3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)

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1 . Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y nel codominio che gli corrisponde. Non è tuttvi vero, in generle, il vicevers, non è cioè detto che comunque si scelg un vlore di y nel codominio dell funzione d esso corrispond un solo vlore dell nell colonn dei primi memri: vi sono certmente dei csi di funzione per cui ciò ccde, m non è tuttvi richiesto dll definizione di funzione. Le funzioni che godono di un tle prticolre proprietà vengono dette funzioni iniettive. Definizione: un f : A B si dice iniettiv se d elementi diversi di A corrispondono elementi diversi di B Se cioè A ' A ' f ( ) f ( ') f ( ) f ( ' ) f (') f () ' funzione non iniettiv ' funzione iniettiv Esempi di funzioni iniettive sono l rett, l rdice qudrt, il logritmo, l esponenzile; esempi di funzioni non iniettive sono l prol, il seno, il coseno, l tngente, il rmo superiore di un circonferenz. Non è poi detto che, se f : A B, qulor B non coincid con il codominio dell funzione, tutti gli elementi di B sino l immgine di un elemento di A: possono esservi in B degli elementi che non è possiile ottenere ttrverso f( ) prtendo d un qulunque elemento di A. Ad esempio considerimo l funzione: f : In questo cso si A che B sono l insieme dei numeri reli, e come si vede fcilmente, d esempio trmite f( ) non é mi possiile ottenere il numero rele. Definizione: un funzione f : A B si dice suriettiv qundo ogni elemento di B è immgine di lmeno un elemento di A. Per meglio cpire v ricordto che un funzione sono tre cose: l legge y f( ), l insieme di prtenz e l insieme di rrivo. Quest ultimo non è detto che coincid con il codominio dell espressione y f( ), in prticolre se il codominio è un sottoinsieme dell insieme di rrivo, l funzione non è suriettiv. Tornndo ll esempio precedente, l funzione: f :

2 divers d quell di prim, è invece suriettiv. Poiché un funzione rele di vriile rele non è definit soltnto dll su espressione nlitic, m nche dll insieme su cui ess gisce e dll insieme dove si trovno le immgini dei punti di prtenz, prità di espressione nlitic l funzione potrà essere suriettiv o meno second degli insiemi che le sono ssociti. Ad esempio: f : sin non è suriettiv f : [,] sin è suriettiv. Se poi l funzione gode di entrme le proprietà sopr esposte llor si dirà iunivoc o iiettiv. Definizione: un funzione f elemento di A (è quindi un corrispondenz iunivoc fr A e B) : A B si dice iiettiv se ogni elemento di B è immgine di uno ed un solo funzione qulunque funzione iniettiv funzione suriettiv funzione iiettiv Notre però che un funzione può nche non essere né iniettiv né suriettiv, ne è un esempio il cso precedente f :. Esempio 5 Sino dti gli insiemi A; 4;6; e ; ; ;9;7 B e si inoltre definit l relzione f : A B per cui: f () f (4) f (6) f ( ) stilire se f è un funzione, se f è iniettiv, se f è suriettiv e se f è iiettiv. Scrivere quindi il dominio di f ed il suo codominio. L relzione è un funzione, il dominio è tutto l insieme A, il codominio è un sottoinsieme di B, cioè ; ;. L funzione non è iniettiv perché i due elementi e è ssocit l stess immgine. L funzione non è nemmeno suriettiv perché gli elementi di B, 9 e 7 non sono immgine di nessun elemento di A. 4

3 Esempio 6 Dire se le funzioni: f : y f : y y y sono iniettive e suriettive. Le due funzioni sono l un l invers dell ltr ed il loro grfico si ottiene per simmetri rispetto ll isettrice del primo e terzo qudrnte. Come si vede di grfici qulunque rett orizzontle intersec le funzioni un solo volt, quindi sono entrme iniettive. Inoltre il codominio è sempre quindi sono nche suriettive. Esempio 7 Dire se è iniettiv e se è suriettiv l funzione: y f : y y Un qulunque coppi di vlori e mmette lo stesso modulo, quindi l funzione non è iniettiv. Per come è stt ssegnt l funzione non è nemmeno suriettiv, visto che tutti gli elementi negtivi dell insieme di rrivo ( ) non sono immgine di nessun vlore rele. Sree invece suriettiv l funzione: y f : y 6. Crdinlità degli insiemi di funzioni Definizione: si chim crdinlità di un insieme il numero di elementi che pprtengono d esso. L crdinlità può essere finit m nche infinit, come nel cso dell insieme di numeri pri. Ponimo di vere due insiemi A e B e si: crd( A) crd( B) in termini elementri diremmo che l insieme A si compone di elementi mentre l insieme B si compone di elementi. Ci chiedimo or qule si l crdinlità dell insieme costituito dlle funzioni che vnno d A in B. Insieme di funzioni f : A B Costruimo l funzione generic, che lo ricordimo - ssoci d ogni elemento di A un solo elemento di B immginndo che ognuno degli elementi di A si un sctol dove doimo inserire un elemento di B, potendo nche ripetere l stess scelt per sctole differenti. Aimo un numero totle di sctole:

4 Ho disposizione oggetti d inserire in ciscun sctol: ci sono quindi diverse possiili scelte per l prim sctol. Dto che un funzione generic può ssocire nche tutti gli elementi di A llo stesso elemento di B, l scelt già ftt può essere ripetut: è come se nel pssre ll successiv csell gli oggetti non si esurissero mi. Pssndo quindi l secondo scomprto ho sempre diverse possiili scelte, ognun delle quli può essere ssocit ciscun delle scelte dell sctol precedente: Lo stesso numero di scelte vle per le cselle successive. Il totle delle scelte possiili è quindi il prodotto delle diverse possiilità per ciscun csell. Dto che si hnno un numero di cselle: un numero di volte Quindi l crdinlità dell insieme di funzioni f : A B è: crd B ( ) ( ) crd A Esempio 8 Qunte sono le funzioni f : A B spendo che A ;;; 4 e che B h; k; l funzioni f : B A?? E qunte sono invece le Risult: Ci sono quindi: crd( A) 4 crd( B) 4 8 funzioni : 4 64 funzioni : f A B f B A Insieme di funzioni iniettive f : A B Ricordimo che un funzione è iniettiv se d elementi diversi di A corrispondono immgini diverse in B, e che f gisce su tutti gli elementi di A. Se quindi B contiene meno elementi di A non è possiile trovre un immgine per ciscuno degli elementi di A senz ripetersi. E se ci si ripete, l funzione non è iniettiv. Ne concludimo che: Possono esistere funzioni iniettive d A in B solo se l crdinlità di B è mggiore od ugule quell di A. Tornndo l modello delle sctole contrssegnte con gli elementi di A, quest volt dovremo riempirle con elementi diversi di B, visto che l funzione iniettiv non può ripetere un stess immgine. Rispetto prim gli elementi in nostro possesso or diminuiscono mno mno che li si v posizionndo. Aimo così possiili scelte per l prim csell, m solo per l second, per l terz e così vi

5 Come si vede il numero di scelte per ogni csell si ottiene sottrendo il numero ordinle dell csell e poi sommndo. Quindi giunti ll ultimo oggetto dell insieme A, che vrà il numero d ordine srnno rimste scelte. Poiché ognun delle scelte di ogni csell è ssociile d un qulsisi delle scelte per l csell precedente, il numero totle si ottiene nche in questo cso fcendo il prodotto: ( )( )( ) con espressione che rppresent l crdinlità dell insieme di funzioni iniettive f : A B. Esempio 9 Dto l insieme A ;; e l insieme B h, k, l, m si dic qunte sono le funzioni iniettive f : A B e qunte sono le funzioni iniettive f : B A Risult: crd( A) crd( B) 4 poiché è non possono esistere funzioni iniettive f : B A, mentre possono esistere funzioni iniettive f : A B. Clcolimo il numero delle funzioni iniettive f : A B. Dto che risult: ci sono quindi: funzioni iniettive f : A B. ( ) 4 ( )( )( ) 4(4 )(4 ) 4 Pgine di riferimento (m ci sono ltre cose) Tomo A -8. Es Tomo A p.47 n 75,76,77 (iniettive e suriettive) 7