x + bx + c 0, mmette le soluzioni x 1, b ± con b c e che tli soluzioni sono reli se 0 eventulmente coincidenti se vle l'ugule. Nel cso in esme bbimo, b, c sicché il discriminnte ( ) 7 ( ) > 0 per cui si hnno due soluzioni reli e distinte dte d x 1, ( ) ± 81 7 ± 1 e, quindi, x , x (d) Procedendo come nel cso precedente (tenendo conto che 1, b, c ), si h: 8 17 > 0 l'equzione mmette due soluzioni reli e distinte Applicndo l formul risolutiv, si h: x 1, ± 17 (e) L'equzione (x + )(x ) 6x x v dpprim portt in form normle per poi procedere come nei csi precedenti. Così fcendo si h: (x+)(x ) 6x x x 6x x+ 0 x 7x 1 0 Risult 7 1 ( 1) + > 101 > 0 per cui l'equzione mmette due soluzioni reli distinte dte d x 1, 7 ± 101.

3 (f) Procedendo in modo nlogo l cso precedente, si h: (x 1) x(x ) x x + x 1 x x x x + x 1 x + x + 0 x + 8x Poichè il coeciente b dell x h l form k, è pplicbile l formul risolutiv ridott x 1, b ± con ( b ) c. Tornndo ll'equzione che si st risolvendo (essendo, b 8, c 1), si h che ( ) > 0 per cui si hnno le due soluzioni reli e distinte x 1, ± 1 ovvero x 1 1, x (g) Conviene dpprim eliminre i denomintori tenendo conto del ftto che il mcm tr di essi è 0: (x + ) x (x + )(x ) 1 x 10 (x + ) ( x) 0 (x + )(x ) 0x 0 0 (x + x + ) 8 + x 0 (x ) 0x x + 8x x 0 0x. x +8x x +0+0x 0 x +x 0 x x 0 Quest'ultim è un'equzione spuri vente le soluzioni x 1 0 8/ che risolvono nche l'equzione di prtenz dt ed x l'equivlenz con l'ultim scitt. (h) Procedendo nlogmente l cso precedente, si h: + x +x 1 x 1 + x + x (1 x ) 1+x +x x 1 + x + x + x 0 10x + x + 0. Risult < 0 per cui l'equzione non mmette soluzioni reli. (i) L'equzione è nell form cnonic x + bx + c 0 con, b, c 7 e, potendo pplicremul risolutiv ridott, si h: ( ) b c ( ) > 0 per cui l'equzione mmette le due soluzioni reli dte d x 1, b ± ± 16 ±

4 (j) Procedendo come nel cso precedente pplicndo l formul risolutiv ridott, si h: ( ) > 0 x 1, 1 ± 81 1 ± e, in deni- d cui, rzionlizzndo il rpporto, x 1, (1 ± ) tiv, x 1 8, x 6.. () I numeri cercti rppresentno le soluzioni x 1, x dell'equzione x sx + p 0, x 1 + x s, x 1 x p Nel cso in esme s e p 10 sicché l'equzione d risolvere è x x 10 0 x 1, ± 1 vendo pplicto l formul risolutiv ridott. In denitiv, i numeri cercti sono 1 e + 1. (b) Il sistem simmetrico in questione è riconducibile d un equzione di secondo grdo: x x 11 0 x x 1 0 x 1, ± + ± 6 vendo pplicto ncor l formul risolutiv ridott nel risolvere l'equzione. Ne consegue che le soluzioni del sistem sono, llor, dte d u 6 v + 6 u + 6 v 6. () Anché l'equzione non perd di signicto, deve versi che i denomintori sino non nulli e, cioè, deve risultre x 0. Ciò premesso, si h: 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x x x Risult 1 < 0 per cui l'equzione non mmette soluzioni reli. (b) Anché l'equzione non perd di signicto deve versi che i denomintori sino non nulli che è rcchiudibile nell condizione x 0 x ± essendo x (x + )(x ) il mcm tr i denomintori. Sotto l condizione impost possimo procedere come segue:

5 x + 1 x 1 0 x x + 0 x + 1 (x + ) + x(x ) (x + )(x ) x + 0 (x + )(x ) x +1 x +x x 0 x x 1 d cui, pplicndo l formul risolutiv essendo 17 > 0, x 1, ± 17 entrmbe ccettbili poiché diverse d ±. (c) Posto t x, l'equzione si scive come t t + 0 t 1, ± ± 7 / R per cui l'equzione di qurto grdo dt non mmette lcun soluzione rele. (d) Posto t x, l'equzione si scrive come t + t 0 t 1, ± 7 vendo pplicto l formul risolutiv ridott. Dll sostituzione ftt, si ricv x ± t 1, sicché x ± t 1 7 / R in qunto 7 < 0 essendo < 7; x ± t + 7. le soluzioni reli dell'equzione di qurto grdo sono, llor, x e x In tutt l trttzione seguente ci riferimo d un'equzione dell form x + bx + c 0 con k + 1, b k, c k +. Ciò premesso, pssimo lle risposte i quesiti posti. () L'equzione è spuri se c 0 che, nel nostro cso, conduce ll condizione k + 0 d cui k. (b) Ricordndo che un'equzione di secondo grdo è pur se b 0, si ottiene l condizione k 0 d cui k 0. (c) Un'equzione di secondo grdo mmette soluzioni reli se 0. Nel nostro cso, tenendo presente che b è dell form α, si h: ( ) b ( ) k (k) c (k + 1)(k + ) k (k + k + k + ) k (k + k + ) k k k k. Imponendo l condizione 0, si perviene ll disequzione k 0 d cui k.

6 (d) Sostituendo x nell'equzione, si h: (k + 1) k + k + 0 (k + 1) k + k + 0 k + k + k + 0 k k 6 (e) Indicte, l solito, con x 1 e x le soluzioni (rdici) dell'equzione, dire che un rdice è ugule diminuito dell'ltr rdice, conduce ll'uguglinz x 1 x x 1 + x d cui, tenendo presente che x 1 + x b, per confronto tr le ultime due relzioni scritte, si h: b b Tenendo presente che k + 1, b k, si ottiene: k k + 1 k k + 1 k (k + 1) k (k + 1) k k + k k k k (f) Indicte ncor con x 1, le rdici, un soluzione è l'ntireciproco dell'ltr se risult x 1 1 x x 1 x 1 Ricordndo che x 1 x c scritte, si h: per confronto tr le due ultime relzioni d cui c 1 k + k esssendo k + 1, c k + k+ (k+1) k+ k 1 k+k 1 k e, dividendo per mbo i membri dell'ultim equzione scritt, si determin k. 6