ESPONENZIALI LOGARITMI

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1 ESPONENZIALI LOGARITMI Prerequisiti: Conoscere e sper operre con potenze con esponente nturle e rzionle. Conoscere e sper pplicre le proprietà delle potenze. Sper risolvere equzioni e disequzioni. Sper risolvere sistei di equzioni e disequzioni. Conoscere le funzioni e le loro proprietà. Sper disegnre grfici sul pino crtesino. Oiettivi: Conoscere l funzione esponenzile e sper disegnre grfici di funzioni esponenzili. Risolvere equzioni e disequzioni esponenzili. Conoscere il significto di logrito e le proprietà dei logriti. Conoscere l funzione logritic e sper disegnre grfici di funzioni logritiche. Risolvere equzioni e disequzioni logritiche. CONTENUTI ESERCIZI Ricord: L potenz è definit : se > 0 per ogni R se = 0 solo per R + ( 0 0 è privo di significto ) se < 0 solo per Z ( interi reltivi ) Le potenze esponente rzionle di nueri negtivi non si possono definire. Le potenze con esponente rele si possono definire solo per > 0 e e si scrive =. N.B. Poiché l se è sepre positiv il vlore dell potenz è sepre positivo nche qundo l esponente ssue vlori negtivi. ( Es. = > 0 ) Anche per le potenze d esponente rele vlgono tutte le proprietà delle potenze d esponente rzionle. = + : = ( ) = = ( ) : = ( : ) Esercizi: Applicndo le proprietà delle potenze seplific le seguenti espressioni trsforndole in potenze di un unic se. ) = ) =

2 Ricord: Si chi funzione esponenzile = con >0 ( R + ) Il grfico che rppresent l funzione si dice curv esponenzile. > 0<< 0 0 Doinio : R Codoinio : R + Doinio : R Codoinio : R + li = + li = 0 li = 0 li = Funzione sepre crescente Funzione sepre decrescente Qulunque si l se > 0 il grfico pss sepre per il punto ( 0 ; ) poiché 0 =. Se = l funzione = h vlore per qulunque vlore dell. Il grfico è un rett prllel ll sse delle scisse e pssnte per il punto ( 0 ; ). In sintesi : qulunque si il vlore dell se il grfico dell funzione esponenzile : St tutto sopr l sse delle scisse Non intersec i l sse delle scisse Intersec sepre l sse delle ordinte nel punto ( 0 ; ) Esercizi: Rppresent sul pino crtesino le seguenti funzioni : ) = ) = 5

3 Ricord: Il logrito in se di un nuero è l esponente c d dre ll se per ottenere l rgoento. log = c c = > 0,, > 0 Se l se del logrito è 0 il logrito si dice decile e si scrive Log Se l se del logrito è il nuero trscendente e il logrito si dice nturle e si scrive ln (log ) Coplet pplicndo l definizione di logrito ) log = = ) log 8 = 4 = c) log5 = = Proprietà dei logriti : ( ) log c d = log + log c + log d log log log c = c log = c log c n n log = log = log n logc log = ( Forul del ciento di se ) logc ) Applic le proprietà dei logriti in odo d ottenere un so lgeric c Log = 5 ) Applic le proprietà dei logriti in odo d ottenere il logrito di un unic espressione Log ( ) + Log ( ) Log ( + ) =

4 Ricord: Si chi Funzione logritic = log con >0 ; L rgoento del logrito deve essere sepre positivo Il grfico che rppresent l funzione logritic si dice curv logritic > 0<< 0 0 Doinio : R + Codoinio : R Doinio : R + Codoinio : R li log = + li log = Funzione sepre crescente li log = li log = Funzione sepre decrescente Rppresent sul pino crtesino le seguenti funzioni : ) = log ) = log

5 EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE Ricord: Un equzione esponenzile è un equzione in cui l incognit copre ll esponente. ) Risolvi le seguenti equzioni esponenzili eleentri i cui eri sono riconduciili due potenze con l stess se. ) = ) 7 = c) = d) = ) Risolvi le seguenti equzioni esponenzili eleentri in cui copiono soe lgeriche e che sono riconduciili d un equzione esponenzile eleentre edinte fttorizzzione. ) ) c) = = = ) Risolvi le seguenti equzioni esponenzili eleentri i cui eri sono riconduciili due potenze con si diverse utilizzndo le proprietà dei logriti. ) 8 + = ) = ) Risolvi le seguenti equzioni esponenzili non eleentri riconduciili un equzione di secondo grdo con un sostituzione del tipo =. ) 8 = 0 ) = 0 c) = 0

6 Ricord: Un equzione logritic è un equzione in cui l incognit copre nell rgoento di un logrito. N.B. Un logrito esiste se e solo se il suo rgoento è ggiore di zero. ) Clcol il C.E. delle seguenti espressioni iponendo che gli rgoenti di tutti i logriti sino conteporneente positivi. ) L og + L og( ) + L og( + ) ) ln ( ) + ln ( 4 ) ) Risolvi le seguenti equzioni logritiche eleentri riconduciili ll uguglinz tr due logriti nell stess se. ) Log = Log ( 0) ) ln 4 + ln = ln ( + ) c) Log ( ) Log ( ) + + = 0 Ricord : log f ( ) = f ( ) = Risolvi le seguenti equzioni logritiche tenendo conto dell relzione precedente ) log ( + 5) = 0 ) Log ( ) Log ( ) =

7 Ricord : DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE Si dice disequzione esponenzile un disequzione un cui l incognit copre ll esponente. Si dice disequzione logritic un disequzione in cui l incognit copre nell rgoento di un logrito. ( ) B( ) A > Per > A( ) > B( ) < < A( ) B( ) Per 0 < inverto il segno di disuguglinz > Per > 0 log > log Per 0 indeterint < Per > 0 log < log Per 0 ipossiile log A( ) log B ( ) > Per > Per 0 < < ( ) > B( ) A > B > A ( ) < B ( ) A > B > A Inverto il segno di disuguglinz log A( ) > Per A > > ( ) Per 0 A < inverto il segno di disuguglinz < < ( ) ) ) 4 c) + > e) 5 < 0 > 7 f) log ( ) > log ( + 4) < g) Log ( ) > h) ( ) d) + 98 > log > 0