ESPONENZIALI E LOGARITMI

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1 ESPONENZIALI E LOGARITMI ) COSA SIGNIFICANO GLI ESPONENTI IRRAZIONALI pg. ) LA FUNZIONE ESPONENZIALE 5 ) LOGARITMI 8 ) LA FUNZIONE LOGARITMICA 9 5) I LOGARITMI: QUESTIONI DI STORIA E DI SIMBOLOGIA 6) PROPRIETA DEI LOGARITMI 7) EQUAZIONI ESPONENZIALI 8) DISEQUAZIONI ESPONENZIALI 5 9) EQUAZIONI LOGARITMICHE 6 0) DISEQUAZIONI LOGARITMICHE 8 ) ESERCIZI 0 D Esponenzili e logriti, di Gincrlo Zilio, è distribuito con licenz Cretive Coons Attribuzione - Non coercile - Non opere derivte.0 Internzionle

2 ESPONENZIALI E LOGARITMI ) COSA SIGNIFICANO GLI ESPONENTI IRRAZIONALI Ripsso delle potenze d esponente intero reltivo n def n fttori def = def 0 0 = con 0: 0 è considert operzione "indeterint" =... ( n =,,,5,... ossi n, n ) ( ) def n n n = = ( n * = {0}, 0) Ripsso delle potenze d ESPONENTE FRAZIONARIO Esponente frzionrio positivo: def n n =, n * = {0}, ossi ; 0. + n divent esponente n divent indice n = Esepi: = ; b6 6 = b ; ( + y) = ( + y) = ( + y) + y 6 = 6 = ; 7 = 7 =, ; Esponente frzionrio negtivo: n Esepi: def = = n, n * = {0}, ossi ; > 0 n n = = = = = ; ( + ) = = = = + ( ) ( + ) OSSERVAZIONE n, n = = = ; Le scritture vengono utilizzte, o leno dovrebbero essere utilizzte (qulche testo inftti f eccezione), soltnto con un BASE POSITIVA. Inftti, pplicndole con bse negtiv, potrebbero verificrsi fstidiose biguità: d esepio, ( 8) = 8 = ( 8) = ( 8) = 6 =+!!!

3 CONSERVAZIONE DELLE PROPRIETA Si può diostrre che le potenze d esponente frzionrio continuno godere di tutte le proprietà già diostrte suo tepo per gli esponenti interi. Dunque: Con r, s ( rzionli reltivi): ) ) ) ( ) ) ( b) = b 5) r s r+ s = r s r s r r s rs r r r r r r r r 6) b = ( b) ( invers dell ) r = = = b b r 7) = ( invers dell 5) r b b A titolo di esepio, diostrio solente l ) e l ), nel cso prticolre di esponenti entrbi positivi r, s * + = + { 0} : ( ) p r s n q p nq q nq np nq n q q np = = = = q+ np nq q+ np nq = = = q n + p nq nq p + n q = = r+ s = p p p p s q q p r n n q n p nq p nq n q ( ) ( n ) ( ) q ( ) = = = = = = = = r s Nel prossio prgrfo introdurreo le potenze con esponente irrzionle; dopodiché, potreo prlre di potenze con esponente in. Bene, si potrebbe diostrre che le 7 proprietà sopr riportte vlgono per qulsisi coppi di esponenti REALI r, s.

4 Potenze d ESPONENTE IRRAZIONALE =? =,... Approssizioni RAZIONALI per DIFETTO di : ed elevndo l bse questi esponenti rzionli, che sono inferiori, si ottiene: Approssizioni RAZIONALI per ECCESSO di : ed elevndo l bse questi esponenti rzionli, che sono ggiori di, si ottiene:,,,,... =, 0 0 = = =,655..., = = =,706..., = = =,77..., = = =, ,5,,5,... = 9 5, = = = 5,96..., = = =, , = = =,7..., = = =,79... Se si continussero i clcoli, segnndo su di un nuber line i punti corrispondenti i nueri che si ottengono coe risultto, si otterrebbero sull rett nueric due figlie di punti: un figli ross, quell dei punti ssociti i nueri dell for r, con r, r <, e un figli blu, quell dei punti ssociti i nueri dell for s, con s, s > I punti rossi si trovno tutti sinistr dei punti blu ; d ltr prte il brnco dei rossi si vvicin l brnco dei blu, tnto d sfiorrlo. Si cpisce che dovrà esistere uno e un solo nuero rele che f d eleento seprtore fr l figli ross e l figli blu. A tle nuero rele noi ssegnio, per definizione, l onore di essere il risultto dell operzione. Rissuendo: è, per definizione, quel nuero rele il qule h l proprietà di essere: ggiore di tutti i nueri dell for r, essendo r un pprossizione RAZIONALE per DIFETTO di e inore di tutti i nueri dell for s, essendo s un pprossizione RAZIONALE per ECCESSO di NOTA: il ftto che tle nuero rele esist e si unico è intuitivo, è nche diostrbile rigorosente. Si trtt però di fr riferiento un definizione teticente ben fondt di nuero rele, che v l di là dei liiti del presente corso.

5 ) LA FUNZIONE ESPONENZIALE In questo prgrfo studiereo l funzione esponenzile 5 y = ( è l vribile indipendente, entre indic un nuero fissto: es. y = ). E iportnte tener presente che l bse fiss v sepre pres strettente positiv ( >0). Inftti, con < 0 succederebbero dei grossi psticci e precisente: biguità nel vlore di y : d esepio, ( 8) = 8 = funzione dl grfico tutto bucherellto : d esepio, se si volesse considerre y = ( ), ccdrebbe che dndo il vlore / si vrebbe regolrente entre con = / l funzione non esisterebbe! ( 8) = ( 8) = 6 =+ y = ( ) = = = y = ( ) = IMPOSSIBILE ( in ) Tutto soto, potreo nche ettere il cso = 0 ; tuttvi, ci ritrovereo con l funzione y = 0 che srebbe ssi poco interessnte (e, inoltre, si discosterebbe rdiclente d tutte le ltre funzioni dell figli ). y = 0 Con 0 l funzione non è definit; con > 0 si h y = 0. Il grfico è un seirett pert ( = privt dell origine) Inoltre, escludereo pure il cso =, nch esso poco interessnte e tipico. y = In definitiv, qundo considerereo l funzione esponenzile o eglio l figli delle funzioni esponenzili supporreo sepre > 0,. y =, y =, Il grfico cbi copletente second che si > oppure 0< <. Freo esperienz di questo ftto ndndo trccire innnzitutto i grfici delle due funzioni: y = e y =

6 6 Grfico di y = Tutte le funzioni esponenzili y = con bse > hnno un grfico che ssoigli, qulittivente, quello ottenuto nel cso = Grfico di y = Tutte le funzioni esponenzili y = con bse 0< < hnno un grfico che ssoigli, qulittivente, quello ottenuto nel cso = /

7 7 GENERALIZZAZIONE E SCHEMA RIASSUNTIVO Doinio: = (, + ) y = con > Codoinio: * ( 0, ) + = + L funzione è strettente crescente su tutto : st, s< t <, con> L funzione è strettente positiv su tutto : s t Doinio: = (, + ) y = con 0< < Codoinio: * ( 0, ) + = + L funzione è strettente decrescente su tutto : st, s< t >, con0< < L funzione è strettente positiv su tutto : s t > 0 > 0 li =+, con > + li = 0, con > + li = 0, con 0 < < + li =+, con 0 < < + Osservio infine, in vist del successivo cpitolo sui logriti, che l equzione = q è IMPOSSIBILE se q 0 DOTATA DI E SOLA SOLUZIONE se q > 0

8 ) LOGARITMI 8 L scrittur log b ( > 0,, b> 0) si legge logrito in bse di b e indic l esponente che occorre dre l nuero, preso coe bse, se si vuole ottenere coe risultto b. si dice bse del logrito; b si dice rgoento del logrito. In sintesi: def. c log b= c = b Esepi (dl 5 in vnti, i risultti sono fondo pgin pri di ndrli vedere, prov tu deterinrli!) ) log 8 = ) log 8 = ) log8 = ) log 0 =,... 5) log 8 = 6) log8 = 7) log8 = 8) log = 9) log = 0) log = ) log = ) log ( ) = ) log 0 = ) log 8 = 5) log 5 5 = Dti il logrito ( = il vlore del logrito) e l bse, deterinre l rgoento log = 5; =? Per esercizi di questo tipo è sufficiente ricordre l fondentle definizione c log b = c = b ossi tener presente l definizione stess di logrito: il logrito è l esponente che occorre dre ll bse per ottenere l rgoento. Nel nostro cso l esponente che occorre dre ll bse se si vuole ottenere l rgoento è 5, quindi, olto sepliceente, si h 5 5 =, = = Dti il logrito e l rgoento, deterinre l bse log 9 = ; =? In generle, esercizi di questo tipo si possono ricondurre d un equzione dell for α = β (nel nostro esepio, l equzione è = 9 ). E un odo per risolvere un equzione di quest for è di elevre si il prio che il secondo ebro ll esponente /α : α α α α α ( ) = β; = β ; = β Riprendio l esepio = 9 : qul è il nuero che elevto ll esponente dà coe risultto 9? Beh, in questo cso lo si trov fcilente per tenttivi ( cpovolgo un nuero e lo elevo l qudrto devo ottenere 9 coe risultto llor il nuero è /!); ltrienti: ( ) = 9; = 9 ; = 9 = = = 9 9 RISULTATI DEI LOGARITMI DAL 5) AL 5): 5) 6) 7) 8) 9) 0 0) ) 0, ) ipossibile ) ipossibile ) 5)

9 ) LA FUNZIONE LOGARITMICA 9 In questo prgrfo studiereo l funzione logritic y = log ( è l vribile indipendente, entre indic un nuero fissto). E iportnte tener presente che l bse fiss v sepre pres strettente positiv e divers d ( > 0, ). L funzione y = log è definit solo con > 0 ; inftti il logrito di un nuero negtivo non esiste. l doinio dell funzione logritic è perciò * ( 0, ) I + = + Coe per l funzione esponenzile, il grfico è nettente diverso nei due csi: ; Grfico di y = log Grfico di y = log > 0< < Il grfico di y = log è il sietrico, rispetto ll sse orizzontle, del grfico di y = log. Inftti: y y y = log = = y = log y = log quindi log = log

10 0 GENERALIZZAZIONE E SCHEMA RIASSUNTIVO y = log con > Doinio: * + = ( 0, + ) Codoinio: = (, + ) L funzione è strettente crescente su tutto : st, s< t log s< log t, con> y = log con 0 < < Doinio: * + = ( 0, + ) Codoinio: = (, + ) L funzione è strettente decrescente su tutto : st, s< t log s> log t, con0< < li + li 0+ =+ = li + li 0+ = = + Un ulti osservzione: i grfici delle due funzioni y =, y = log sono sietrici l uno dell ltro, rispetto ll bisettrice del e qudrnte. Ciò si deve l ftto che un funzione esponenzile, e l funzione logritic nell stess bse, sono FUNZIONI INVERSE L UNA DELL ALTRA. Inftti: y = f( ) = Invertio : = y; = log y Quindi = f ( y) = log y e, se si scbino i noi delle vribili, y = f ( ) = log M è noto che il grfico di un funzione, e quello dell su invers vribili scbite, Sono ppunto sietrici l uno dell ltro, rispetto ll bisettrice del e qudrnte.

11 5) I LOGARITMI: QUESTIONI DI STORIA E DI SIMBOLOGIA I logriti sono stti studiti per l pri volt intorno l 600, e l loro scopert si deve tre scienziti: ) Npier, scozzese (il noe è spesso itlinizzto in Nepéro). Egli si occupò dei logriti che l giorno d oggi sono chiti neperini, o nturli. Si trtt dei logriti l cui bse è un prticolre nuero irrzionle indicto con e. Il nuero e vle circ.7: e = E un specie di nuero principe dell tetic, un po coe π. Esso si incontr nelle situzioni più disprte: dgli interessi finnziri lle disintegrzioni nucleri. n Si trtt del vlore cui si vvicin l quntità + n, qundo n tende infinito: e = li + n n ) Briggs, inglese. Introdusse i logriti in bse 0. Lvorò indipendenteente d Nepéro, i due ebbero odo di confrontre le rispettive ricerche. ) Burgi, svizzero. ALCUNE QUESTIONI DI SIMBOLOGIA (MAMMA MIA, CHE PASTICCIO! ) Di nor si utilizz l sibologi seguente: log oppure Log o lg per indicre log0 (logrito in bse 0); ln per indicre loge (logrito nturle di, l cui bse è il nuero di Nepéro e.7 ) Tuttvi, osservio che: certi testi utilizzno il sibolo log col significto di ln ; è possibile usre per brevità, l posto del sibolo log, sepliceente il sibololog, qundo l prticolre bse è ininfluente sul procediento, oppure qundo l bse utilizzt è evidentissi dl contesto e quindi può essere sottintes. LA NOSTRA SCELTA: con Log indichereo il logrito in bse 0, con ln quello nturle o neperino, inso: in bse e.7 con log un generico logrito, nei csi in cui si ininfluente l bse. UTILITA STORICA DEI LOGARITMI; LORO IMPORTANZA SCIENTIFICA OGGI I logriti ebbero il erito di rendere estreente più veloci i clcoli degli stronoi, per l possibilità di ricondurre (in virtù delle proprietà che, per otivi di ipginzione, sono introdotte lle due pgine successive) le oltipliczioni e divisioni soe e sottrzioni, e le estrzioni di rdice ll divisione per un intero; il tutto trite l consultzione di pposite tbelle copilte un volt per tutte d lvortori del clcolo.,7 5,5 7, Ad esepio, di fronte ll necessità di eseguire il clcolo =,,6 l stronoo del ' 600 operv sostnzilente nel odo seguente:,7 5,5 7, Log = Log ;,6 Log,7+ Log 5,5 + Log 7, Log,6 = Log A questo punto lo studioso ndv consultre le sue tbelle logritiche e clcolv il vlore del ebro, eseguendo esclusivente ddizioni, sottrzioni e un divisione per, operzioni più seplici di oltipliczioni, divisioni, estrzioni di rdice, in un epoc in cui non esistevno né cchinette clcoltrici né coputer (NOTA). Questo clcolo perettev di deterinre il vlore di Log e di qui si potev poi rislire trite un specie di consultzione ritroso delle tbelle ( = pssggio ll ntilogrito ) NOTA: dire il vero, le tbelle logritiche disposizione del nostro stronoo contenevno soltnto i vlori dei logriti dei nueri interi d fino d un certo vlore ssio, lo scienzito 7 se l cvv ugulente: Log,7 = Log = Log 7 Log00 = Log 7 00 A prte l loro iportnz storic per qunto rigurd l effettuzione dei clcoli in tepi non tecnologici, i logriti entrno tutt oggi in un vstissi serie di questioni tetiche e scientifiche. Hi probbilente già ppreso che in Acustic per isurre l intensità sonor si utilizz (dto l enore cpo di vribilità delle intensità udibili) un scl logritic. Forse hi già potuto consttre l rilevnz dei logriti in terodinic. M sono solo due esepi: è dvvero sconfinto l utilizzo dei logriti nell tetic si pur che pplict. n

12 6) PROPRIETA DEI LOGARITMI ) Il logrito del prodotto di due (o più) nueri positivi è ugule ll so dei logriti dei singoli fttori: log ( n) = log + log n (, n > 0) Esepio: log (8 9) = log8+ log Diostrzione log = = y log n= y = n y + y log ( n) = log ( ) = log ( ) = + y = log+ logn OSSERVAZIONE: se il prodotto n è positivo, ed n sono entrbi negtivi, llor l forul scritt perde l su vlidità. Tuttvi, in questo cso (e nche nel cso in cui si sppi che n> 0, non si conoscno i segni di ed n), vle l vrinte seguente: ) log ( n) = log + log n ) Il logrito del quoziente di due nueri positivi è ugule ll differenz dei logriti del dividendo e del divisore: log log log n (, n 0) n = > Se non è detto che ed n sino entrbi positivi, si s che 0 n >, l forul d pplicre è ) log log log n n = L diostrzione dell ), nlog quell dell precedente ), è lscit l lettore. Esepio: log log log6 log 6 = = ) Il logrito di un potenz (con bse positiv) è ugule l prodotto dell esponente per il logrito dell bse: log b = log b ( b> 0) Esepio: log 8 = log8 8 ( ) = 8 Diostrzione log b= = b Se b log b = log ( ) = log = = log b è positivo b è negtivo o di segno sconosciuto o iprecisto, vle l forul: ) log b = log b Conseguenz dell proprietà ) è l seguente: n log b *) log log n b = b = logb= n n

13 ) log = (segue ieditente dll definizione di logrito) 5) log b = b (segue ieditente dll definizione di logrito) 6) log b= log c log b 7 ) c Diostrzione log c = = c logc b= y y c = b log b= log y c = y log c = log b log c = log c log c CONSEGUENZE dell 6) Nel cso prticolre b = l 6) fornisce: 6 ) log c = log c c b log = logc log = log c log c c, d cui ovvero: scbindo l bse con l rgoento il logrito si ut nel reciproco; o nche: i due nueri log c e lo g c sono reciproci l uno dell ltro. Un ltr conseguenz notevole di 6) è l cosiddett forul per il cbiento di bse : 6 ) log c log b b = FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE log c log Esepio: log 7 = = = se si vuol pssre log i logriti in bse 0, perchè l cchinett clcoltrice li fornisce log log c c = ( il logrito del reciproco è l opposto del logrito ) Quest ulti forul può essere vist coe conseguenz dell ): log log logc 0 logc log c = = = c oppure, se si preferisce, coe conseguenz dell ): log = logc = logc = log c c 7 ) log c = log c ( il logrito con bse reciproc è l opposto del logrito ) 7 ) log Diostrzione: log c = = c; = c; = log c; = logc log c c = log = log = log = logc c (7'') c (7') Diostrzione: ( c) ESERCIZI. Diostr che vlgono le seguenti uguglinze: ) log0 log5 = b) log5 + log5 log5 = log56 c) log5 + log50 = log5 log5 + log d) Log ln 8 = = e) log8 + log0,5 = f) log log800 log00 8 = + log log 8 Log8 ln 8

14 7) EQUAZIONI ESPONENZIALI (nelle quli, cioè, l incognit copre leno un volt d esponente) A volte l loro risoluzione è eleentre, coe negli esepi che seguono: 5 = 5 5 = 5 = ( ) 6 = 6 = = = = = = = = = + = = = 8 In csi eno bnli, si può pssre i logriti, nell stess bse, di entrbi i ebri. Esepi: = 5 Possio risolverl: sepliceente ricordndo l definizione di logrito: 5 = signific che è l esponente d dre ll bse 5 per ottenere coe risultto, quindi, l definizione di logrito, = log pplicndo d bo i ebri il logrito in bse 5: 5 = ; log5 5 = log5 ; = log o nche pplicndo d bo i ebri un qulsivogli logrito, non iport qule si l su bse: log 5 = ; log5 = log; log5 = log; =. log5 Ad esepio, se il logrito pplicto è quello nturle, in bse e, vreo in questo odo: ln = ; ln 5 = ln ; ln 5 = ln ; = ln5.609 = log ( ) = log ( essendo log il logrito ) in un bse rbitrri log = ( ) log log = log log log log = log log log = log ( log log ) = log log = Ad es., se l bse del logrito è il nu. di Nepéro e, l ' espressione divent ln/( ln ln).7095; log log se l bse del logrito è0, divent Log /( Log Log ) = 8 + = 8 + = 8 5 = = log = log ; = log = log6 log5= log oppure 6 6 log6 log 5 essendo log il logrito = log = log ; log = log6 log 5; = 5 5 log in un bse rbitrri

15 e + 7e = 0 ( e ) 5 + 7e = 0 6 = 7± 9+ 7± 8 7± 9 8 ( e ) = = = =, = 8 e = ipossibile e = = ln = ln ln= 0 ln= ln= ln = ln ln = ln ln = ln; ln ln = ln; ln = ln; ln = ± ln; = e ± ln Gli ESERCIZI sulle equzioni esponenzili sono pgin 9 8) DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Nel risolverle, occorre tener presente che A VOLTE OCCORRE EFFETTUARE UN CAMBIAMENTO DI VERSO! Ciò vviene qundo vengono confrontti due esponenzili di ugul bse copres fr 0 e. Inftti, entre è si h invece s t < s < t, qundo >, vedi figur s t < s > t, qundo 0< < Se 0< <, l funzione y = è DECRESCENTE!!! < ; > ; > NOTA NOTA: cbiento di verso, perché l bse è <. e ( e ) e e < 0 = y e < 0 y y < 0; ( y+ )( y ) < 0 < y < < e < ATTENZIONE! Un'esponenzile NON può ssuere vlore negtivo!!! Quindi < e < è coe dire 0 < e < o nche e < d cui ln e < ln ossi < ln ; + + ; 6 ; oppure ; ; 6 ; 6 ; 5 5 NOTA NOTA: cbiento di verso, per il ftto che l bse 5 è < Gli ESERCIZI sulle disequzioni esponenzili sono pgin 9

16 9) EQUAZIONI LOGARITMICHE (nelle quli, cioè, l incognit copre leno un volt nell rgoento di un logrito) Se si riesce ricondurle un delle due fore log f ( ) = b oppure log f ( ) = log g( ) llor è ftt, perché b log f ( ) = b f ( ) = ( > 0) ; Di fronte d un equzione logritic OCCORRE SEMPRE PORRE LA CONDIZIONE DI ESISTENZA DI CIASCUNO DEI LOGARITMI COINVOLTI, ossi l condizione di positività strett di ciscun rgoento. log ( 5) = 5= perché log b = c = b c 6 f( ) = g( ) log f ( ) = log g( ) f ( ) > 0 o, in lterntiv, g( ) > 0 oppure pplicndo d bo i ebri l funzione esponenzile in bse NOTA: in questo cso l condizione di esistenz del logrito 5> 0 si può benissio porre, per trnquillità, 5= 8; = 86; = log ( ) = log ( 5) ben gurdre è superflu perché è iplicit nell 5= log ( 5) = 5 : > 0; > COND. DI ESISTENZA : > 5 5 > 0; < 5 > 5 = 5; = 0; ( + )( 6) = 0; = non cc. = 6 log + 8 = log 8 C.E.: > 8 > 8 quindi > 8 ( ) ( ) Così: ( ) ( ) log + 8 log 8 = e or " neutrlizzereo" il logrito log = pplicndo l rispettiv funzione invers, 8 cioè l ' esponenzile nell stess bse log log (...) = + 8 = 9; + 8 = 9 7; 8 = 80; = 0 8 ln( ) + ln( ) ln( 5) = ln( 6) > CONDIZ. DI ESISTENZA : > > 6 > 5 > 6 ( )( ) ln = ln( 6) 5 ( )( ) = 6 5 oppure così: log( + 8) log9 = log( 8) + 8 log = log( 8) = = 9 7; 8 = 80; = 0 ln = logrito in bse e : è coe se fosse loge Log = logrito in bse 0 : è coe se fosse log log = logrito in un bse non specifict + = ( l condizione 5è già iplicit nell > 6) = 8 9 = non ccettbile, perché non soddisf ll > 6: quest equzione è IMPOSSIBILE 0

17 7 > 0 Log Log ( + ) = CONDIZIONI DI ESISTENZA : { > 0 > Log Log ( + ) = Log Log = + Log 0 + = 0 ( per " neutrlizzre" il logrito in bse 0, pplico l ' esponenzile nell stess bse!) = 0 +, Log ( + ) = = (, già counque iplicit nell > 0) 0 0 = 0 = 5± 5+ 0 = 5± 5 = 5 5 non ccettbile 5+ 5 ccettbile OPPURE: Log Log ( + ) = CONDIZIONI DI ESISTENZA: coe pri ( portno > 0) Log Log + = Log = + (...) 0 = 0 ( per " neutrlizzre" il logrito in bse 0, pplico l ' esponenzile nell stess bse!) = + 0 = 0+ 0 (, giàcounque iplicit nell > 0) = ( con l condizione 0 già iplicit nell > 0)... Stesse conclusioni di pri Log log00 + = Log + CONDIZIONI DI ESISTENZA : > 0 log0 log0 + = log0 ( + ) log000 [ forul per il cbiento di bse ] log0 log0 + = log0 ( + ); log0 log0 + = log0 ( + ); log0 + = log0 ( + ); log0 + log000 = log0 ( + ); log000 = log0 ( + ); 99 = ; = ln( ) = 0 CONDIZIONI DI ESISTENZA : < ln( ) = Applico d bo i ebri, per " neutrlizzre" il logrito nell bse e, l funzione invers ossi l ' esponenzile in bse e! ln( ) e = e ( ) = e ; + = e ; + e = 0; = ± + e = ± e e Gli ESERCIZI sulle equzioni logritiche sono pgin 9 = e e = + e e non cc.

18 0) DISEQUAZIONI LOGARITMICHE Nel risolverle, occorre tener presente che A VOLTE OCCORRE EFFETTUARE UN CAMBIAMENTO DI VERSO! Ciò vviene qundo vengono confrontti due logriti di ugul bse copres fr 0 e. 8 Inftti, entre è log s < log t s < t, qundo >, si h invece log s < log t s > t, qundo 0 < < (vedi figur qui sotto ) log ( 5) < 5 COND. DI ESIST.: 5> 0, > log( 5) < log 5< 8 < 86 < quindi, tenendo conto delle condizioni di esistenz, Se 0< <, l funzione y = log è DECRESCENTE!!! 5 < < Anche: NOTA log ( 5) ( 5) < < log ecceter 5 NOTA: pplicndo l funzione esponenzile in bse, essendo > il verso non cbi! > 0; > log0. ( ) > log0. ( 5) CONDIZ. DI ESISTENZA : > 5 5 > 0; < 5 > 5 NOTA < 5 NOTA : cbiento di verso, per il ftto che l bse 0. è < > 0 < > 6 e, tenendo conto delle ondizioni di esistenz, > 6 ln( 8) < 0 e (...) 0 < e CONDIZIONI DI ESISTENZA : 8 > 0 < > 8< ; 9< 0; 0 < < + 0 Mettio siste con le condizioni di esistenz: Le soluzioni di quest disequzione sono: 0 < < < < + 0 Log Log + > 0 C.E. > 0 Log = y y y+ > 0 y < y > Log < Log > ; 0 < < 0 > 00 Gli ESERCIZI sulle disequzioni logritiche sono pgin 9

19 9 ) ESERCIZI (soluzioni ll pgin successiv) A) EQUAZIONI ESPONENZIALI ) 0000 = 0 ) = ) ( 5 = ) ) = ) = 5 ( ) 6) e e7 = 5 8) = 5 9) =0 7) ( ) + + = 0 0) e+ e+ = 0 ) 0 0 = 0 ) e = e + 6 ) e + e = 0 ) e+ e+ = 5) + ( ) 5 = ) + = 7) Trite un grfico, stbilisci qunte sono e qunto vlgono pprossitivente le soluzioni dell equzione e = +. Successivente, servendoti di un softwre opportuno (d esepio GeoGebr), pprossine il vlore due cifre decili. B) EQUAZIONI LOGARITMICHE ( Log = bse 0; ln = bsee.7) 8) ( ) log = 5 9) log log ( ) 5 log + 5 = ) log ( 6) + log ( 5) = ) log ( ) log ( ) log5 + 0 = log5 ) log( + 7) = + log ( ) log 0.7 ( + ) 5) log 0.7 ( + ) = 0 6) log5( + 80) = + log5( 0) 7) log( 7+ ) + log + = 0 8) ln ( ) = 9) Log ( 5 ) + Log = Log 00 0) ln + ln8 = ln ) ln 5ln = 0 ) Log( ) + Log0 = Log( 8) + ) Log( ) + Log0 = Log( 8 ) + ) log( 50) log ( + 8) = 5) Log( 50) Log ( + 8) = 6) ln ( 50) ln ( + 8) = log log 7) log( ) + log( ) = log( + ) + 8) + log( + ) = log( ) 9) = log + 0) ln(ln ) = ) Log = Log ) log + log (5 7 ) = 0 ) Trite un grfico, stbilisci qunte sono e qunto vlgono pprossitivente le soluzioni dell equzione ln( ) =. Poi, con un softwre opportuno, pprossine il vlore due cifre decili. ( 0.) ( 0.) 5 + = 0) 8 ( ) = ) ( ) C) DISEQUAZIONI ESPONENZIALI ) + 7 < 5) ) + < 0 7) e + > 6 8) ( 0.) ( 0.) 5 0 9) > 0 50) ( ) ) e > 0. e ( ) e + 5) Trite un grfico, stbilisci qunte sono e qunto vlgono pprossitivente le soluzioni dell disequzione < +. Poi, con un softwre opportuno, precis l risoluzione. D) DISEQUAZIONI LOGARITMICHE log + > log + 5 log < 5 5) 5) ( ) ( ) ( ) 56) log0.5 ( ) < 57) log( ) log( ) < + 60) ln > ln 6) ( ) 59) Log Log( 0) 55) log ( ) > log ( + ) ) log log ( + ) 6) Trite un grfico, pprossi le soluzioni dell disequzione log < ( ). Poi, con un softwre opportuno, precis l risoluzione. log + log < 0

20 SOLUZIONI ) = ) = 6 ) = 5 ) 8 7 = 8 7+ ln 5) = = 6) = 0 = ln 7) =.09 8) = ; log ( ) = log ; ( )log = log ; log log = log ; (log + log) = log log log9 = = = log 9 dove log è il logrito in un bse qulsisi log + log log 9) ( ) + = = 9 = 9 = 0 = 0) ( ) ( ) + + ; ln + ln + ; ln ln + ln ln + ; ln 0 e = e e = e + e = + e + + = ln + + ; = ln ln log ) = Log = 0.60 log0 ) = ln ) iposs. ) = ln = ln ln e= ln e log 9 5) = = log5 6) = = 5 7).8.5 log5 8) = = 8 9) = 8 0) = ) = 7 ) = 0 ) = 5 ) = = 8 5) = 0 6) = 5 7) = 8) e = 9) ( ) = 0 0) ln + ln8 = ln ; ln 8 = ln ; 8 = ; = 0 non cc.; = oppure : ln + ln 8 = ln ; ln + ln 8 = ln + ln ; ln = ln ln 8; ln = ln ; = 5 ) = = e ) iposs. ) = 6 ) = 5) = 6) 8) = 9 9) ) = 0) = ) e = 7) = 8 50 e e ln(ln ) = ; ln = e ; = e ) = = 00 ) < 6 5) 6) < log 5 7) > ln 8) 9) 50) ( ) ; ; ; ; ( ) 5) > 5).69 < < 5) < < 5) < < 55) < < > 56) 9 57) < 58) 0< 59) 0< < 60) iposs. 6) 7 6) 0 < < α > β, conα.5, β. 7 > < < 8