POTENZA CON ESPONENTE REALE

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1 PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic [email protected] POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque, si definisce potenz con esponente rele del numero il numero rele. Osservzione: Quest potenz risult essere sempre un numero rele positivo! PROPRIETÀ DELLE POTENZE CON ESPONENTE REALE. Se > e < y, llor < y.. Se 0 < < e < y, llor > y. 3. b = b, b R +, y R 4. b y = +y, b R +, y R 5. y = y R +, y R 6. : b = y R +, y R 7. : b = : b, b R +, y R Esempi: : 7 5 : Teorem: Se è un numero positivo diverso d, llor l potenz ssume un sol volt tutti i vlori positivi. Cioè: qulunque si 0,, e qulunque si b 0, esiste un (unico) numero tle che b. Ersmo Modic, 009/00

2 GRAFICO ESPONENZIALE Voglimo studire il comportmento dell relzione di dipendenz fre ciò distinguimo i due seguenti csi. y l vrire di R +. Per I CASO: Per fissre le idee considerimo. y -3 0,5-0,5-0, Dll nlisi dell tbell e del grfico possimo dedurre che: ogni vlore di h un corrispondente y; i vlori del corrispondente y sono tutti positivi, cioè 0; vle l proprietà di crescenz, cioè:, R, con < <. II CASO: 0 Per fissre le idee considerimo y ,5 0,5. 3 0,5 Ersmo Modic, 009/00

3 Dll nlisi dell tbell e del grfico possimo dedurre che: ogni vlore di h un corrispondente y; i vlori del corrispondente y sono tutti positivi, cioè 0; vle l proprietà di decrescenz, cioè:, R, con < >. LOGARITMI Il teorem precedente ci permette di stbilire che dti due numeri reli positivi e b, con, l equzione b mmette un e un sol soluzione. Tle soluzione si chim logritmo di b in bse e si indic con: log b Definizione: Dti due numeri reli positivi e b, con, si chim logritmo in bse del numero b l unic soluzione dell equzione b, cioè quell unico numero, che dto come esponente d, rende l potenz ugule b. Pertnto le scritture: sono equivlenti. α = log b e α = b Il numero b si chim rgomento del logritmo e deve essere un numero positivo. Osservzione: L definizione di logritmo permette di ffermre che ogni numero rele positivo b si può scrivere, in modo unico, come potenz di un ltro qulsisi numero positivo, diverso d. È inftti: b = log b In ltre prole ogni numero b 0 si può pensre come potenz di bse prefisst, qulsisi, positiv e divers d. Esempi: log = 3 8, perché è.. log5 = 0 perché è 0 5 =. 3 = log7 7 = perché è 7 = log7-7 =? non esiste perché b 7 non è positivo. 5. log 7 non h significto perché, secondo l definizione, l bse deve essere divers d. Ersmo Modic, 009/00 3

4 Inftti l equzione b è impossibile (se b ), indetermint (se b ), inoltre l potenz è definit per 0 ; l equzione 0 b, come sppimo è impossibile se b 0 rele ed indetermint se b log-3 7 e log 07 non hnno significto perché, secondo l definizione, l bse deve essere positiv (i logritmi di numeri negtivi sono numeri immginri). PROPRIETÀ GENERALI. Il log b è positivo se:. Il log b è negtivo se: > 0 < < e b > 0 < b < > 0 < < e 0 < b < b > 3. log perché è = log 0 perché è =. 5. Se due numeri sono eguli, nche i loro logritmi (rispetto ll stess bse) sono eguli; e vicevers. 6. Se l bse è mggiore di, l crescere del numero b, cresce nche il logritmo di questo. 7. Se l bse è minore di, l crescere del numero b, il logritmo decresce. PROPRIETÀ FONDAMENTALI DEL LOGARITMO log y log log y.. log log log y n log nlog 3. n m m 4. log b log n Ersmo Modic, 009/00 b y Queste regole trsformno le quttro operzioni di moltipliczione, di divisione, di elevzione potenz di esponente n e di estrzione di rdice di indice n sopr numeri positivi ssegnti, rispettivmente, nelle operzioni di ddizione, di sottrzione, moltipliczione per n e divisione per n sopr i logritmi dei numeri ssegnti. Si teng presente che per poter pplicre le proprietà e i singoli numeri e y, dei quli si considerno i logritmi, devono essere positivi, e non soltnto deve essere positivo il loro prodotto y o il loro quoziente y. Osservzione: Non vi sono, invece, regole nloghe rigurdo ll somm e ll differenz: il logritmo di un somm o di un differenz non è esprimibile medinte i logritmi dei suoi singoli termini. 4

5 SIMBOLISMO e numero di Nepero è un numero irrzionle che vle ( meno di 0-5 ),788 lnn LogN logritmo nturle o neperino (cioè bse e) di un numero positivo N logritmo decimle (cioè in bse 0) di un numero positivo N Siccome esistono infiniti sistemi di logritmi (poiché infinite sono le possibili bsi ), per pssre d un bse d un ltr b bst pplicre l seguente formul: log b log B N log b 3 Esercizio: Spendo che log b 4, clcolre log b b. Si h: 3 4 log b log b log b b log b b. b Rest d clcolre log b b. Poiché: segue che log b b 3 ; pertnto: log b log log b 4 log b b b b b log b log b b 3 b Ersmo Modic, 009/00 5

6 GRAFICO DEL LOGARITMO Voglimo studire il comportmento dell relzione di dipendenz Per fre ciò distinguimo i due seguenti csi. y log l vrire di R +. I CASO: Per fissre le idee considerimo. y 0 0,5-0,5-3, ,393 6,58496 Dll nlisi dell tbell e del grfico possimo dedurre che: i vlori di che mmettono un corrispondente sono solo 0, + ; i vlori dell y sono positivi per e negtivi per 0 ; vle l proprietà di crescenz, cioè:, 0, +, con < log < log. Ersmo Modic, 009/00 6

7 II CASO: 0 Per fissre le idee considerimo y 0 0,5 0,5-3 -, , ,585 Dll nlisi dell tbell e del grfico possimo dedurre che: i vlori di che mmettono un corrispondente sono solo 0, + ; i vlori dell y sono negtivi per e positivi per 0 ; vle l proprietà di decrescenz, cioè:, 0, +, con < log > log. EQUAZIONI ESPONENZIALI Definizione: Si definisce equzione esponenzile ogni equzione in cui l incognit compre ll esponente di un o più potenze. Il cso più semplice di equzione esponenzile è l equzione esponenzile elementre: b con 0. Osservzione: Nell insieme dei numeri reli l equzione b può vere soluzioni solo se 0 e b 0 (se 0, llor 0 0 per ogni 0 e quindi l equzione 0 b è impossibile se b 0 e indetermint se b 0); inftti:. il primo membro di b h significto solo se è positivo;. inoltre risult sempre positivo per qulsisi vlore di pertnto l equzione può vere soluzioni soltnto se nche b è positivo. Ersmo Modic, 009/00 7

8 Esempi:. Se e b l equzione divent che è un identità.. Se e b l equzione divent b che è impossibile. 3. Se e b l equzione divent che mmette come soluzione 0 poiché 0. Per tutti gli ltri csi in cui e b sono entrmbi positivi, con, vle il seguente: Teorem: Dti due numeri reli positivi e b, con, l equzione esponenzile: b mmette un e un sol soluzione. Tle soluzione è: positiv, se e b sono entrmbi mggiori di, o entrmbi minori di ; negtiv, se dei due numeri e b uno è mggiore di e l ltro è minore di ; ugule zero, se b e 0. Esempi:. 3 h come soluzione non h soluzioni non h significto. EQUAZIONI ESPONENZIALI RIDUCIBILI AD UGUAGLIANZE DI DUE POTENZE AVENTI LA STESSA BASE L risoluzione di tli equzioni è semplice in qunto si pss dll uguglinz di due potenze ll uguglinz dei loro esponenti, cioè: Esempi: y y. Per risolvere l equzione esponenzile porre 4.. Per risolvere l equzione esponenzile 5 6 e porre 3 4, bst riscrivere l equzione come 3 3 e , d cui si ricv che e , bst riscrivere l equzione come Ersmo Modic, 009/00 8

9 EQUAZIONI ESPONENZIALI RIDUCIBILI AD EQUAZIONI ALGEBRICHE MEDIANTE L USO DI UN INCOGNITA SUPPLEMENTARE Esempi:. Risolvere l equzione esponenzile Ponimo z e ottenimo: le cui soluzioni sono z e z 8. Quindi: ; 3 3. z 0z6 0. Risolvere l equzione esponenzile L equzione divent: Ponimo 3 z e ottenimo z z, d cui si ottiene che z e 9 z 8. Quindi: impossibile! Esercizio: Risolvere l equzione: Considerimo due csi: ) si 3, llor 3 3 e l equzione divent: che è evidentemente soddisftt per ogni 3; Ersmo Modic, 009/00 9

10 b) si 3,llor 3 3 e l equzione divent: 5 7 d cui: Quest ultim equzione è sicurmente soddisftt per i vlori dell tli che per =, entrmbi ccettbili perché minori di , cioè Posto 4 0 e semplificndo l ultim equzione ottenut si h: - 5- d cui 5, cioè 3, che non è un soluzione ccettbile perché non è minore di 3. In conclusione l equzione dt mmette le seguenti soluzioni: = EQUAZIONI LOGARITMICHE Definizione: Si dice equzione logritmic un equzione in cui compre il logritmo dell incognit o il logritmo di un espressione contenente l incognit. Nell risoluzione di un equzione logritmic si cerc, medinte l uso delle proprietà dei logritmi, di ricondurre tutto ll form: dove A e log A log B B sono espressioni lgebriche contenenti l incognit. Dll uguglinz precedente segue che i vlori dell che l verificno, devono verificre nche A B. l equzione Osservzione: Attenzione! Non vle il vicevers, cioè le soluzioni dell equzione A B può non essere soluzione dell equzione log A log B. Per risolvere tli equzioni si pone, quindi, A B soddisfno l equzione di prtenz. e si vede se le soluzioni trovte Ersmo Modic, 009/00 0

11 Esempi:. Risolvere l equzione log log 3. Imponendo l condizione di esistenz dei logritmi si deve vere: cioè. Uguglindo gli rgomenti si h: che è un soluzione ccettbile in qunto 4.. Risolvere l equzione log 6 log 5 8 Uguglindo gli rgomenti si h: , L soluzione 7 è l unic ccettbile in qunto per i due logritmi perdono di significto. 3. Risolvere l equzione 5 7. Pssndo i logritmi si h: log7 log5 log 7 log5 log 7 log5 4. Risolvere l equzione 7,5 3,. Pssndo i logritmi si h: log3, log 7,5 log3, log 7,5 log3,, 8 log 7,5 Ersmo Modic, 009/00

12 5. Risolvere l equzione Si h: Quindi si h: 4 log 3 log 4 log3 5 log log5 log Risolvere l equzione Log 0. Pssndo i logritmi si h: Log Log Log0 Log Log E quindi: 0 e 0 DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Definizione: Un disequzione si dice esponenzile se in ess l incognit, o qulche espressione contenente l incognit, compre come esponente di un o più potenze. Prim di pssre i metodi di risoluzione di tli disequzioni, ricordimo lcuni risultti già discussi in precedenz. ESPONENZIALI 0 è un numero rele positivo R 0 y y y y y y y y Ersmo Modic, 009/00

13 LOGARITMI 0 y log log y y log log y y log log y y log log y DISEQUAZIONI RIDUCIBILI A DISUGUAGLIANZE DI DUE POTENZE DI UGUAL BASE Sono delle disequzioni che si presentno in un delle forme: f g oppure f g In questo cso si h: 0 g g g g f f g f f g f f g f f g Esempi: 3. Risolvere l disequzione 5 5. In bse ll precedente tbell è fcile notre che ci si trov nel cso in cui 0 e quindi si h che Risolvere l disequzione In bse ll precedente tbell è fcile notre che ci si trov nel cso in cui e quindi si h che 7. DISEQUAZIONI RISOLUBILI CON L UTILIZZO DI UN INCOGNITA AUSILIARIA Esempio: Risolvere l disequzione esponenzile Riscrivimo come segue l disequzione: Ersmo Modic, 009/00 3

14 e ponimo z, ottenendo così: z 6z8 0 Le soluzioni di quest disequzione sono: t t 4 e quindi si h: ; 4. DISEQUAZIONI RISOLUBILI CON L UTILIZZO DEI LOGARITMI Per risolverle bst pplicre d mbo i membri dell disequzione: f g b oppure f b g i logritmi, fcendo ttenzione ll bse del logritmo considerto. Inftti si hnno i due csi: cso: c g logc g log f b f g log b f b f g log b c c c cso: 0c g logc g log f b f g log b f b f g log b c c c Esempi: 3 log 3 log log log 8 3 Ersmo Modic, 009/00 4

15 DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Definizione: Un disequzione si dice logritmic se in ess compre o il logritmo dell incognit, o il logritmo di un espressione contenente l incognit. DISEQUAZIONI DELLA FORMA: log log A b A b Per risolvere tli disequzioni è necessrio considerre i seguenti csi. I cso: Le disequzioni si trsformno nei sistemi: II cso: 0 Le disequzioni si trsformno nei sistemi: A 0 A 0 b A A A 0 A 0 b A A b b Esempio: L disequzione 0 log 7 03 equivle l sistem: DISEQUAZIONI DELLA FORMA: log Alog B log A log B Per risolvere tli disequzioni è necessrio considerre i seguenti csi. I cso: Le disequzioni si trsformno nei sistemi: Ersmo Modic, 009/00 5

16 A 0 A 0 B 0 B 0 A B A B II cso: 0 Le disequzioni si trsformno nei sistemi: Esempio: L disequzione log 3 log 3 3 A 0 A 0 B 0 B 0 A B A B equivle l sistem: Ersmo Modic, 009/00 6