Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

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1 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo = A + B e ponendo = 2, trovimo immeditmente che A =. In modo nlogo, se moltiplichimo per + 3, ottenimo = A B e ponendo = 3, trovimo che B = 2. Quindi ( d = ) d + 3 = log log c ( + 3)2 = log + c. + 2 Esempio 3.3 Clcolimo l integrle d. Il polinomio = ( + 2) 2 h un unic rdice: 2 di molteplicità due. Se ponimo t = + 2 llor dt = d e d = + 3 t + ( + 2) d = dt 2 t ( 2 = t + ) dt = log t t 2 t + c = log c. Esempio 3.4 Clcolimo l integrle d.

2 Clcolo Integrle 89 Il polinomio h due rdici complesse coniugte: ± i 2. Il primo psso consiste nel fre un sostituzione in modo d eliminre il termine di primo grdo. In generle, per un polinomio 2 + b + c, questo si ottiene con un trslzione dell vribile nel punto medio delle soluzioni ossi ponendo t = + b. Nel nostro cso con t = + il polinomio divent t e dunque 4 4t d = t dt = 4 t t dt 5 Risolvimo il primo integrle ( ) t t dt = t 2 t d 2 = 2 t d(t2 + 2) = 2 log(t2 + 2) + c. 2 t dt L ssenz del termine di primo grdo nel polinomio l denomintore ci permette di determinre subito il secondo integrle t dt = ( ) t rctn + c. 2 2 Quindi, riunendo i risultti e tornndo ll vribile d = 2 log( ) 5 ( ) + rctn + c 2 2 Se il polinomio l denomintore Q() h grdo mggiore di 2 llor bisogn determinrne un fttorizzzione complet (rele) ossi scriverlo come prodotto di fttori di primo grdo e fttori di secondo grdo irriducibili (con < ) e quindi si costruisce l decomposizione dell funzione rzionle P()/Q() come combinzioni lineri di frzioni più semplici: () d ogni fttore ( ) n si ssocino le n frzioni semplici, ( ) 2,, ( ) ; n (2) d ogni fttore irriducibile ( 2 + b + c) m si ssocino le 2m frzioni semplici 2 + b + c, ( 2 + b + c) 2,, ( 2 + b + c) m, 2 + b + c, ( 2 + b + c) 2,, ( 2 + b + c) m.

3 9 Roberto Turso - Anlisi 2 Esempio 3.5 Clcolimo l integrle d. L fttorizzzione complet del polinomio l denomintore è = 2 ( 2 + ) Al fttore 2 si ssocino le frzioni semplici e 2 mentre l fttore irriducibile 2 + si ssocino le frzioni semplici Quindi l decomposizione è 2 + e ( 2 + ) = A + B + C D 2 + dove A, B, C e D sono costnti d determinre. Svolgimo i clcoli e dunque 2 ( 2 + ) = (A + C)3 + (B + D) 2 + A + B 2 ( 2 + ) A + C = B + D = A = B = d cui ricvimo che A =, B =, C = e D =. Quindi ( 2 ( 2 + ) d = ) d 2 + = log + 2 log(2 + ) + rctn + c = log rctn + c 4. L integrle definito Or che bbimo un po di prtic con l ricerc delle primitive clcolimo qulche integrle definito ricordndo il teorem fondmentle.

4 Clcolo Integrle 9 Esempio 4. Clcolimo l integrle definito + 2 d. Prim determinimo un primitiv dell funzione d integrre ( ) + d = d 2 2 = 2 + 2d( + 2 ) = 2 log( + 2 ) + c. Quindi vlutimo + d = [ log( + 2 ) ] 2 2 = log 2 2. Esempio 4.2 Clcolimo l integrle definito e /e log d. In questo cso il clcolo procede integrndo prim / e log e /e d = log d(log ) = [ log 2 ] e /e 2 = ( )2 =. /e 2 L presenz degli estremi di integrzione permette di individure un ltr interessnte proprietà: l intervllo di integrzione può essere suddiviso. Additività rispetto ll intervllo di integrzione Se f è integrbile in [, b] e c b llor b f() d = c f() d + b c f() d. Si noti inoltre che se si invertono gli estremi di integrzione llor l integrle cmbi di segno b f() d = b f() d.

5 92 Roberto Turso - Anlisi 2 Esempio 4.3 Clcolimo l integrle definito 3 2 d. Conviene decomporre l intervllo di integrzione inserendo un punto di suddivisione in dove l funzione 2 cmbi segno. In questo modo possimo sbrzzrci del vlore ssoluto: 3 3 ] [ ] 2 d = ( 2 ) d + ( 2 ) d = [ = Esempio 4.4 Clcolimo l integrle definito Prim pplichimo l linerità: (2 + ) rctnd = 2 (2 + ) rctnd. rctn d + rctnd. Or osservimo che l funzione rctn è dispri (f( ) = f()) e quindi il suo integrle sull intervllo simmetrico rispetto ll origine [, ] vle zero: rctn d =. Inoltre, l funzione rctn è pri (f( ) = f()) e quindi il suo integrle sull intervllo simmetrico [, ] vle il doppio di quello su [, ]: rctn d = 2 Allor l integrle d clcolre divent (2 + ) rctnd = 4 Proseguimo il clcolo integrndo per prti ( ) 2 4 rctnd = 4 rctn d 2 [ ] 2 = 4 2 rctn 4 = π 2 2 rctn d. 2 rctn d d = π 2 2 = π 2 2[ rctn ] = π 2. 2 d (rctn) ( ) + 2 d

6 Clcolo Integrle L integrle improprio Nell sezione precedente bbimo visto qulche clcolo di integrle definito. Le funzioni d integrre erno continue su tutto l intervllo limitto [, b]. Or provimo d mplire l definizione di integrle nche l cso in cui l funzione si continu solo su [, b): b f() d = lim t b t Se l intervllo non è limitto ossi b = + si pone + f() d = lim t + t f() d. f() d. Se il limite esiste finito llor l integrle improprio si dice convergente e l funzione si dice integrbile su [, b). Il cso in cui l funzione si continu solo su (, b] è ssolutmente nlogo: b f() d = lim t + Esempio 5. Considerimo l funzione b t f() d. f() = per R \ {}. Sppimo già che d = log + c. Allor l integrle improprio su [, + ) vle + Inoltre l integrle improprio su (, ) vle d = [log ]+ = +. d = [ log ] + = +. In entrmbi i csi gli integrli impropri non sono convergenti. Esempio 5.2 Considerimo l funzione f() = α per R \ {}

7 94 Roberto Turso - Anlisi 2 con α > e diverso d. Abbimo visto che α d = α α + c. Allor l integrle improprio su [, + ) vle + [ α d = α α ] + = { α se α > + se α < Quindi l integrle su (, + ) è convergente se e solo se α >. Inoltre l integrle improprio su (, ) vle [ ] α { d = se α < α α α + se α > + = Quindi l integrle su (, ) è convergente se e solo se α <. f() = α Esempio 5.3 Clcolimo l integrle + per β R. (log ) β Allor (log ) d = β L integrle improprio su (e, + ) vle + e e d(log ) = (log ) β (log ) β d = Quindi l integrle è convergente se e solo se β >. (log ) β + c se β β log log + c se β = { β se β > + se β

8 Clcolo Integrle 95 Esempio 5.4 Clcolimo l integrle /e d per β R. log β Se cmbimo vribile ponendo y = / possimo ricondurre questo integrle improprio l precedente: e + y log /y β ( dy ) + = y 2 e Quindi l integrle è convergente se e solo se β >. Esempio 5.5 Clcolimo l integrle improprio + e 3 (log 2 4) d { y(log y) dy = se β > β β + se β L funzione dt è continu in [e 3, + ). Per clcolre il vlore dell integrle improprio dobbimo prim determinre un primitiv. Per > (log 2 4) d = log 2 d(log ) = 4 t 2 4 dt. dopo ver posto t = log. Decomponimo l funzione rzionle t 2 4 = (t + 2)(t 2) = 4 t 2 4 Or possimo completre il clcolo dell primitiv (log 2 4) d = 4 t 2 dt 4 t + 2. t + 2 dt = 4 log t 2 log t c 4 = 4 log log 2 log c. Or bst vlutre l primitiv gli estremi di integrzione [ ] 4 log log 2 + log + 2 = 4 log = log 5 4. e 3 6. Criteri di convergenz per integrli impropri In molti csi è possibile dire se un integrle improprio converge o meno senz ffrontre il problem dell fticos determinzione di un primitiv. Esistono inftti dei criteri di convergenz del tutto simili quelli già studiti per le serie (nche gli integrli sono delle somme infinite ).

9 96 Roberto Turso - Anlisi 2 Criterio del confronto Sino f e g due funzioni continue tli che Allor () Se (2) Se b b f() g() per [, b). g() d converge llor nche f() d = + llor nche Esempio 6. Provimo che l integrle improprio + e 2 d b b f() d converge. g() d = +. è convergente. In questo cso l determinzione di un primitiv dell funzione positiv e 2 srebbe ddirittur proibitiv (si dimostr inftti che esiste un primitiv, m che quest non è esprimibile come composizione di funzioni elementri!). Il ftto che l funzione tend zero molto velocemente per + ci suggerisce però di pplicre il punto () del criterio del confronto. Si trtt llor di individure un funzione che mggiori quell dt e il cui integrle improprio si convergente. L funzione e h proprio quest proprietà: e 2 e per e + e d = [ e ] + = e. Quindi l integrle dto è convergente e + e 2 d + e d = e Esempio 6.2 Il criterio del confronto può essere nche utile per determinre se un cert serie converge o meno. Ad esempio vedimo come con quest tecnic possimo provre che l serie + /n diverge. Dto che l funzione / è decrescente per > bbimo che n per [n, n + ]

10 Clcolo Integrle 97 e quindi integrndo su questo intervllo ottenimo che n+ n = n+ n n d n d. Infine sommimo fcendo vrire l indice n d infinito n= + n n= n+ n + d = d = +. Criterio del confronto sintotico Sino f e g due funzioni continue positive [, b) tli che f() lim b g() = L. Se < L < + ossi f Lg per b. Allor b f() d converge se e solo se b g() d converge. Per l ppliczione del criterio del confronto sintotico bbimo bisogno di un repertorio di integrli impropri di cui conoscimo le proprietà di convergenz. Qui rissumimo i risultti di cui vremo bisogno e che in prte sono già stti dimostrti negli esempi precedenti. () Se < b llor Integrli impropri principli b { converge se α < ( ) = α + se α (2) Se > llor + { converge se α > oppure se α = e β > α (log ) = β + se α < oppure se α = e β (3) Se < b < llor b α log β = { converge se α < oppure se α = e β > + se α > oppure se α = e β

11 98 Roberto Turso - Anlisi 2 Esempio 6.3 Determinimo per quli vlori di R l funzione ( ) e 5 e + (log( + )) 2 è integrbile sull intervllo (, + ). L funzione dt è continu sull intervllo (, + ) e quindi dobbimo fre un nlisi sintotic si per + che per +. Comincimo con + ( e e + ) 5 ( ) 5 (log( + )) 2 2 () = Dunque l funzione è integrbile vicino + se α = 3 < ossi se < 4. Vedimo cos succede per + ( ) e 5 e + (log( + )) 2 (log ) 2. Dunque l funzione è integrbile verso + se α = (l esponente del logritmo è 2 > ). Unendo le due condizioni bbimo che < 4. Esempio 6.4 Determinimo per quli vlori di R l funzione cos 3 (sin ) è integrbile sull intervllo (, π). Per determinre l convergenz bst fre un nlisi sintotic gli estremi dell intervllo di integrzione. Per + cos 3 (sin ) 2 /2 /3 2 +/3 2 = 2 5/3. Dunque l funzione è integrbile vicino + se α = 5/3 < ossi se < 8/3. Invece, per π cos 3 (sin ) = cos 3 2 (sin(π )) 3 π (π ). Dunque l funzione è integrbile vicino π se α = <. Unendo le due condizioni bbimo che <.

12 Clcolo Integrle 99 Concludimo con un cenno l problem dell integrbilità impropri per un funzione di segno non costnte. In questo cso inftti i criteri precedenti non sono pplicbili. Vle però il seguente risultto (nlogo quello per le serie). Criterio dell convergenz ssolut Se b f() d converge llor nche b f() d converge. Esempio 6.5 Provimo che l integrle improprio converge. Per > + sin 2 d sin 2, 2 inoltre / 2 è integrbile in [, + ) e quindi per il criterio del confronto nche l funzione (positiv) sin / 2 è integrbile in [, + ). Quindi l integrle improprio converge per il criterio dell convergenz ssolut. Si osservi che nche l integrle improprio + sin d converge, nche se il rgionmento precedente non è pplicbile perchè l funzione / non è integrbile in [, + ). f() = sin L convergenz si può invece spiegre osservndo il grfico dell funzione: si trtt di oscillzioni modulte dlle funzioni ±/. L integrle improprio d clcolre è l serie i cui termini corrispondono lle ree delle singole gobbe. Tli ree hnno segno lterno (perché stnno lterntivmente sopr e sotto l sse ) e decrescono in vlore ssoluto zero (quest ffermzione ndrebbe dimostrt!). Quindi l serie (e nche l integrle) converge per il criterio di Leibniz.