B8. Equazioni di secondo grado

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1 B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere zero il primo fttore (-1) o il secondo fttore (+). Il primo fttore (-1)0 per 11; il secondo fttore (+)0 per -. Le soluzioni dell equzione (-1) (+)0 sono quindi 11 e - Questo esercizio er prticolrmente semplice perché (-1) (+) è già scomposto in fttori. Se il polinomio di prtenz non è scomposto in fttori bisogn prim scomporlo e poi pplicre il procedimento ppen visto. PROCEDIMENTO: Portre tutto primo membro. Scomporre in fttori il polinomio. Determinre i vlori che messi l posto dell nnullno i singoli fttori. Esempio B8.1: -40 (-)(+)0 1 - Esempio B8.: -30 (-3) Esempio B8.3: 4-0 (-1)0 10 1/ Esempio B8.4: (+3) 0-3 Esempio B8.5: Esempio B8.6: (-5)(+) Esempio B8.7: +90 non si scompone per l regol +b impossibile Esempio B8.8: (-5)(+1)0 Ruffini 15/ -1 Teori B8-1

2 Esempio B8.9: Esempio B8.10: In questi ultimi due csi non si riesce scomporre con le regole studite nel cpitolo B3. Nell esempio B8.8 per scomporre si è ust l regol di Ruffini, m si potev utilizzre nche l formul risolvente già vist nel prgrfo B3.3. Nell esempio B8.9 e nell esempio B8.10 non si è ncor visto come ffrontre il problem, ed in questi csi converrà usre l formul risolvente, che si vedrà più vnti. Utilizzndo l formul risolvente il B8.9 risulterà essere impossibile, mentre il B8.10 risulterà vere soluzioni. Quindi le soluzioni possono essere nessun (esempi B8.7 e B8.9), un (esempi B8.4 e B8.5) oppure due (esempi B8.1, B8., B8.3, B8.6, B8.8, B8.10) B8. Formul risolvente L formul risolvente funzion per tutte le equzioni di secondo grdo. Se possibile conviene però scomporre in fttori perché è un metodo più veloce, e usre l formul solo qundo non si riesce scomporre rpidmente. Per trovre 1 e si us l formul 1, b ± b 4c che è d imprre memori PER SEMPRE, perché si userà in tutti i prossimi nni di scuol e ll università. Si presti ttenzione che: è il coefficiente dell. b è il coefficiente dell. c è il coefficiente senz l, detto termine noto. Ecco l risoluzione di un equzione si con l scomposizione in fttori che con l formul risolvente. Si not come si più veloce il metodo che f uso dell scomposizione in fttori. Esempio B8.1 risolto con l scomposizione in fttori: -40 (-)(+)0 1 - Esempio B8.1 risolto con l formul risolvente: 1 b0 c ± ± 16 ± 4 1, 1 4 Come già detto non tutte le equzioni si possono risolvere con l scomposizione in fttori. Si mostrno or gli esempi per cui non si utilizz l scomposizione in fttori: Esempio B8.9: b4 c8 1, 4 ± ( 4) 4 ( 1) ( 8) 4 ± ± 16 ( 1) L rdice di un numero negtivo non si può clcolre quindi l equzione è impossibile. Esempio B8.10: b-4 c-6 1, 4 ± 4 41 ( 6) ± 10 4 ± ± 40 4 ± 10 ( 1) Teori B In questo cso le soluzioni sono due. Per pssre d si è scomposto il 40 in fttori e si è portto fuori.

3 Esempio B8.11: b c1 1, ± 4 1 ± 8 8 ± In questo cso sotto l rdice c è zero per cui c è solmente un soluzione. Le soluzioni possono dunque essere 0, 1 o, e il numero dipende d quello che si trov sotto l rdice nell formul risolvente. Quello che si trov sotto l rdice è detto discriminnte e si indic con l letter grec DELTA ( ). Pertnto b -4c Se il <0 non ci sono soluzioni e l equzione è impossibile. Se il 0 c è un soluzione. Se il >0 ci sono due soluzioni. E quindi possibile, clcolndo il discriminnte, cpire qunte soluzioni h un equzione di secondo grdo. B8.3 Equzioni frzionrie Le equzioni frtte sono quelle in cui c è l incognit l denomintore. Si ricord che E VIETATO DIVIDERE PER ZERO. Pertnto 5 è un scrittur che non h senso. Bisogn quindi escludere dlle possibili soluzioni tutti i vlori che 0 nnullno il denomintore. Tle problem è stto già ffrontto per le equzioni di primo grdo. Il procedimento è quindi molto simile quello per risolvere le equzioni di primo grdo frtte. PROCEDIMENTO Si scompongono in fttori i denomintori. Si clcol il denomintore comune. Si lev il denomintore e si clcol il cmpo di esistenz. Bisogn indicre con quli sono i vlori dell che nnullno il denomintore. Per fre ciò si pone il denomintore diverso d zero. Si svolgono i clcoli. Si spostno TUTTI I TERMINI A PRIMO MEMBRO. Si sommno i termini simili. Si risolve l equzione. Si verific che le soluzioni non sino quelle escluse con il cmpo di esistenz. o Se un soluzione er stt esclus è dett non ccettbile. o Se tutte le soluzioni sono non ccettbili llor l equzione è impossibile. Vengono or svolti tre esempi. In uno di questi un delle due è ccettbile e l ltr no (es. B8.1). In uno di questi tutte e due le soluzioni sono ccettbili (es. B8.13). In uno di questi tutte e due le soluzioni sono non ccettbili e l equzione è impossibile (es. B8.14). Esempio B8.1: ( )( + ) + ( ) ( + ) ( )( + 1) NON ACCETTABILE 1 ACCETTABILE Esempio B8.13: C.E Si scompongono i denomintori. Denomintore comune. Si lev il denomintore e si clcol il C.E. Si svolgono i clcoli. Si spostno tutti i termini primo membro. Si sommno i termini simili. Si risolve l equzione, in questo cso con l scomposizione con il trinomio di secondo grdo. L soluzione è un di quelle escluse dl C.E. quindi è non ccettbile. L soluzione -1 non è un di quelle escluse dl cmpo di esistenz quindi è ccettbile. C.E Teori B8-3

4 ( 4)( + 1) ( 4) ( + 1) (3 + 18) 1 ( 4)( + 1) ( 9 18) 0 ( + 6) ( + 3) ACCETTABILE 3 ACCETTABILE Si scompongono i denomintori. Denomintore comune. Si lev il denomintore e si clcol il C.E. Si svolgono i clcoli. Si spostno tutti i termini primo membro. Si sommno i termini simili. Si risolve l equzione, in questo cso con il rccoglimento e il trinomio di secondo grdo. Le soluzioni non sono quelle escluse dl cmpo di esistenz pertnto sono entrmbe ccettbili. Esempio B8.14: ( ) ( ) ( + ) 1 ( + 1)( ) ( 1) ( ) ( ) NON ACCETTABILE NON ACCETTABILE L EQUAZIONE E IMPOSSIBILE C.E Si scompongono i denomintori. Denomintore comune. Si lev il denomintore e si clcol il C.E. Si svolgono i clcoli. Si spostno tutti i termini primo membro. Si sommno i termini simili. Si risolve l equzione, in questo cso con il rccoglimento. Le soluzioni sono quelle escluse dl cmpo di esistenz pertnto sono entrmbe NON ccettbili. L equzione è impossibile. B8.4 Equzioni letterli Le equzioni letterli sono equzioni nelle quli oltre ll incognit sono presenti ltre lettere. Al termine dell risoluzione è necessrio discutere le soluzioni. Ecco lcuni esempi. Esempio B8.15: b -b0 b -b0 (b-b)0 10 bb b b Discussione: Al denomintore dell second soluzione si trov b. Il denomintore deve risultre diverso d zero, ossi b 0, d cui: Se 0 e b 0 le soluzioni sono quelle trovte, ossi 10 e /. Se b0 sostituendo tle vlore in b -b0 si ottiene 00 ossi indetermint. Se 0 e b 0 sostituendo tli vlori in b -b0 si ottiene 0 quindi c è un sol soluzione, 0. Esempio B8.16: (-1) -10 Per inizire si svolgono i clcoli per scrivere l equzione nell form +b+c0 ( + 1) b- c 1 ± ± + 1, 4 ( ± 1) ± ± ± 1 Teori B8-4

5 Discussione: l denomintore nell formul risolvente si trov. Il denomintore deve essere diverso d zero, ossi 0, d cui: Se 0 le soluzioni sono quelle trovte, ossi 1(+1)/ e (-1)/ Se 0 sostituendo tle vlore in (-1) -10 si ottiene -10 quindi l equzione è impossibile. Esempio B8.17: ( +1)+1(+) Per inizire si svolgono i clcoli per scrivere l equzione nell form +b+c (1 ) b1- c1 1, ( ) ( 1) 1 + ± ± ± ± ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) + 1 ( 1) ( 1) ( 1) Discussione: l denomintore nell formul risolvente si trov (-1) quindi le condizioni ffinché il denomintore si diverso d zero sono 0 e 1. Se 0 e 1 le soluzioni sono quelle trovte, ossi 11/(-1) e 1/. Se 0 sostituendo in ( ) +(1-)+10 si ottiene +10, d cui -1 e si trov un sol soluzione. Se 1 sostituendo in ( ) +(1-)+10 si ottiene +10, d cui 1 e quindi si trov un sol soluzione. Esempio B8.18: ( 1) Prim di tutto si svolgono i clcoli per scrivere l equzione nell form +b+c C.E ( ) ( + 1) -1/ + ( + 1) + 0 b + 1 c 1, 1 ± ( + 1) ± ± ( 1) ± ± ( 1) Discussione: l denomintore nell formul risolvente si trov 4 che è sempre diverso d zero. Teori B8-5 L unic discussione è quell reltiv l C.E. Se -1/ l equzione perde di significto. L equzione perde di significto nche per 0. Se 0 l second sol. divent 0 perciò se 0 è ccettbile solo l soluzione -1/ B8.5 Equzioni prmetriche I prmetri sono lettere che si trovno nell equzione oltre ll incognit. Nelle equzioni prmetriche viene post l seguente domnd: per quli vlori dei prmetri si verificno determinte condizioni? Per rispondere queste domnde bisogn prim studire lcuni concetti:

6 1) Relzioni fr coefficienti e soluzioni di un equzione di secondo grdo. Chimndo 1 e le soluzioni di un equzione di secondo grdo +b+c0 vlgono le seguenti relzioni: + b c 1 1 ) Significto del b -4c Se il <0 non ci sono soluzioni e l equzione è impossibile. Se il 0 c è un soluzione (ossi due rdici coincidenti). Se il >0 ci sono due soluzioni. 3) Un soluzione è null se c 0. Inftti sostituendo il vlore 0 in +b+c0 si ottiene c0. 4) Le soluzioni sono opposte se 1- ossi 1+ 0 d cui b 0 e quindi b0. 5) Le soluzioni sono inverse se 1 con il den comune ossi c 1. 6) Se è dt un soluzione bst sostituirl nell equzione e trovre il vlore del prmetro. Esempio B8.19: Dt l equzione k -(k+1)+10 (quindi k, b-(k+1) e c1) dire per quli vlori di k sono soddisftte le condizioni seguenti: ) Ci sino soluzioni coincidenti. Perché ci sino sol. coincidenti è necessrio che 0. b -4c0 (k+1) -4k0 k +k+1-4k0 k -k+10 (k-1) 0 k1 b) L somm delle soluzioni vle. L somm delle sol. è b/ perciò: b ( k + 1) k+1 k + 1 k k k k -k + k k k-1 k1 c) Il prodotto delle soluzioni vle 3. Il prodotto delle soluzioni è c/ perciò: c k -3k k 1 k k 1 k 3 d) Un soluzione vle -1. Si sostituisce il vlore 1 l posto dell nell equzione. k(-1) -(k+1) (-1)+10 k+k+1+10 k+0 k- k-1 e) Un soluzione è null. Un soluzione è null se c0. In questo cso c1 d cui 10 impossibile. Quindi non ci sono vlori di k per cui l equzione dt h un soluzione null. f) Ci sono due soluzioni opposte. Per il punto 4 ci sono due soluzioni opposte se b0. In questo cso (k+1)0 k-1 g) Ci sono due soluzioni inverse. Per il punto 5 ci sono due sol. inverse se c/1. c k k1 k k h) L somm dei qudrti delle soluzioni è 10. L condizione si può esprimere così: Poiché ( 1+ ) llor 1 + ( 1+ ) - 1. Si può quindi scrivere ( 1+ ) ossi: ( k + 1) b c k + k + 1 k 10k k k k 9k k 1 0 ( 3k 1)( 3k + 1) 0 I possibili vlori di k risultno essere due: k 1 k i) L somm degli inversi delle rdici è 5. Teori B8-6

7 - b b 5 - b 5 k+1 5 c c c k5-1 k4 Sono possibili molte ltre domnde che vnno ffrontte cso per cso. Teori B8-7