ESPONENZIALI E LOGARITMI

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1 ESPONENZIALI E LOGARITMI 1

2 se 0, per ogni R ; Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >0: Sono definite: se >0: Non sono definite:

3 Csi prticolri: Le proprietà delle potenze definite per esponenti interi vlgono nche per esponenti reli: 3

4 Funzione esponenzile Si chim funzione esponenzile ogni funzione del tipo: Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttribuire è tutto R ; il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R+ (l funzione esponenzile è sempre strettmente positiv) 4

5 Si distinguono tre csi: >1 funzione crescente: =1 funzione costnte: 0<<1 funzione decrescente: 5

6 I seguenti grfici illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi : = = = 1 = < < 1 ; > 1 ; > 1 ; > 6

7 EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMI Un'equzione esponenzile del tipo può essere impossibile, indetermint o determint : Impossibile se: Indetermint se: Determint se: 7

8 Si chim ritmo in bse di b l'unic soluzione dell'equzione esponenzile elementre nel cso determinto, cioè l'esponente d ssegnre ll bse per ottenere il numero b = b = bse dell eponenzile e del ritmo = b 8

9 Supponimo di dover risolvere un'equzione esponenzile: b se e b si scrivono come potenze (rzionli) dell stess bse, si eguglino gli esponenti : 8 3 3; se e b non si scrivono come potenze (rzionli) dell stess bse, le soluzioni si scrivono sotto form di ritmi : 3 3 Il ritmo risult essere l'operzione invers dell'esponenzile, pertnto le limitzioni cui è soggetto l'esponenzile si riflettono sul ritmo: fisst l bse >0, deve essere b>0, inoltre vlgono i csi prticolri: 1 0, poichè 0 1; 1, poichè 1 9

10 Anmente, lle proprietà degli esponenzili precedentemente elencte corrispondono le seguenti proprietà dei ritmi: 1) ) 3) 4) b c c b ( R ( R ( R ; ; ; R, 0) ; R R, 0);, 0) ; (, b, c 0); formul di cmbimento di bse nei ritmi I ritmi che compiono sulle clcoltrici sono in bse 10 oppure in bse e,718 Log indic il 10, detto nche ritmo decimle; ln e, indic il, detto nche ritmo nturle o neperino

11 Funzione ritmic Si chim funzione ritmic ogni funzione del tipo :, con 0 e 1 fissto, R L funzione ritmic è l'invers dell'esponenzile, pertnto dominio e codominio risultno scmbiti rispetto quelli dell funzione esponenzile Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttribuire è R + ; il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R Si distinguono due csi: 1 : funzione crescente : ; 0 1 : funzione decrescente : ;

12 I grfici dell funzione ritmic si ottengono d quelli dell funzione esponenzile per simmetri rispetto ll bisettrice del I e III qudrnte : Essi illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi : = = 0 1 = 0 < < 1 ; > 1 ; > 1 ; >

13 EQUAZIONI LOGARITMICHE Un'equzione si dice ritmic qundo l'incognit compre soltnto nell'rgomento di uno o più ritmi L'equzione ritmic più semplice (elementre) è del tipo : b, con 0 e b R ; 0 è l' incognitdell' equzione L su soluzione, per qunto detto proposito dell'equzione esponenzile, è : A B b Per risolvere un'equzione ritmic conviene: 1(qundo è possibile) trsformre l'equzione dt in un equivlente del tipo, pplicndo le proprietà dei ritmi ; determinre le soluzioni dell'equzione A B 3 eseguire il controllo medinte verific dirett dei vlori di clcolti l punto ; 4 in lterntiv l punto 3, ssocire ll'equzione di cui l punto tutte le condizioni di esistenz sui ritmi (ricordimo che un ritmo è definito soltnto per vlori positivi del suo rgomento), per selezionre le soluzioni ccettbili

14 Esempi 1Risolvimo l'equzione: Osservimo che: 1 e 1 Quindi è possibile trsformre l'equzione ssegnt nell'equzione: L soluzione dell'equzione dt è quindi 3

15 Risolvimol'equzione: Possimo trsformre l'equzione eseguendo il ritmo (in un bse qulsisi, per esempio in bse 10) del primo e del secondo membro: Applichimo l proprietà 1) dei ritmi: Applichimo l proprietà ) dei ritmi: Isolndo ottenimo: In lterntiv potevmo isolre 3 Log 5 3 Log7 Log5 Log3 Log7 Log5 Log3 Log ottenimo: 7 Log7 Log5 Log3, ottenendo: 3 Prendendo il ritmo in bse 3 di entrmbi i membri si h: Utilizzndo l formul di cmbimento di bse 4) si riottiene (*) 7 5 (*)