In questo capitolo svilupperemo la teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile reale.

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1 Cpitolo 1 Integrle di Riemnn In questo cpitolo svilupperemo l teori dell integrzione secondo Riemnn per funzioni di un vribile rele. 1.1 Motivzioni Considerimo i seguenti problemi. 1. Clcolo di un re. Si f : [, b] R un funzione continu e positiv il cui grfico si quello rppresentto in figur. = f() b L re A dell figur compres tr il grfico di f e il segmento [, b] riportto sull sse delle non è clcolbile elementrmente se il grfico di f non è rettilineo. Un modo per clcolre A può essere quello di usre il seguente processo di pprossimzione. Dividimo l intervllo [, b] trmite dei punti di suddivisione 1, 2,..., n e ponimo per comodità 0 = e n+1 = b. Si I j l intervllo [ j, j+1 ]. Se I j è bbstnz piccolo, l vrizione di f su I j srà piccol, cioè f srà pprossimtivmente costnte. Si ξ j I j : un pprossimzione dell re A j sottes d f su I j è dunque A j f(ξ j )( j+1 j ). 5

2 6 CAPITOLO 1. INTEGRALE DI RIEMANN Concludimo che un pprossimzione di A è dt dll somm delle A j, cioè n (1.1) A à = f(ξ j )( j+1 j ). j=0 Se l scelt dei punti di suddivisione è opert in modo d risultre bbstnz fitt, ci si spett che à si un buon pprossimzione di A: nzi, più l suddivisione è fitt, più à si vvicinerà d A. = f() 1 2 b 2. Clcolo dell mss di un trve. Considerimo un trve di lunghezz L riportt sull sse rele in modo che un estremo si in = 0 e l ltro in = L. Si ρ() l densità di mss per unità di lunghezz nel punto [0, L]: ciò signific che un piccol zon di lunghezz ε vicino h mss m ε ρ()ε. 0 L L funzione ρ() non è suppost continu: in questo modo è possibile tenere conto del ftto che l trve si compost di diversi mterili nelle sue diverse prti, un cso che può essere utile nelle ppliczioni. Un pprossimzione dell mss M dell trve può ottenersi nel seguente modo: sceglimo dei punti di suddivisione 1, 2,..., n, ponendo per comodità 0 = 0 e n+1 = L, ed includendo in essi i punti di discontinuità di ρ. Se l intervllo I j = [ j, j+1 ] è sufficientemente piccolo, l mss del trtto I j è dt circ d m j ρ(ξ j )( j+1 j ) dove ξ j è un punto di I j, d esempio il suo punto medio. Dunque un pprossimzione dell mss M dell trve è dt dll espressione n M M = ρ(ξ j )( j+1 j ). j=0

3 1.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE 7 All infittirsi dell suddivisione, M diverrà un pprossimzione sempre migliore di M. Abbimo ottenuto un risultto simile quello dell formul (1.1). 1.2 Definizione di integrle Si [, b] R un intervllo limitto con < b, e si f : [, b] R un funzione limitt, cioè esiste un costnte M 0 tle che per ogni [, b] M f() M. Dimo or un formulzione mtemtic rigoros delle idee viste nell sezione precedente. 1. Dicimo che S = { 0, 1,..., n+1 } è un suddivisione di [, b] se 2. Si ξ j [ j, j+1 ]: diremo che l quntità = 0 < 1 < 2 < < n < n+1 = b. n f(ξ j )( j+1 j ) j=0 è un somm di Riemnn di f reltiv ll suddivisione S. Come visto nell sezione precedente, le somme di Riemnn nscono in modo nturle nelle ppliczioni. 3. Ponimo e Σ (f, S) := Σ (f, S) := n [ ] inf f() ( j+1 j ) [ j, j+1 ] j=0 [ ] n sup f() ( j+1 j ) [ j, j+1 ] j=0 I numeri reli Σ (S, f) e Σ (S, f) si chimno rispettivmente somm inferiore e somm superiore ssocite ll funzione f e ll suddivisione S. Chirmente, ogni somm di Riemnn reltiv S è compres tr Σ (f, S) e Σ (f, S). = f() 1 b

4 8 CAPITOLO 1. INTEGRALE DI RIEMANN 4. Dicimo che un suddivisione T è un rffinmento dell suddivisione S se T contiene i punti di suddivisione di S, cioè S T. In tl cso si h che Σ (f, S) Σ (f, T) e Σ (f, S) Σ (f, T). E fcile cpire queste relzioni nel cso in cui T si ottiene d S ggiungendo un punto di suddivisione ξ: il risultto generle discende d questo, ggiungendo un punto ll volt. Se S = {, 1, b} e T = {, 1, ξ, b} si h per le somme inferiori = f() 1 b e = f() 1 ξk b Dunque rffinndo l suddivisione di [, b] l somm inferiore cresce, mentre quell superiore decresce. 5. Ponimo I (f) := sup Σ (f, S) e S I (f) := inf S Σ (f, S). I numeri reli I (f) e I (f) si dicono rispettivmente integrle inferiore e integrle superiore di f su [, b]. Abbimo immeditmente l disuguglinz I (f) I (f). 6. Possimo or dre l definizione di integrbilità nel senso di Riemnn.

5 1.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE 9 Definizione 1.1 (Integrbilità secondo Riemnn). Sino, b R con < b, e si f : [, b] R un funzione limitt. Dicimo che f è integrbile secondo Riemnn se I (f) = I (f). Tle vlore si dice l integrle di f sull intervllo [, b] e si indic con i simboli f() d oppure f d, Poiché in questo corso useremo solo l integrzione secondo Riemnn, ometteremo di indicre che l integrbilità è intes nel senso di Riemnn. Se f è positiv, f() d può interpretrsi come l re compres tr l sse delle scisse e il grfico di f. = f() b Nel cso in cui f() 0 per ogni [, b], f() d rppresent l re tr f e l sse delle scisse m con il segno negtivo. Se f cmbi segno sull intervllo [, b], f() d tiene conto del bilncimento tr le ree positive e quelle negtive. = f() b 7. L seguente proposizione contiene un crtterizzzione dell clsse delle funzioni integrbili.

6 10 CAPITOLO 1. INTEGRALE DI RIEMANN Proposizione 1.2 (C.n.s. per l integrbilità ). Sino, b R con < b, e si f : [, b] R un funzione limitt. Allor f è integrbile se e solo se per ogni ε > 0 esiste un suddivisione S ε di [, b] tle che (1.2) Σ (f, S ε ) Σ (f, S ε ) ε. = f() b Geometricmente possimo interpretre il risultto in questo modo: f è integrbile se e solo se il suo grfico può ricoprirsi con un numero finito di rettngoli ssociti d un suddivisione l somm delle cui ree è piccol picere. Dimostrzione. Supponimo che f si integrbile, cioè si bbi I (f) = I (f), e si η > 0. Possimo trovre due suddivisioni T 1 e T 2 di [, b] tli che I (f) Σ (f, T 1 ) + η e Σ (f, T 2 ) I (f) + η. Considerndo l suddivisione S η = T 1 T 2 si h Ottenimo d cui I (f) Σ (f, S η ) + η e Σ (f, S η ) I (f) + η. Σ (f, S η ) I (f) + η = I (f) + η Σ (f, S η ) + 2η Σ (f, S η ) Σ (f, S η ) 2η. Se 2η < ε, l suddivisione S η è quell cerct. Vicevers supponimo che per ogni ε > 0 esist un suddivisione S ε di [, b] tle che Allor si h Σ (f, S ε ) Σ (f, S ε ) ε. I (f) Σ (f, S ε ) Σ (f, S ε ) + ε I (f) + ε. Poiché ε è rbitrrio, si h I (f) I (f). Poiché è sempre I (f) I (f), si ottiene I (f) = I (f), cioè f è integrbile.

7 1.3. CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI Si S ε un suddivisione di [, b] tle che vlg (1.2), e si Σ = n f(ξ j )( j+1 j ) j=0 un somm di Riemnn ssocit S ε. Dlle disuguglinze e ricvimo l disuguglinz (1.3) Σ (f, S ε ) Σ Σ (f, S ε ) Σ (f, S ε ) f() d Σ (f, S ε ) f() d Σ < ε. Dunque un qulsisi somm di Riemnn reltiv S ε fornisce un buon pprossimzione dell integrle di f su [, b]. 1.3 Clssi di funzioni integrbili In quest sezione vedimo che l clsse di funzioni integrbili è molto mpi così d coprire grn prte delle funzioni utili nelle ppliczioni ll ingegneri. 1. Chirmente sono integrbili le funzioni costnti, ed nzi sppimo clcolre nche il vlore del loro integrle c d = c(b ). 2. Sono sicurmente integrbili le funzioni continue f : [, b] R. Innnzitutto f è limitt per il teorem di Weierstrss. Per vedere l integrbilità, fissimo η > 0 e dividimo l intervllo [, b] in n prti uguli di lunghezz dunque (b )/n. Essendo f continu, se n è molto grnde vremo che l oscillzione di f su ogni intervllo srà minore di η: di conseguenz l prte di grfico di f reltiv d ogni intervllo potrà essere inclus in un rettngolo di bse (b )/n e di ltezz η. Sommndo le ree di tutti questi rettngoli otterremo un quntità ugule n b η = (b )η, n che per l rbitrrietà di η può essere res piccol picere.

8 12 CAPITOLO 1. INTEGRALE DI RIEMANN 3. Simo però interessti d integrre nche funzioni discontinue (come nell esempio del clcolo dell mss). Un clsse di funzioni discontinue molto utili nelle ppliczioni sono le funzioni continue trtti. Dicimo che f : [, b] R è continu trtti se esiste un suddivisione S = { 0, 1,..., n+1 } di [, b] tle che f è continu su ogni intervllo perto ] j, j+1 [ ed esistono finiti i limiti lim + j f() e lim f(). j+1 Un grfico tipico di funzioni continue trtti è il seguente. = f() c b Anche le funzioni continue trtti sono integrbili. A prte i vlori in corrispondenz dei punti dell suddivisione S, il grfico di f è contenuto nell unione di grfici di funzioni continue: dunque in bse l punto precedente, possimo ricoprirlo trmite un numero finito di rettngoli di re piccol picere. I punti eccezionli sono poi in numero finito: dunque possimo ricoprirli con un numero finito di qudrti di re piccol picere. Globlmente, il grfico di f viene così ricoperto con rettngoli l somm delle cui ree è piccol picere: dunque f è integrbile. = f() c b 4. Non tutte le funzioni limitte sono integrbili. Ad esempio non lo è l funzione

9 1.4. PROPRIETÀ DELL INTEGRALE 13 f : [0, 1] R dt d f() = { 1 se è rzionle 0 se è irrzionle poiché I (f) = 0 e I (f) = 1. f è dett funzione di Dirichlet. 1.4 Proprietà dell integrle Vedimo or lcune proprietà del clcolo integrle molto utili nelle ppliczioni. 1. Sino, b R con < b e f, g : [, b] R due funzione integrbili, e sino α, β, λ R. Si può innnzitutto dimostrre che le funzioni f + g, λf, f e l restrizione di f qulsisi sottointervllo sono loro volt integrbili. Inoltre vlgono le seguenti proprietà. () Linerità : (αf() + βg()) d = α f() d + β (b) Confronto: se f() g() per ogni [, b], si h (c) Suddivisione: se c ], b[ f() d = f() d c f() d + g() d; (d) Confronto con il modulo: f() d f() d. c f() d; g() d; 2. Se l funzione f è definit su un intervllo simmetrico rispetto ll origine, cioè del tipo [, ] con > 0, e f possiede prticolri simmetrie, esse si riflettono sul clcolo dell integrle. Se f : [, ] R è un funzione pri (cioè f( ) = f()), llor f() d = 2 0 f() d.

10 14 CAPITOLO 1. INTEGRALE DI RIEMANN Se invece f è un funzione dispri (cioè f( ) = f()) si h f() d = L medi integrle L integrle può essere usto per fornire un generlizzzione del concetto di medi per grndezze che vrino. 1. Per cpire il collegmento tr l integrle ed il concetto di medi, tornimo l cso delle funzioni continue. Abbimo visto che esse sono integrbili considerndo l suddivisione S di [, b] in n intervlli uguli di mpiezz (b )/n e vedendo che reltivmente d ess, somm inferiore e somm superiore si scostno di un quntità sempre più piccol l crescere di n. Sceglimo un punto ξ i qulsisi ll interno dell i-esimo intervllo: per definizione di somm inferiore e superiore bbimo l disuguglinz Σ (f, S) f(ξ 1 ) b n + f(ξ 2) b n + + f(ξ n) b n Σ (f, S). Poiché Σ (f, S) e Σ (f, S) sono sempre più vicini tr loro e vicini ll integrle di f l crescere di n, concludimo che per n sempre più grnde l quntità f(ξ 1 ) + f(ξ 2 ) + + f(ξ n ) (b ) n f() d

11 1.5. LA MEDIA INTEGRALE 15 e cioè f(ξ 1 ) + f(ξ 2 ) + + f(ξ n ) n 1 b f() d. Dunque l integrle di f diviso per b rppresent un sort di medi ritmetic dei vlori dell f (i vlori di f sono infiniti, noi bbimo operto in un certo senso un cmpionmento). 2. In bse qunto visto, simo portti dre l seguente definizione per un qulsisi funzione integrbile: dicimo medi integrle di un funzione integrbile f su [, b] il vlore M f = 1 f() d. b Scrivendo l relzione precedente nell form f() d = M f (b ), deducimo che M f h il seguente significto geometrico: tenendo conto dell convenzione sui segni sulle ree, l re ssocit l grfico di f è equivlente d un rettngolo di bse b e ltezz M f. Bisogn notre che se f è discontinu, il vlore M f è un vlore medio in un senso molto debole. Sicurmente inf f M f sup f [,b] [,b] m non è detto che esist [, b] tle che f() = M f : in ltre prole M f potrebbe non essere mi ssunto dll funzione. Quest situzione cpit d esempio per l funzione riportt in figur: Si h inftti M f = 3/2, ed f ssume solo i vlori 1 e Nel cso delle funzioni continue, l medi integrle M f è effettivmente un vlore ssunto d f.

12 16 CAPITOLO 1. INTEGRALE DI RIEMANN Teorem 1.3 (Teorem dell medi). Si f : [, b] R un funzione continu. Allor esiste c [, b] tle che f(c) = M f e cioè f() d = f(c)(b ). Dimostrzione. Sino m e M il minimo ed il mssimo di f su [, b]: dll disuguglinz [, b] : m f() M, integrndo su [, b] ed utilizzndo l proprietà del confronto si h l disuguglinz m(b ) che dividendo per b port f() d M(b ), m M f M. Poiché f ssume, essendo continu, tutti i vlori intermedi tr m e M, si h che esiste c [, b] tle che f(c) = M f, ed il teorem è così dimostrto. = f() f(c) c b 1.6 I teoremi fondmentli del clcolo In quest sezione collegheremo il problem dell integrzione l problem del clcolo dell primitiv di un funzione: in ciò consistono i teoremi fondmentli del clcolo. 1. Si I R un intervllo perto, e sino f : I R e F : I R due funzioni. Dicimo che F è un primitiv di f su I se F è derivbile su I e si h I : F () = f().

13 1.6. I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO 17 Ad esempio, F() = 2 è un primitiv su R di f() = 2, così come G() = sin(2) 2 è un primitiv su R di g() = cos(2). L insieme delle primitive di f (se esistono) si us indicre con il simbolo f() d; l scelt del simbolo già nticip il legme con il problem dell integrzione. Geometricmente, un primitiv F di f è un funzione tle che per ogni 0 I l tngente l grfico di F nel punto 0 è un rett il cui coefficiente ngolre è proprio pri f( 0 ). = F() = m + q con m = F ( 0 ) = f( 0 ) 0 2. Il problem delle primitive può enuncirsi così : determinre l insieme di tutte le primitive su I dell funzione f : I R. Tle problem non è fftto semplice: innnzitutto f potrebbe non mmettere primitive (vedi gli esercizi per un esempio esplicito); oppure potrebbe mmetterne, m esse non risultno fcili d clcolre esplicitmente. Un cos che possimo fcilmente notre è che se f mmette un primitiv F, llor nche F +c, con c R, è un primitiv di f: inftti derivndo si h che l costnte sprisce, così che (F + c) () = F () = f(). Lo stesso ftto può cpirsi geometricmente in termini di trslzioni del grfico di F.

14 18 CAPITOLO 1. INTEGRALE DI RIEMANN = F() + c = F() 0 Inftti trslndo in verticle il grfico di F, si ottiene un nuov curv tle che l rett tngente nel punto 0 h chirmente inclinzione pri ncor f( 0 ): dunque l nuov funzione è ncor un primitiv di f. Concludimo che se l insieme delle primitive è non vuoto, esso contiene infinite funzioni, in prticolre quelle ottenute sommndo un costnte rbitrri. Il rgionmento geometrico sopr illustrto può frci cpire un cos molto importnte: se il grfico di F si compone di più pezzi, cioè f non è definit su un intervllo m su un unione di intervlli, llor ogni trtto del grfico può essere trslto in mnier indipendente dgli ltri. Di conseguenz l generic primitiv di f può venire dipendere d tnte costnti rbitrrie. Ad esempio l funzione f() = 1 2 mmette come primitive tutte le funzioni dell form { 1 F() = + c 1 se < c 2 se > 0

15 1.6. I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO 19 con in generle c 1 c Nel cso in cui f si definit su un intervllo, le primitive dipendono d un sol costnte rbitrri. Proposizione 1.4 (Due primitive su un intervllo differiscono per un costnte). Sino F, F due primitive di f sull intervllo I. Allor esiste un costnte c R tle che F = F + c. Dimostrzione. Per vederlo, bst provre che l funzione G() = F() F() è costnte. Inftti si h G () = ( F() F()) = F () F () = f() f() = 0 e cioè l funzione G h derivt null in ogni punto: poiché G è definit su un intervllo I, per ogni [, b] I si h per il Teorem di Lgrnge che esiste c ], b[ tle che G(b) G() = G (c)(b ) = 0, cioè G(b) = G(). Dunque G è un funzione costnte. 4. Per formulre i teoremi fondmentli del clcolo, bbimo bisogno delle seguente convenzione sui segni. Se f : [, b] R è integrbile e se α, β [, b] con α < β, ponimo α α β f() d = 0 e f() d := f() d. α β α Anche con quest convenzione bbimo che per ogni α, β, γ [, b] si h β α f() d = γ α f() d + β γ f() d, cioè vle ncor un formul di suddivisione per l integrle. 5. Possimo enuncire or il primo teorem fondmentle del clcolo. Teorem 1.5 (Primo Teorem Fondmentle del Clcolo). Sino, b R con < b e si f : [, b] R un funzione continu. Si c [, b] e si A : [, b] R definit d A() := Allor A è derivbile per ogni ], b[ e si h c f(t) dt. A () = f().

16 20 CAPITOLO 1. INTEGRALE DI RIEMANN Dimostrzione. Notimo che l funzione A è ben definit essendo f continu e dunque integrbile. Inoltre se c, bisogn considerre l convenzione sui segni precedentemente introdott. L derivt di A in ], b[ è dt dl limite del rpporto incrementle lim h 0 A( + h) A(). h Esso è ben definito perché per h piccolo si h sicurmente + h ], b[. Inoltre bbimo che A( + h) A() = = = c +h f(t) dt + f(t) dt. c +h +h f(t) dt f(t) dt c c f(t) dt f(t) dt Se h > 0, per il teorem dell medi esiste ξ h [, + h] tle che +h Se h < 0, per l convenzione sui segni si h +h f(t) dt = f(ξ h )h. f(t) dt = f(t) dt +h così che per il teorem dell medi esiste ξ h [ + h, ] tle che +h f(t) dt = f(ξ h )( h) = f(ξ h )h. Concludimo che per ogni h positivo o negtivo esiste ξ h pprtenente ll intervllo determinto d e + h tle che A( + h) A() = f(ξ h )h e cioè A( + h) A() = f(ξ h ). h Fccimo or tendere h 0: si h ξ h, ed essendo f continu f(ξ h ) f(). Dunque si h A( + h) A() lim = f() h 0 h

17 1.6. I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO 21 e l tesi è dimostrt. Il risultto del primo teorem fondmentle del clcolo può essere cpito trmite il seguente rgionmento geometrico: l quntità A( + h) A() rppresent l re dell regione R h determint d f sull intervllo [, + h]. ( + h, f( + h)) (, f()) = f() + h R h è un poligono con un lto curvilineo, quello reltivo l grfico di f che congiunge i punti (, f()) e ( + h, f( + h)): essendo f continu, per h piccolo il lto curvilineo differisce poco d quello orizzontle d ltezz f(). L re di R h è dunque pprossimtivmente quell del rettngolo di bse [, + h] e ltezz f(), e tle pprossimzione è sempre migliore l tendere di h zero. Ricvimo A( + h) A() f()h d cui A( + h) A() lim = A () = f(). h 0 h Questo rgionmento intuitivo mostr che il risultto del teorem è vlido nell sol ipotesi dell continuità di f in : per questo si vedno gli Esercizi. 6. Come conseguenz del Primo Teorem Fondmentle del Clcolo deducimo che le funzioni continue f : I R mmettono sempre un primitiv: nzi sppimo che esse si ottengono ggiungendo un costnte rbitrri ll funzione A() = c f(t) dt dove c è un elemento di I. Dunque le primitive di un funzione continu si costruiscono fcendo uso del procedimento di integrzione.

18 22 CAPITOLO 1. INTEGRALE DI RIEMANN 7. Gurdimo or il legme tr primitiv ed integrzione osservto l punto precedente nel senso opposto. Di questo si occup il Secondo Teorem Fondmentle del Clcolo. Teorem 1.6 (Secondo Teorem Fondmentle del Clcolo). Sino I R un intervllo, e si f : I R un funzione continu. Allor per ogni, b I si h dove F è un qulsisi primitiv di f. f() d = F(b) F() Dimostrzione. Sppimo che f mmette primitive su I, ed nzi, un primitiv di f è dt d esempio d A() = f(t) dt. Poiché due primitive di f differiscono per un costnte su I, si h che esiste c R tle che per ogni I Se sceglimo =, si ottiene 0 = e cioè c = F(). Si h dunque f(t) dt = F() + c. f(t) dt = F() + c f(t) dt = F() F(). Sostituendo = b si h che è l tesi. f(t) dt = F(b) F() Si scrive spesso F(b) F() = [F()] b così che l conclusione del teorem si scrive f() d = [F()] b. Dunque concludimo che il procedimento di integrzione di un funzione continu f, nziché compiersi secondo definizione nlizzndo somme inferiori e superiori (che è lborioso), può svolgersi trovndo un primitiv F e clcolndo l differenz F(b) F(). Vedimo lcuni esempi.

19 1.7. FORMULE DI INTEGRAZIONE 23 () Clcolre d. Un primitiv su R di f() = 3 è F() = 4 4 poiché Dunque (b) Clcolre ( ) = 1 4 (4 ) = = 3. [ 3 4 d = 4 π 2 0 ] 5 1 sin(2) d. cos 2 Un primitiv di sin(2) è. Dunque 2 π 2 0 sin(2) d = = [ ] π/2 cos 2 = cos π = = 1. Il Secondo Teorem Fondmentle del Clcolo spost l ttenzione dlle somme inferiori e superiori l problem di trovre un primitiv. A prtire dlle regole di derivzione, bisogn dunque cpire cos succede ndndo ll indietro. Il teorem è dunque efficce per risolvere gli integrli se bbimo un bgglio sufficientemente mpio di funzioni di cui sppimo clcolre l primitiv. 1.7 Formule di integrzione In quest sezione vedimo due procedimenti di integrzione molto utili nelle ppliczioni: l integrzione per prti e l integrzione per sostituzione. 1. Comincimo con l integrzione per prti. Ess rigurd essenzilmente l integrzione di funzioni che si presentno sotto form di prodotto. Proposizione 1.7 (Clcolo dell integrle per prti). Si I un intervllo in R e sino f, g : I R due funzioni derivbili con derivt continu. Allor per ogni, b I bbimo che f()g () d = [f()g()] b f ()g() d. Dimostrzione. Dll derivzione di un prodotto si h (fg) = f g + fg d cui fg = (fg) f g.

20 24 CAPITOLO 1. INTEGRALE DI RIEMANN Per l ipotesi su f e g, le funzioni che compiono nell formul sono continue e dunque integrbili. Se integrimo tr e b, pplicndo le proprietà dell integrle ed il Secondo Teorem Fondmentle del Clcolo si h fg d = che è l tesi. [(fg) f g] d = (fg) d f g d = [fg] b f g d Per pplicre l integrzione per prti occorre decidere qule funzione considerre come f e qule come g: l scelt è dettt dll esperienz. L formul sottintende che il problem del clcolo di un primitiv di f g debb essere più semplice di quello di prtenz fg. Esempio 1.8. Considerimo 1 0 e d. Scegliendo f() = e g () = e si h g() = e d cui e d = [e ] 1 0 e d = e [e ] 1 0 = Pssimo or ll integrzione per sostituzione. Esso consiste essenzilmente in un cmbio di vribile, cioè nel pssggio dll vribile [, b] d un nuov vribile, dicimol t, legt d dll relzione 0 = ϕ(t). L funzione ϕ deve essere invertibile così d potersi scrivere cioè trovre t in funzione di. t = ϕ 1 (), Proposizione 1.9 (Clcolo dell integrle per sostituzione). Si f : [, b] R un funzione continu e si = ϕ(t) un cmbimento di vribile tle che ϕ si derivbile con derivt continu. Allor si h f() d = ϕ 1 (b) ϕ 1 () f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Dimostrzione. Bst tenere presente che per il Secondo Teorem Fondmentle del Clcolo si h che se F è un primitiv di f llor f() d = F(b) F().

21 1.7. FORMULE DI INTEGRAZIONE 25 D ltro cnto l funzione F(ϕ(t)) è derivbile con (F(ϕ(t))) = F (ϕ(t))ϕ (t) = f(ϕ(t))ϕ (t) d cui β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt = F(ϕ(β)) F(ϕ(α)). L tesi è dunque dimostrt scegliendo α = ϕ 1 () e β = ϕ 1 (b). Notimo che nell integrzione per sostituzione, pssndo d t occorre cmbire ovvimente gli estremi di integrzione, m soprttutto l nuov funzione d integrre non è solo f(ϕ(t)) m f(ϕ(t))ϕ (t). Fre un cmbimento di vribile presuppone che il clcolo dell primitiv di f(ϕ(t))ϕ (t) si più semplice di quello di f(). Esempio Clcolimo l integrle 7 ln2 e 2 e 1 d. Se ponimo e = t, si h = ln t. Sceglimo llor come funzione ϕ dell formul d integrzione per sostituzione l ppliczione ϕ(t) = ln t che è invertibile. Si h = ln 2 = t = e ln 2 = 2 = 7 = t = e 7 e ϕ (t) = 1 t. Ottenimo 7 ln 2 e 2 e 7 e 1 d = 2 ( ) t 2 1 e 7 t 1 t dt = 2 t t 1 dt. Il secondo membro è più fcile d integrre. Un primitiv su ]0, + [ è dt d ( ) t t 1 dt = 1 + dt = 2 t 1 t 1 3 (t 1)3/2 + 2(t 1) 1/2. Dunque si ottiene e 7 2 [ ] e 7 t 2 dt = t 1 3 (t 1)3/2 + 2(t 1) 1/2 = (e7 1) 3/2 + 2(e 7 1) 1/

22 26 CAPITOLO 1. INTEGRALE DI RIEMANN Esercizi 1. Sino f, g : [, b] R due funzioni integrbili: dimostrre che f + g è integrbile. (Suggerimento: mostrre che I (f + g) I (f) + I (g) e che I (f + g) I (f) + I (g)). 2. Si f : [,b] R e si λ R: dimostrre che λf è integrbile. (Suggerimento: consider prim il cso λ 0 e prov che I (λf) = λi (f) e I (λf) = λi (f)). 3. Si f : [, b] R un funzione integrbile. Dimostrre che f è integrbile. 4. Si f : [,b] R un funzione integrbile. Dimostrre che f 2 è integrbile. 5. Sino f,g : [,b] R due funzioni integrbili. Dimostrre che fg è integrbile. (Suggerimento: ricord che 4fg = (f + g) 2 (f g) 2 ). 6. Sino f : [,b] R un funzione integrbile, c [,b] e d R. Dimostrre che { f() se c g() = d se = c è integrbile e f()d = g()d. (Suggerimento: vedi che I (f) = I (g) e I (f) = I (g)). 7. Sino f : [,b] R integrbile e A() = f(t)dt. Dimostrre che A è continu. 8. Dimostrre che l funzione non mmette primitive su R. f() = { 0 se 0 1 se = 0 9. Sino,b R con < b e si f : [,b] R un funzione integrbile e continu in 0 ],b[. Si c [,b] e si A : [,b] R definit d A() := c f(t)dt. Dimostrre che A è derivbile in 0 e che A ( 0 ) = f( 0 ). (Suggerimento: cerc di seguire l dimostrzione geometric del Primo Teorem Fondmentle del Clcolo.) 10. Si f : R R dt d f() = { 1 se 0 1 se < 0 e si A() = 0 f(t)dt. Verificre che A non è derivbile in = 0, m mmette derivte destr e sinistr pri rispettivmente 1 e Si f : [,b] R integrbile e si 0 ],b[ tle che lim + f() = l. Dimostrre che 0 A() = f(t)dt è derivbile d destr in 0 e che l derivt destr vle l.

23 1.7. FORMULE DI INTEGRAZIONE Dimostrre che l funzione f : [ 1, 1] R dt d { sin 1 f() = se 0 0 se = 0 non è continu trtti, m è integrbile su [ 1, 1]. (Suggerimento: dividi [ 1, 1] negl intervlli [ 1, ε], [ ε,ε] e [ε,1]...). 13. Si consideri l funzione di Riemnn { 1 f() = n se = m n Q, con m,n primi tr loro 0 se R \ Q. Dimostrre che f è discontinu in tutti i punti rzionli e continu in tutti i punti irrzionli. Dimostrre che f è integrbile su un qulsisi intervllo [,b] e che f()d = 0.

24 28 CAPITOLO 1. INTEGRALE DI RIEMANN