ESPONENZIALI E LOGARITMI

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1 ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con << y=(.)^ y=^ y=e^ y=^ y=(7/)^ y=(/)^ y=(/)^ y=(/)^ Funzione esponenzile in bse f = > ( ), R (,+ ) Funzioni logritmo y=log_() con > Funzioni logritmo y=log_() con << y=log_/() y=log_/() y=log_/() y=log_/() Funzione logritmo in bse f = log, > e ( ) (,+ ) R y=log_.() y=log_() y=log_() y=log_() Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione //

2 Proposizione: l funzione esponenzile e l funzione logritmo verificno le relzioni: log y log ( ) = y per ogni y (, + ) = per ogni R Proposizione: simo,, y numeri reli positivi, con ; si z un numero rele; Vlgono le seguenti proprietà:. log y = log + log y. log = log log y y z. log = z log Se, inoltre, b è rele e positivo, b, vle l formul del cmbimento di bse dei logritmi log b log =. log b Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione //

3 ESEMPI. Clcolre log e log Possimo procedere in due modi: usndo l definizione di logritmo: = log = = = ; = log = = = utilizzndo le proprietà dei logritmi e l'uguglinz log = per ogni > e : log = log = log = ; log = log = log = z. Applicndo le proprietà dei logritmi trsformre l'espressione ln con, y, z > in somme lgebriche. y z z ln ln ln( z ) ln y ln ln z ln y ln ln z ln y ln ln z ln y y = y = = + = + = + 6 Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione //

4 . Applicndo le proprietà dei logritmi scrivere l'espressione ( ) ( ) ln ln y + ln + y con, y > Osservimo che ln(+y) è ben definito in qunto + y>, essendo per ipotesi > e y>. e e e ( ln ln y + ) ln( + y) = ( ln ln y + lne) ln( + y) = ln ln ( + y) = ln ln ( + y) = ln 6 y y y y. Determinre il dominio delle funzioni f( ) = ( ) relzione: f ( ) f ( ) =. Il dominio di f è dom f = { + > } = ( ) ( + ) ln, f ( ) = ( ) + ( + ) R:,, ; ( + ) ln ln e dire per quli vlori di vle l f è somm di due funzioni: il suo dominio si trov fcendo l'intersezione tr i domini delle funzioni y = ln( ) e y = ( + ) vle dire dom f = { R: > } { R: + > } = (, + ) (, + ) = (, + ) L relzione f ( ) = f ( ) è soddisftt per domf domf = ( + ) ln,, : inftti, possimo pplicre l proprietà () dei logritmi se e solo se i fttori che compongono l'rgomento del logritmo sono tutti strettmente positivi. Quindi per (,+ ) si h: ( ) = ln( + ) = ln[ ( ) ( + ) ] = ln( ) + ln ( + ) = ( ) f f Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione //

5 . Risolvere le seguenti equzioni esponenzili: 7 + = + I denomintori sono entrmbi non nulli (l quntità è positiv per qulsisi vlore di ), quindi non vi sono condizioni di esistenz d porre ( + ) ( ) + = = = = + 6 = = = = + Si h: + + = + = + = Poiché entrmbi i membri dell'equzione sono positivi possimo pplicre il logritmo (di bse qulsivogli) d mbo i membri dell'equzione ln ln ln ln( ) = ln( ) ln + ln = ln + ln ln ln = ln ln ( ln ln ) = ln ln = = ln ln ln Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione //

6 + 8 9 = Possimo ricondurci d un equzione di secondo grdo medinte l sostituzione = t : t + 8t 9 = t = t = 9. t = = = t = 9 = 9 impossibile, essendo > per ogni R 6. Risolvere le seguenti disequzioni esponenzili: > Si trtt di trovre l'insieme di positività dell funzione y =. y=^(-)- intersezione sse insieme di positività Ottenimo il grfico dell funzione prtendo d y= ed pplicndo l trslzione τ(,-). - Il grfico dell funzione si svolge l di sopr dell'sse delle scisse per (, + ). Per determinre risolvimo l'equzione: = = = log = log Politecnico di Torino Pgin 6 di Dt ultim revisione //

7 8 > + + Risolvimo l disequzione in modo lgebrico. Osservzione: ricordimo che l disequzione esponenzile dell form ( ) ( ) f g > () equivle Possimo ricondurre l disequzione nell form () utilizzndo le proprietà delle potenze: ( ) ( ) ( ) < ( ) f > g se > f g se < <. + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > > > + > + < Un volt ricondott l disequzione nell form (), osservimo che occorre cmbire il verso qundo si pss ll disuguglinze tr gli esponenti in qunto l bse dell'esponenzile è minore di. 7 Politecnico di Torino Pgin 7 di Dt ultim revisione //

8 7. Risolvere le seguenti equzioni logritmiche: log ( ) 6 = Affinché esist il logritmo l primo membro deve essere 6 > ( ) ( + ) Applicndo l definizione di logritmo ottenimo: ( ) log 6 = 6 = = ± entrmbe le soluzioni sono ccettbili perché comprese nell'insieme di esistenz.,,. log = Affinché esist il logritmo primo membro dobbimo imporre che,, +. mggiore di zero e divers d ), vle dire ( ) ( ) > e (l bse del logritmo è un quntità Applicndo l definizione di logritmo, si h: ( ) log = = = = < = + > L condizione di esistenz è verifict solmente dll soluzione = +. Politecnico di Torino Pgin 8 di Dt ultim revisione //

9 8. Risolvere le seguenti disequzioni logritmiche: ( + ) log > L condizione di esistenz del logritmo primo membro è >-. Si trtt di determinre gli intervlli in cui il grfico dell funzione y = ( + ) log si svolge l di sopr del grfico di y = y=log_/(+) y=- punto di intersezione soluzione L soluzione dell disequzione è ( ) è l soluzione dell equzione log ) ( + = = 8,, dove Politecnico di Torino Pgin 9 di Dt ultim revisione //

10 log ( ) > log ( ) Osservzione: ricordimo che l disequzione logritmic dell form log f ( ) log g( ) > equivle f se > g f f se < < g f ( ) > ( ) > ( ) > g( ) ( ) > ( ) > ( ) < g( ). Nel nostro cso, essendo l bse =/ <, si h: > >, < ( ) Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione //

11 log ( ) > - soluzione lgebric > > >, + log( ) > log( ) > log > - soluzione grfic L condizione di esistenz è >/.Trccimo i grfici delle funzioni y = ( ) log e y = : 8 6 y= log_(-) y= punto di intersezione soluzione y = log = log si può ottenere dl grfico di y = log pplicndo l trsformzione: Il grfico di ( ) δ,, y = log τ y = log y = log L soluzione dell disequzione è (,+ ), dove è l soluzione dell'equzione ( ) log = = Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione //

12 ln ln L condizione di esistenz è > Possimo ricondurci d un disequzione di secondo grdo medinte l sostituzione ln = t : t t t. Risolvimo l disequzione ln in modo grfico: y=log() y=- y= punti di intersezione soluzione Il grfico di y = ln è compreso tr le rette y=- e y=,. per [ ] Abbimo - : ln = = e : ln = = e Politecnico di Torino Pgin di Dt ultim revisione //