Lezione 16 Derivate ed Integrali

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1 Lezione 16 Derivte ed Integrli Frnk Sullivn 1 Dicembre 11 1 Prim Or Compiti di letture ed esercizi per 3 Dicembre Durnte l lezione di oggi pplicheremo le regole per differenzire funzioni l clcolo di integrli. In prticulre prlimo del logritmo nturle e il numero e. Il compito di lettur d fre cs per quest e l prossim lezione successiv consiste nel leggere il Cpitolo 7 del testo di Bertsch, provre qulche esercizio ivi contenuto, e preprre questioni in merito per l clsse di lunedí 14 Novembre. In prticolre si dovrebbe imprre un breve tbell di integrli e derivte Questo compito é tsstivo, prescindere dl contenuto dell lezione di oggi, che molto probbilmente non includerá tutt l mteri del Cpitolo 7 di Bertsch (e forse nenche un po ). Come sempre, tocc gli studenti di portre domnde sul compito di lettur per chirire i concetti e tecniche presentti nel testo. 3 Integrli Trigonometriche Il teorem fondmentle del clcolo é il seguente Si ricord le regole seguenti per derivte: 1. Per n rele, n 1, si h x t n dt = xn+1 n C. Per x misurt in rdinti si h x sin(t)dt = cos(x) + C 3. Per x misurt in rdinti si h x cos(t)dt = sin(x) + C 4. Per x misurt in rdinti si h x sec (t)dt = tn(x) + C 5. Per x misurt in rdinti si h x csc(t)dt = cot(x) + C 1

2 6. Per x misurt in rdinti si h x sec(t) tn(t)dt = sec(x) + C 7. Per x misurt in rdinti si h x csc(t) cot(t) = csc (x) + C 8. Si h x t = rctn(x) + C 9. Si h X 1 1 t = rcsin(x) + C. 1. Per R tle che > si h che x ln() t = x + X. In prticolre, se e é l bse per i logritmi nturli (ln(e) = 1) si h che x e t dt = e x + C, proprietá notevole di un funzione che é ugule ll su propri derivt. 11. Per x R, x >, ed f(x) = ln(x) il logritmo nturle di x é x 1 dt/t = ln(x) + C (per definizione!), e dunque per x si h che d ln( x ) dx Inoltre per integrzioni per prti si trov che x dt t = x ln( x ) x + C. = 1 x. Si ricord pure che l formul di Leibniz per l derivt di un prodotto si trduce nell importntissim formul di integrzione per prti: f(t)g (t)dt = f(t)g(t) b g(t)f (t)dt Importntissim vuol dire che non é possibile vere l sufficienz in questo corso senz spere e spere usre quest regol. Si osserv che pplicte l formul per integrzione per prti permette (ed esige) un cert scltrezz perchè un scelt occult dell funzione primitiv g(x) di g (x) puó semplificre l vit, illuminre l situzione, ed, in somm, fre mircoli. Tnto per fre un illustrzione usimo integrzione per prti per trovre l funzione primitiv di ln(x): Nel integrle x ln(t)dt prendimo f(t) = ln(t) e g (t) 1, di modo che si bbi l tbell (di integrzione per prti) f(t) = ln(t) g(t) = t f (t) = 1/t g (t) = 1 L formul per integrzione per prti porge x ln(t) 1dt = t ln(t) x x t(1/t)dt = x ln(x) x + ln() = x ln(x) x + C ové bbimo scelto l costnte di integrzione C = ln().

3 Infine, si ricord che nell versione Leibnizin l regol per il cmbio di vribile in un integrle dice che se si h un integrle f(x)dx e se poi x = x(t) é su volt funzione di t, con x() = e g(β) = b llor vle f(x)dx = f(x(t))d(x(t)) = f(x(t))x (t)dt = f(x(t)) dx dt dt Quest formul poss sembrre poco comprensibile e quindi poco entusismnte, e cosí resterá se non si svolge un numero sufficiente di esempi semplici per vedere qunto utile e potente ess é. Un numero sufficiente probbilmente vuol dire lmeno qulche dozzine, ed ncor piú probbilmente qulche centini: si svolge integrle finché l tecnic di integrzione per sostituzione rissunt nell formul precedente divent un procedur meccnic. Ovvimente non funzion sempre m lmeno permette di ottenere semplificzione di integrle pprentemente molto complicti. Come esempi tipici di integrzione per sostituzione bbimo volto diversi integrli, tutti del tipo x n 1 sin(x n ) dx, trovndo che trmite l sostituzione u = x n, one du = nx n 1 dx questi integrli si riducono d 1 β sin(u) du = 1 n n (cos(u)) β con = n e β = b n (come si vede fcilmente dl ftto che per x = si h x n = u = n ecc. 4 Second Or Ci ponimo il problem di clcolre (o lmeno dre un procedur per clcolre) certi integrli che nturlmente destno curiositá. Abbimo in mente gli integrli sin n (t)dt e piú in generle gli integrli ed cos n (t)dt sin j (t) cos k (t) dt Per qunto rigurd i primi due integrli, é sempre un picere dimezzre il lvoro d fre, e l osservzione cos(t) = sin ((π/) t) ci permette di studire solo 3

4 il primo integrli dell coppi. Inftti, se si pone u = (π/) t si h che sin n (u)du = (π/) θ (π/) sin n ((π/) t) dt = (π/) θ (π/) cos n (t)dt Poi osservimo che di nuovo possimo dimezzre il lvoro se osservimo che qundo n é DISPARI, tutto si svolge in modo fcile fcile: In effetti se n = k + 1 llor sin(t) k+1 = (sin(t)) k sin(t) = ( k = (sin (t)) k sin(t) = (1 cos (t)) k sin(t) ) ) 1 ( cos (t)) k sin(t) = ( k D quest identitá trigonometric discende subito che sin k+1 (t)dt = ( 1)k ( ) k θ1 = ( 1)k ( k ) cos (k ) (t) sin(t) cos (k ) (t) sin(t)dt = ( 1)k 1 ( k ) cos (k ) (t)( sin(t)dt) = ( 1)k 1 ( k )cos (k )+1 (t) (k ) + 1 Provimo d nlizzre questo risultto in un cso prticolre di interesse indipendente, ossi qundo = e θ 1 = π/. Nturlmente, in questo cso il clcolo si semplific in modo notevole: inftti, cos j () = 1 per ogni intero j, e quindi cos (k )+1 () (k ) + 1 = 1 per =, 1,..., k. (k ) + 1 D ltr prte, l funzione cos(θ) si nnull qulor θ si moltiplo dispri di π/ e quindi π/ k ( ) k sin k+1 θ dθ = ( 1) k 1 (k ) + 1 = Provimo or confrontre il risultto con 1 (1 t ) k dt = 1 k = ( 1)k ( k ) t (k ) dt = ( 1)k ( ) k 1 = ( 1)k ( k t(k ) dt ) 1 (k ) + 1 θ 1 4

5 L esito di questi clcoli é che qundo n é dispri possimo clcolre sin n (t)dt bbstnz fcilmente, ed, in prticolre, per tli vlori di n l integrle prticolre π/ sin n t dt risult un numero rzionle bbstnz fcilmente clcolto. Questo lsci il cso del clcolo di integrli del tipo sin k (θ) dθ. A questo punto possimo invocre l identitá trigonometric citt sopr: Inftti, si h che sin (θ) = 1 cos(θ). sin k θ dθ = ( ) k 1 cos(θ) dθ Questo ci pre l strd d un procedur di riduzione ricorsiv. Qundo si svilupp il binomio i termini del tipo cos j (θ) con j dispri si puó gestire come bbimo ftto sopr nel cso di sin j (θ) per j dispri. Invece i termini di grdo pri di puó ridurre polinomi trigonometrici in cos(4θ) e cosí vi. Studieremo quest procedur di ricorsione piú in dettglio nell prossim lezione. 5