n volte m volte n+m volte n volte n volte n volte } = a n + n + n = a n m
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- Muzio Gigli
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1 Corso di Potenzimento.. 009/010 1 Potenze e Rdicli Dto un numero positivo, negtivo o nullo e un numero intero positivo n, si definisce potenz di se ed esponente n il prodotto di n fttori tutti uguli d : n }{{} n volte Se 0 si definisce mentre l scrittur è priv di significto. Inoltre si pone n 1 n Proprietà fondmentli delle potenze n m n n } {{ } } {{ } } {{ } n+m n volte m volte n+m volte } {{ } } {{ } ( ( ( ( n }{{} n volte n volte n volte m volte {}}{ ( n m } n {{ n n } n + n + n n m m volte Le proprietà n m n+m n n ( n ( n m n m vlgono qulunque si il segno di n e m e per ogni vlore di e di. 1 Potenze e Rdicli
2 Corso di Potenzimento.. 009/010 Vlgono inoltre 1 n 1 per ogni intero n se n è pri, n > 0 per ogni numero 0 se n è dispri { n > 0 per > 0 n < 0 per < 0 Attenzione! n m n m n+m n + m ( + n n + n ( n m (nm Esempio 1 Semplificre l espressione n 1 n Soluzione. n 1 n n 1 n 1 1 Esempio Clcolre l metà di ( 1 0 Soluzione. ( ( 1 1 Esempio Sommre 1 con Potenze e Rdicli
3 Corso di Potenzimento.. 009/010 Esempio < < < < c < < 10 1 d 10 1 < < è compreso tr L rispost giust è l c perchè 0 11 ( d cui < < Il simolo n Il simolo n IR si chim rdicle e rppresent l rdice n-esim di. n IN {0} è l indice del rdicle è il rdicndo; è genericmente il segno di rdice Esempio, 7, Per spere cos si intende per n distinguimo due csi: n pri n dispri n è definit solo per 0 e rppresent l unico numero non negtivo che elevto d n dà come risultto , 81, 0 0, 16 non è definit n è definit per ogni IR e rppresent l unico numero che elevto d n dà come risultto 1,, 0 0 Potenze e Rdicli
4 Corso di Potenzimento.. 009/010.1 Proprietà dei rdicli Nell ipotesi che i rdicndi sino positivi o nulli vlgono le seguenti proprietà, per ogni n, m, p IN {0} 1 n m np mp n m ( n m n m n m proprietà invrintiv 4 n n n n n n 0. Esempio ; 4 ( ; ( ; 4 16 ( ; Osservzione 1 Se l indice del rdicle è dispri le proprietà,, 4, vlgono nche per rdicndi negtivi ( 8 ( ( 8 ( Potenze e Rdicli
5 Corso di Potenzimento.. 009/010 8 c 8 7 ( 8( 7 16 ( ( 6 d ; Osservzione Per < 0 non vle l proprietà invrintiv c ( 8 ( ; Osservzione Per rdicndi negtivi e indice pri non vle l proprietà 4 d ( ( 8 ( ( non sono definiti; Osservzione 4 Per esprimere x si ricorre l vlore ssoluto x x { x x 0 x x < 0 Per cui d x 4 si h x 4 x x ± Potenze e Rdicli
6 Corso di Potenzimento.. 009/010 L proprietà invrintiv n m np mp vlid se 0 n, p IN {0} può essere lett d destr verso sinistr e può essere interprett come l operzione che semplific il rdicle Alcuni rdicli sono irriduciili cioè l indice del rdicle e l esponente del rdicndo non hnno fttori comuni, come d esempio L stess proprietà invrintiv si us per ridurre due o più rdicli llo stesso indice, cioè si riducono in rdicli equivlenti, venti come indice il m.c.m. degli indici. Esempio 7 Ridurre llo stesso indice e 6 6 st con- In tle modo, volendo confrontre i due rdicli, e frontre i rdicndi dei due rdicli equivlenti ottenuti, > quindi >. Trsporto dentro e fuori dl segno di rdice Si possono trsportre fuori dl segno di rdice quei fttori che hnno esponente mggiore o ugule ll indice del rdicle. Tli fttori si portno fuori dl segno di rdice elevti potenz dt dl quoziente dell divisione tr l esponente e l indice del rdicle. Se il resto dell divione non è nullo gli stessi fttori rimngono sotto il segno di rdice elevti potenz con esponente ugule tle resto. Esempio Potenze e Rdicli
7 Corso di Potenzimento.. 009/010 Se non si conosce il segno del fttore, si us il vlore ssoluto Esempio 9 x y 4 x y Per trsportre dentro il segno di rdice un fttore st elevrlo ll potenz di esponente ugule ll indice del rdicle. 40 MA ATTENZIONE! Se il numero d portre dentro un rdice di indice pri è negtivo, isogn lscire il segno meno fuori dl segno di rdice: 0 Per lo stesso motivo x 7x se x 0 7 7x se x < 0 Per semplificre o eseguire trsporti fuori dl segno di rdice, reltivmente rdicli di indice pri, con rdicndi di cui non si conosce il segno, occorre procedere nel seguente modo: 1 Si determinno le condizioni di esistenz del rdicle: Se l indice del rdicle è pri il rdicndo deve essere mggiore o ugule zero. Se l indice è dispri il rdicndo può essere nche negtivo ; Si pplic l proprietà invrintiv n m np mp se 0 ; Nell semplificzione se qulche fttore, che per l condizione di esistenz può essere nche negtivo, si venisse trovre sotto un rdicle di indice pri o fosse trsportto fuori d un rdicle di indice pri, isogn introdurre il vlore ssoluto. Ridimo che per rdicli di indice dispri si può operre senz introdurre il vlore ssoluto. Vedimo lcuni esempi di semplificzione di rdicli (1 7 Potenze e Rdicli
8 Corso di Potenzimento.. 009/010 Esempio 10 0 x 4 y C.E. x, y IR (x y x y x y Si scrive vlore ssoluto di y perchè può essere nche negtivo per l C.E., e il primo termine sinistr, mggiore o ugule zero, potree uguglire un quntità negtiv. Esempio 11 0 x 10 y C.E. x IR, y 0 (x 10 y x y Il segno del vlore ssoluto v solo ll x perchè, potendo essere negtiv, dree x < 0, mentre il primo memro è positivo. L y è invece positiv per l C.E. e può essere rgomento di un rdice con indice pri. Esempio 1 x 10 y C.E. x, y IR x 9 xy x xy Esempio 1 6 x6 y C.E. x IR, y 0 6 x 6 y x 6 y Esempio 14 x (y + C.E. y IR, x 0 x x(y + x x(y + L x non è in vlore ssoluto perchè nell C.E. x 0. Esempio 1 x + 4x + 4 C.E. x IR, x + 4x + 4 (x + 0 x IR (x + x + Il inomio x + v considerto in vlore ssoluto perchè per x < ssume vlori negtivi. 8 Potenze e Rdicli
9 Corso di Potenzimento.. 009/010 Esempio 16 4 x + 4x + 4 C.E. x IR, x + 4x + 4 (x + 0 x IR 4 (x + x + Il inomio x+ v considerto in vlore ssoluto, sotto l rdice di indice pri, perchè per x < ssume vlori negtivi. Esempio 17 9 c C.E.,, c 0 8 c 4 (c 4 c c Esempio 18 x + x x (x + 1 C.E. x : x x 1 x x + 1 Per ognuno dei rdicli che seguono indicre i vlori delle lettere per cui i rdicli hnno significto, portndo fuori dl segno di rdice e usndo, dove occorre, il vlore ssoluto. Esempio 19 9 C.E., Esempio 0 16 C.E Si f notre che imo posto per l condizione di reltà. Esempio 1 ( + C.E. ( + 0 ( + ( + 4 ( + ( + ( + 9 Potenze e Rdicli
10 Corso di Potenzimento.. 009/010 Esempio x x x (x C.E. x IR, (x 0 x (x Esempio C.E. IR, 0 4 Sotto l rdice è senz vlore ssoluto per l condizione di esistenz. Negli esempi che seguono portre sotto il segno di rdice il fttore esterno. Esempio 4 0 < 0 Esempio C.E. ( 0 ( Esempio 6 1 C.E. IR > < 0 Esempio 7 1 C.E. > 0 IR {0} 10 Potenze e Rdicli
11 Corso di Potenzimento.. 009/010 1 > 0 < 0 Somme e differenze di rdicli E possiile sommre o sottrrre espressioni del tipo solo nel cso in cui queste presentno lo stesso rdicle, lo stesso indice e differiscono unicmente per il coefficiente numerico ; in questo cso i rdicli sono simili: + 7 Qundo si vuole semplificre un somm o un differenz di rdicli, per mettere in evidenz gli eventuli termini simili, occorre prim semplificre tutti i rdicli e poi trsportre fuori dl segno di rdice tutti i fttori possiili. ATTENZIONE n ± n n ± e nche + + Esempio x x x x Rzionlizzzione Rzionlizzre un frzione signific trsformrl in un ltr equivlente, m priv di rdicli l denomintore. Per fre questo si moltiplicno numertore e denomintore per un opportuno fttore rzionlizznte. I csi più comuni di rzionlizzzione sono rissunti nell seguente tell in cui è indicto nche il fttore rzionlizznte. 11 Potenze e Rdicli
12 Corso di Potenzimento.. 009/010 Frzione Fttore Rzionlizznte Frzione Rzionlizzt n m m < n n n m n m n n m n n m n n m 4 1 ± 1 ± Esempio 9 Esempio 0 + ( Potenze e Rdicli
13 Corso di Potenzimento.. 009/010 Esempio 1 Esempio 4 x + y x 4 x + y (x + y 4 (x + y x 4 (x + y 4 (x + y 4 (x + y (x + y x 4 (x + y 4 Esempio 4 (x + y x 10 + ( 10 ( 10 + ( 10 ( Esempio ( 6 + ( 6 ( 6 + 4( ( Potenze e Rdicli
14 Corso di Potenzimento.. 009/010 Esempio Si riduce l cso precedente 6 (( 7 + (( (( (( (( ( ( ( (( Rdicle doppio ( 7 + ( 14 Si chim rdicle doppio il rdicle + o Se,, sono positivi vle ed nche Esempio Potenze e Rdicli
15 Corso di Potenzimento.. 009/010 6 Potenze con esponente rzionle Dopo l trttzione dei rdicli simo in grdo di estendere l definizione di potenz con esponente intero ll definizione di potenz con esponente rzionle. Definizione 1 Si 0 e sino m ed n IN con n 0, si pone per definizione m n n m Esempio 7 1, Vlgono le seguenti proprietà 1 m n ( 1 m n ; m n p q m n + p q ; m n p q m n p q ; 4 ( m n p q mp np ; ( m n m n m n ; 6 ( m n m n m n. 1 Potenze e Rdicli
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Sezione Esercizi Esercizi Esercizi dei singoli prgrfi - Rdici Determin le seguenti rdici qudrte rzionli (qundo è possiile clcolrle) 00 l ) m ) n ) o ) 0,0 0,0 0,000 0, Determin le seguenti rdici qudrte
32 Capitolo 2. Radicali Esercizi dei singoli paragrafi ; ; ; , , 3 25, 100, 125; 216; 8 27 ;
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