Erasmo Modica. : K K K

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1 L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic [email protected] Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce introdurre tle insieme in mnier costruttiv, cioè ssumendo i numeri nturli come concetti primitivi, per costruire l insieme dei numeri rzionli e, successivmente, quelli irrzionli. Lo scopo di queste pgine è quello di presentre l insieme in mnier ssiomtic, prestndo prticolre ttenzione lle sue proprietà. Inftti, si introdurrà il risultto di Richrd Dedekind ( ) del 1872, il qule prtì dll differenz intuitiv tr ciò che crtterizz il continuo rispetto i numeri rzionli. STRUTTURA ALGEBRICA Definizione: Si definisce cmpo un insieme non vuoto interne: : K K K : K K K in cui sono definite due operzioni che godono delle seguenti proprietà: Associtiv c c c c Commuttiv Elemento neutro Simmetrico 1 con Proprietà distriutiv dell c c moltipliczione rispetto ll ddizione Osservzione: Poiché l insieme dei numeri reli soddisf tutte le precedenti proprietà possimo ffermre che è un cmpo. Ersmo Modic 1

2 L insieme dei numeri reli ORDINAMENTO L insieme dei numeri reli è totlmente ordinto in senso stretto in qunto vlgono le seguenti proprietà: TRANSITIVA c c LEGGE DI TRICOTOMIA PROPRIETÀ ARCHIMEDEA DENSITÀ sempre vle solo un delle seguenti relzioni: ; ;, con, esiste, con, 1, esiste tle che: sempre tle che: n n, con, fr di essi sono compresi infiniti numeri reli. CONTINUITÀ Definizione: Si definisce clsse di numeri rzionli un qulsisi insieme costituito d numeri rzionli. Definizione: Due clssi A e B non vuote di numeri rzionli si dicono seprte in senso deole se ogni numero dell clsse A è minore di ogni numero dell clsse B, cioè: A, B Osservzione: Dll definizione di clssi seprte segue che le due clssi A e B possono vere l più un solo elemento in comune. Definizione: Dte due clssi A e B di numeri rzionli seprte si dice elemento seprtore ogni numero rzionle r tle che r, A e B. Definizione: Due clssi A e B non vuote di numeri rzionli si dicono contigue se godono delle seguenti proprietà: 1. sono seprte; 2. per ogni numero, esistono sempre un numero A e un numero B tli che: Ersmo Modic 2

3 L insieme dei numeri reli L coppi AB, prende il nome di coppi di clssi contigue in. Osservzione: L proprietà di cui godono le clssi contigue è nche dett proprietà dell vvicinmento indefinito in qunto due insiemi contigui possono essere immginti come due insiemi i cui elementi si vvicinno sempre di più. Esempio: Le clssi e 1 sono due clssi contigue in. Osservzione: L elemento seprtore di due clssi seprte può non essere un numero rzionle! Inftti se considerimo le clssi e, si dimostr fcilmente che: sono seprte, in qunto ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B; sono contigue, inftti, dll seguente tell, è fcile intuire che comunque si fissi un numero piccolo picere, è possiile trovre un elemento in A e un elemento in B tli che l loro differenz si minore di. A B x 2 x y y ,96 1,4 1,5 2,25 1,9881 1,41 1,42 2,164 1, ,414 1,415 2,2225 1, ,4142 1,4143 2, , , , ,1828 1, , , , L clsse contigu mmette un unico elemento seprtore che è 2 e non è rzionle. 1 Con il simolo si indic l insieme dei numeri nturli privto dello zero. Ersmo Modic 3

4 L insieme dei numeri reli PROPRIETÀ DI CONTINUITÀ O ASSIOMA DI DEDEKIND Se è un coppi di clssi contigue in, esiste sempre un numero r che non è inferiore d lcun numero di A e non è superiore d lcun numero di B. Il numero r prende il nome di elemento seprtore delle due clssi contigue A e B e si scrive: Si dimostr il seguente: Teorem: Ogni coppi di clssi contigue in mmette un unico elemento seprtore. Dt un coppi di clssi contigue si possono quindi presentre due csi: 1. esiste un numero rzionle r mggiore o ugule di ogni numero di A e minore o ugule di ogni numero di B, in questo cso r è l elemento di seprzione delle clssi A e B e si scriverà ; 2. non esiste un tle numero e quindi le clssi sono seprte d un nuovo ente che prende il nome di numero irrzionle e si scriverà. Quindi ogni coppi di clssi contigue definisce un numero rzionle oppure un numero irrzionle e si h l seguente: Definizione: Si definisce numero rele ogni coppi di clssi contigue in. DISTANZA EUCLIDEA Definizione: Si definisce vlore ssoluto del numero rele il numero così definito: se se Osservzione: Si ricordi che l scrittur " " v lett come l opposto di in qunto il segno - dvnti ll letter, nell immginrio collettivo, lsci intendere che il numero si negtivo, mentre sppimo che tutto dipende, ppunto, d. Inftti se 3, llor 3 che non è un numero negtivo! Ersmo Modic 4

5 L insieme dei numeri reli Osservzione: Dll definizione precedente segue che: ;. PROPRIETÀ DEL VALORE ASSOLUTO P1 P2 P3 oppure P4 P5, con, si h: ; o. Se ed sono costnti, con, si h: x x P6 P7 Il vlore ssoluto dell somm di due numeri reli è minore o ugule ll somm dei vlori ssoluti dei singoli numeri, cioè: 2 si h: ; Definizione: Nell insieme dei numeri reli si definisce distnz euclide dei numeri e il numero non negtivo: L distnz euclide gode delle seguenti proprietà: NON NEGATIVITÀ SIMMETRIA DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE L insieme dei numeri reli, grzie queste proprietà, si dice che è uno spzio metrico euclideo. 2 Vle l uguglinz se e sono concordi. Ersmo Modic 5

6 L insieme dei numeri reli INTERVALLI E INTORNI Definizione: Si considerino i numeri reli e, con, si definisce: intervllo perto di estremi e, l insieme di tutti i numeri reli x tli che x, cioè: intervllo perto destr di estremi e, l insieme di tutti i numeri reli x tli che x, cioè: intervllo perto sinistr di estremi e, l insieme di tutti i numeri reli x tli che x, cioè: intervllo chiuso di estremi e, l insieme di tutti i numeri reli x tli che x, cioè: Spesso per indicre gli intervlli perti si utilizzno le prentesi tonde l posto delle prentesi qudre, cioè: con si indic nche l intervllo perto ;, con si indic nche l intervllo perto destr ;, con si indic nche l intervllo perto sinistr., Esempio: L intervllo perto destr 2,5 indic l insieme di tutti i numeri reli che sono compresi tr 2 e 5 d esclusione dell estremo 5. Ersmo Modic 6

7 L insieme dei numeri reli Definizione: Si consideri il numero rele, si definiscono: intervlli illimitti inferiormente, rispettivmente perto e chiuso, gli insiemi: intervlli illimitti superiormente, rispettivmente perto e chiuso, gli insiemi: Osservzione: Esiste un corrispondenz iunivoc tr l insieme dei numeri reli e l insieme dei punti di un rett orientt. Grzie tle corrispondenz è possiile scmire l prol numero con l prol punto. Definizione: Si definisce: intorno completo di un qulsisi intervllo perto contenente x ; intorno sinistro di un qulsisi intervllo perto sinistr vente come estremo destro x, ; x, cioè: intorno destro di un qulsisi intervllo perto destr vente come estremo sinistro x cioè: x, ; intorno di ogni intervllo illimitto inferiormente; intorno di ogni intervllo illimitto superiormente; Ersmo Modic 7

8 L insieme dei numeri reli intorno di ogni insieme di numeri reli del tipo:,, intorno circolre del punto x un qulsisi intervllo perto del tipo x, x x - x x + intorno circolre di infinito un qulsisi intervllo perto del tipo,, Not Generlmente gli intorni circolri del punto x si indicno con essendo un numero rele mggiore di zero che prende il nome di rggio dell intorno di centro x. Inoltre l mpiezz di un sifftto intorno è pri 2. Proposizione: L intersezione di due intorni del punto x è un ncor un intorno del punto x. INSIEMI LIMITATI E ILLIMITATI Definizione: Si consideri un sottoinsieme non vuoto A di, si dice che l insieme A è: limitto superiormente se esiste un numero rele k, detto mggiornte di A, che risult essere mggiore o ugule di ogni elemento di A, cioè: limitto inferiormente se esiste un numero rele h, detto minornte di A, che risult essere minore o ugule di ogni elemento di A, cioè: Ersmo Modic 8

9 L insieme dei numeri reli illimitto superiormente se comunque si scelg un numero rele k esistono sempre elementi di A che sino mggiori di k, cioè: illimitto inferiormente se comunque si scelg un numero rele h esistono sempre elementi di A che sino minori di h, cioè: limitto se è limitto si superiormente che inferiormente, cioè: illimitto se non è limitto né superiormente né inferiormente. Esempi: 1. L insieme dei numeri rzionli è illimitto. 2. L insieme dei numeri nturli è limitto inferiormente ed illimitto superiormente. ESTREMI DI UN INSIEME Definizione: Si A un sottoinsieme non vuoto di, se: esiste un numero rele m A tle che, per ogni x A, si i m x, llor m prende il nome di minimo di A e si scrive m min A; esiste un numero rele M A tle che, per ogni x A, si i x M, llor M prende il nome di mssimo di A e si scrive M mx A. Osservzione: Ogni insieme finito e non vuoto di numeri reli mmette sempre mssimo e minimo, mentre se un insieme è infinito non è detto che li mmett. Inftti l insieme: è dotto di mssimo 1 minimo (perché ). mx A, m, nche se è limitto inferiormente dllo zero, non mmette Esempi: 1. L intervllo,3 h come mssimo il numero 3, m non mmette minimo. 2. L insieme dei numeri nturli mmette lo come minimo m non mmette mssimo, in qunto non è limitto superiormente. Ersmo Modic 9

10 L insieme dei numeri reli Dto che non sempre h senso prlre di mssimo e minimo di un insieme, si introduce il concetto più generle di estremo superiore e di estremo inferiore di un insieme. Definizioni: 1. Un numero rele l si dice estremo inferiore per l insieme A, e si indic con inf A, se:. ogni elemento di A è mggiore o ugule l;. preso comunque, esiste lmeno un elemento di A tle che si minore di l. 2. Un numero rele L si dice estremo superiore per l insieme A, e si indic con sup A, se:. ogni elemento di A è minore o ugule L;. preso comunque, esiste lmeno un elemento di A tle che si mggiore di L. TEOREMA DELLA COMPLETEZZA Se un insieme di numeri reli è limitto superiormente, llor mmette uno e un solo estremo superiore; se è limitto inferiormente llor mmette uno e un solo estremo inferiore. IL CAMPO È COMPLETO Not Se un insieme è illimitto superiormente, mmette come estremo superiore; invece se è illimitto inferiormente, mmette come estremo inferiore. In se ciò possimo ffermre che ogni sottoinsieme non vuoto di mmette sempre un estremo superiore e un estremo inferiore che possono essere finiti o meno. Osservzione: Riprendendo l insieme possimo notre che di certo non mmette un minimo perché lo non pprtiene ll insieme, però tutti gli elementi di A sono mggiori di zero e ll umentre di n gli elementi di A si vvicinno sempre più llo senz mi rggiungerlo. Quindi lo è un limite inferiore per l insieme A ed è il più vicino gli elementi di A, in qunto ogni intorno destro di, nche se piccolissimo contiene sempre elementi di A. Per tle rgione si prl di estremo inferiore di A. Ne deducimo che l estremo inferiore non è necessrimente un punto di A. Ersmo Modic 1

11 L insieme dei numeri reli Esempi: 1. L intervllo, non mmette mssimo in qunto è perto destr, m è il suo estremo superiore. Invece è l estremo inferiore dell intervllo ed è nche minimo. 2. Determinimo estremi superiore ed inferiore dell insieme. D x n n n, segue che 1 x 2, cioè che A è un insieme limitto e, per il teorem di completezz, mmette estremo superiore ed estremo inferiore. Per n 1 si ottiene x 2, di conseguenz 2 mx A sup A. Essendo 1 x 2, possimo suito dire che 1 soddisf l prim condizione dell definizione di estremo inferiore; provimo l second condizione:, x A: x 1 Bisogn quindi risolvere l seguente disuguglinz: d cui segue che: Quindi tutti i numeri 1. Possimo concludere che 1 inf A. x n 1 1 n n n 1 che si ottengo per vlori di n mggiori di 1 risultno minori di n ELEMENTI DI TOPOLOGIA DELLA RETTA REALE Definizioni: Si A un sottoinsieme non vuoto di e si. Il punto x si dice: interno ll insieme A esterno ll insieme A se esiste un intorno tutto contenuto in A, cioè: se esiste un intorno che non contiene lcun punto di A, ovvero è costituito solo d punti pprtenenti l complementre di A, cioè: di frontier per A se non è né interno né esterno d A, cioè se in ogni intorno di x cdono C lmeno un punto di A ed lmeno un punto di A di ccumulzione per A se in ogni intorno di x cdono infiniti punti di A se esiste un intorno che non h punti in comune con A eccetto x, isolto per A cioè: Ersmo Modic 11

12 L insieme dei numeri reli Esempio: Dimostrre che lo è punto d ccumulzione per l insieme. Per dimostrre ciò st dimostrre che preso comunque, nell intorno cdono infiniti punti di A. Considerndo 1 1 n n possimo dedurre che per ogni vlore di n mggiore di 1 si ricvno infiniti numeri di A tutti interni ll intervllo e quindi nche nell intervllo. Lo è quindi punto di ccumulzione per l insieme A. Osservzione: L esempio mette in luce il ftto che un punto di ccumulzione per un insieme può non pprtenere llo stesso, inftti lo è punto d ccumulzione per A m non pprtiene d A. Teorem: Ogni sottoinsieme di infinito e limitto mmette lmeno un punto d ccumulzione. È possiile generlizzre il suddetto teorem se si dottno le seguenti convenzioni: o se A è un insieme non limitto, l infinito è un punto di ccumulzione; o se A è un insieme non limitto inferiormente (superiormente), meno infinito (più infinito) è un punto di ccumulzione. Teorem: Ogni sottoinsieme di infinito mmette sempre lmeno un punto d ccumulzione che si trov in un punto di o ll infinito. Ersmo Modic 12

13 L insieme dei numeri reli ESERCIZI ESERCIZIO 1 Verificre che l insieme mmette come estremi superiore e inferiore rispettivmente i numeri reli 5 e 3. ESERCIZIO 2 Determinre l estremo superiore e l estremo inferiore del seguente insieme: ESERCIZIO 3 Verificre che il numero rele x 1 è un punto d ccumulzione per l insieme L insieme A mmette punti isolti? In cso di rispost ffermtiv portre degli esempi. Ersmo Modic 13