Introduzione alle disequazioni algebriche

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1 Introduzione lle disequzioni lgebriche Giovnni decide di fre ttività fisic e chiede informzioni due plestre. Un plestr privt chiede un quot d iscrizione nnu di 312, più 2 per ogni ingresso. L plestr comunle chiede 5 senz lcun quot d iscrizione. Giovnni si chiede qule plestr gli conviene frequentre. L rispost tle domnd dipende dl numero delle volte che Giovnni intende frequentre l plestr. Se d esempio intende frequentre l plestr un volt l settimn per tutto l nno vremmo costo plestr privt costo plestr comunle = = 260 In tl cso risulterebbe più conveniente l plestr comunle M se volesse frequentre l plestr tre volte ll settimn vremmo costo plestr privt costo plestr comunle e srebbe più conveniente l plestr privt = = 780 In generle frequentndo l plestr x volte l nno vremmo costo plestr privt costo plestr comunle x 5 x L plestr comunle risulterebbe più conveniente se 5 x < x (1) L (1) è un disequzione e per rispondere l problem dobbimo essere in grdo di risolverl. M prim bbimo bisogno di introdurre lcune nozioni propedeutiche ll risoluzione delle disequzioni.

2 Diseguglinze I simboli < (minore) e > (mggiore) vengono usti per esprimere relzioni di diseguglinz tr numeri. Scrivere < b (2) signific dire che è minore di b; si dice che è il primo membro e b è il secondo membro dell diseguglinz L (2) si può leggere nche d destr verso sinistr, cioè Che vuol dire che b è mggiore di. b > Si usno nche i simboli " " (minore o ugule) e " " (mggiore o ugule) e precismente Principi delle diseguglinze b < b = b b > b = b Premettimo che per verso delle diseguglinze intendimo i simboli <, >,, Per le diseguglinze sussistono i seguenti principi: 1 Sommndo o sottrendo d mbedue i membri di un diseguglinz uno stesso numero, si ottiene un diseguglinz dello stesso verso. Ad esempio > b + c > b + c < b + c < b + c > b c > b c < b c < b c 7 > > < < 5 4 Un conseguenz che scturisce d questo principio: si può trsportre un termine d un membro ll ltro cmbindolo di segno. Inftti + b > c + b b > c b > c b 2 Moltiplicndo o dividendo mbedue i membri di un diseguglinz uno stesso numero positivo, si ottiene un diseguglinz dello stesso verso.

3 > b c > 0 c > b c > b c > 0 c > b c < b c > 0 c < b c < b c > 0 c < b c Ad esempio Leggendo l (3) d destr verso sinistr 7 > > < < < < 5 possimo dedurre che, pplicndo questo principio, è possibile eliminre i denomintori positivi conservndo il verso dell diseguglinz. (3) 3 Moltiplicndo o dividendo d mbedue i membri di un diseguglinz uno stesso numero negtivo, si ottiene un diseguglinz di verso contrrio. > b c < 0 c < b c > b c < 0 c < b c < b c < 0 c > b c Ad esempio Leggendo l (4) d destr verso sinistr cioè < b c < 0 c > b c 7 > 3 7 ( 8) < 3 ( 8) 2 < > > < 5 possimo dedurre che, pplicndo questo principio, è possibile eliminre i denomintori negtivi cmbindo il verso dell diseguglinz. (4)

4 4 Due diseguglinze dello stesso verso si possono sommre membro membro ottenendo un diseguglinz dello stesso verso. > b c > d + c < b + c N. B. In generle non è lecito sottrrre membro membro poiché non è possibile prevedere il verso dell diseguglinz. Inftti d ottenimo 3 < 5 2 < < < > > 3 5 Se si sottrggono d uno stesso numero due numeri disuguli, le differenze sono disuguli m in verso contrrio > b m < m b 6 Due diseguglinze dello stesso verso fr numeri positivi, moltiplicte membro membro dànno un diseguglinz dello stesso verso., b, c d R + > b c > d c < b d 7 Se due numeri positivi sono disuguli, i loro reciproci sono disuguli in verso contrrio., b R + > b 1 < 1 b 8 Elevndo potenz con esponente intero positivo i due membri di un disuguglinz tr numeri positivi, si ottiene un disuguglinz dello stesso verso., b R + n N 0 > b n > b n 9 Elevndo potenz con esponente intero negtivo i due membri di un disuguglinz tr numeri positivi, si ottiene un disuguglinz di verso contrrio., b R + n N 0 > b n < b n 10 Elevndo potenz con esponente intero positivo i due membri di un disuguglinz tr numeri negtivi, si ottiene un disuguglinz dello stesso verso se l esponente è dispri e di verso opposto se l esponente è pri. Ad esempio, b R n N 0 > b { 2n+1 > b 2n+1 2n < b 2n 2 > 7 ( 2) 3 > ( 7) 3 2 > 7 ( 2) 2 < ( 7) 2

5 11 Se si elevno i due membri di un disuguglinz tr numeri di segno opposto potenz con esponente positivo dispri l disuguglinz conserv il verso; se l esponente è pri in generle null si può dire del risultto. Esempio 2 > > ( 5) 3 Se l esponente è pri si può vere ) Un uguglinz 3 > = ( 3) 2 b) Un disuguglinz dello stesso verso 3 > > ( 2) 2 c) Un disuguglinz di verso contrrio 3 > < ( 5) 2 12 Estrendo l rdice n-esim di un disuguglinz tr numeri positivi, si ottiene un disuguglinz dello stesso verso., b R + n n N 0 > b n > b Gli Intervlli Per rppresentre l insieme delle soluzioni di un disequzioni è molto importnte il concetto di intervllo. Sppimo che tr i numeri reli R e i punti di un rett orientt r, su cui è stt stbilit un unità di misur e fisst un origine O R, esiste un corrispondenz biunivoc. Quest corrispondenz consente di prlre indifferentemente di insieme di numeri o di insieme di punti e di ssocire d ogni punto un numero rele, detto sciss del punto, che rppresent l distnz del punto dll origine. O P x Dire che x < c equivle dire che x precede c sull rett O x c

6 Si chim intervllo chiuso di estremi, b l insieme di tutti i numeri reli x compresi tr e b, estremi inclusi. In simboli [; b] = {x R x b} b Si chim intervllo perto di estremi, b l insieme di tutti i numeri reli x compresi tr e b, estremi esclusi. In simboli ]; b[= {x R < x < b} b Si prl nche di intervlli perti sinistr e chiusi destr ]; b] = {x R < x b} b intervlli chiusi sinistr e perti destr [; b[= {x R x < b} b Gli intervlli finor considerti sono detti intervlli limitti. Gli intervlli costituiti d tutti i numeri mggiori (mggiori o uguli), minori (minori o uguli) di un numero ssegnto si dicono intervlli illimitti. In simboli (; + ) = {x x > x R} intervllo perto e illimitto

7 [; + ) = {x x x R} intervllo chiuso e illimitto ( ; ) = {x x < x R} intervllo perto e illimitto ( ; ] = {x x x R} intervllo chiuso e illimitto L insieme di tutti i numeri reli, cioè tutti i punti dell rett, costituisce l intervllo ( ; + ). Disequzioni e loro proprietà Si chim disequzione un diseguglinz in cui figurno un o più lettere dette incognite. Un disequzione in cui l incognit compre l denomintore di qulche frzione si dice frzionri; in cso contrrio si dice inter. Si dice che un numero è soluzione di un dt disequzione se, sostituendolo ll incognit rende ver l diseguglinz. Risolvere un disequzione signific determinre l insieme delle soluzioni che, contrrimente qunto vviene nelle equzioni, è, in genere, costituito d infiniti numeri. Due disequzioni si dicono equivlenti se hnno lo stesso insieme di soluzioni Il dominio di un disequzione è costituito dll insieme dei numeri reli che, sostituiti ll vribile, rendono l diseguglinz ver o fls. Definimo grdo di un disequzione il grdo del polinomio P(x) ottenuto l primo membro pplicndo i principi e vendo zero l secondo membro.

8 Esempio 2x 1 > 1 h dominio R e grdo 1 x 2 5x + 6 > 0 h dominio R e grdo 2 x + 1 x > 0 h per dominio R {0} Principi di equivlenz delle disequzioni 1 principio. Aggiungendo o sottrendo d entrmbi i membri di un disequzione, uno stesso numero o un stess espressione lgebric sempre definit nel dominio dell disequzione, ottenimo un disequzione equivlente quell dt. Conseguenze del 1 principio Se entrmbi i membri di un disequzione sono polinomi e uno stesso monomio compre in entrmbi i membri, questo può essere soppresso 5x 2 > x > 15 Se entrmbi i membri di un disequzione sono polinomi, è possibile trsportre un monomio d un membro ll ltro, purché gli si cmbi il segno 5x > x 5x 2x > 15 2 principio. Moltiplicndo o dividendo entrmbi i membri di un disequzione, uno stesso numero positivo o un stess espressione lgebric sempre positiv nel dominio dell disequzione, ottenimo un disequzione equivlente quell dt. Conseguenze del 2 principio Se in ogni termine di un disequzione compre uno stesso fttore numerico positivo, questo può essere soppresso 5x 20 > 15 x 4 > 3 Se in ogni termine di un disequzione compre uno stesso fttore numerico negtivo, questo può essere soppresso purché si cmbi il verso dell diseguglinz 5x 2 25x 30 > 0 x 2 5x + 6 < 0 Se in un disequzione inter compiono frzioni o termini con coefficienti frzionri, è possibile, dopo ver espresso entrmbi i membri come frzioni venti uno stesso denomintore positivo, sopprimere i denomintori 5 5x 6 x 2 > 1 > x 6 > 1

9 3 principio. Moltiplicndo o dividendo entrmbi i membri di un disequzione, uno stesso numero negtivo o un stess espressione lgebric sempre negtiv nel dominio dell disequzione, e cmbindo il verso dell disequzione, ottenimo un disequzione equivlente quell dt. Conseguenze del 3 principio Si possono cmbire di segno entrmbi i membri di un disequzione, cmbindo il verso dell diseguglinz Esempio 5x 3 > 2x (1) Applichimo il 1 principio ggiungendo 3 e ggiungendo -2x entrmbi i membri 5x x > 2x x 3x > 3 (2) Applichimo or il 3 principio cmbindo di segno entrmbi i membri dell disequzione e il suo verso 3x > 3 (3) Applichimo or il 2 principio eliminndo il 3 essendo fttore numerico comune x > 1 (4) Le disequzione (1), (2) e (3) e (4) sono equivlenti perciò le soluzioni dell (4) sono le soluzioni dell (1). L insieme delle soluzioni è un intervllo perto e illimitto S = {x R x > 1} = (1; + ) 1 Bibliogrfi: N. Dodero P. Broncini R. Mnfredi: Linementi di Mtemtic Ghisetti & Corvi Editori