F (r(t)), d dt r(t) dt

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1 Cmpi vettorili Un cmpo vettorile è un funzione vlori vettorili F : A R, con A R n, ove in questo cso l imensione el ominio e el coominio è l stess. F ( 1, 2,..., n ) (f 1 ( 1, 2,..., n ), f 2 ( 1, 2,..., n ),..., f n ( 1, 2,..., n )) e ciscun elle componenti è un funzione sclre f i : A R per i 1, 2,..., n. Consierimo un curv R n prmetrizzt, e si r : [, b] : t ( 1 (t), 2 (t),..., n (t)) con r C 1 ([, b]), l su prmetrizzzione. Come esempio si può pensre l cso n e r(t) come legge orri el moto i un punto mterile. Il lvoro infinitetsimo L compiuto F in un trtto infinitesimo l i un curv è pri l prootto sclre L F, l pertnto il lvoro lungo è l somm ei lvori infinitesimi, ovvero L F, l e inoltre risult l tr(t)t. Di conseguenz vle l seguente formul, consierre come efinizione i lvoro i F lungo L F, l Il vettore F (r(t)) h queste componenti mentre le componenti i tr(t) sono Quini il lvoro i F lungo vle b b F (r(t)), t r(t) t F (r(t)) (f 1 (r(t)), f 2 (r(t)),..., f n (r(t))) t ( 1(t), 2(t),..., n(t)) [f 1 (r(t)) 1(t) + f 2 (r(t)) 2(t) f n (r(t)) n(t)] t b n f k (r(t)) k(t)t Esempio: si consieri il cmpo vettorile F : R 2 : R 2 : (, y) ( y, ), clcolre il lvoro compiuto su, ove è l circonferenz i rggio unitrio percors in senso orrio. k1 1

2 Un possibile prmetrizzzione i può essere un funzione r : [, 2π] così efinit (t) cos(t) y(t) sin(t) t [, 2π] Dto che F (r(t)) ( sin(t), cos(t)) e che llor il lvoro richiesto vle L F, l 2π ( sin(t), cos(t)) t 2π ( sin(t), cos(t)), ( sin(t), cos(t)) t ( sin 2 (t) + cos 2 (t) ) 2π t t 2π Invertimo or il senso i percorrenz i, ovvero consierimo l prmetrizzzione r : [, 2π] cpsì efinit (t) cos( t) t [, 2π] y(t) sin( t) In questo cso F (r(t)) ( sin( t), cos( t)) Di conseguenz il lvoro lungo vle L 2π 2π (sin( t), cos( t)) t ( sin( t), cos( t)), (sin( t), cos( t)) t ( sin 2 ( t) + cos 2 ( t) ) t 2π t 2π In questo cso, cmbino il segno i percorrenz ell curv, il lvoro compiuto F h cmbito segno. Esempio: consierimo lo stesso cmpo vettorile ell esempio preceente e l stess curv, ovvero l circonferenz i rggio unitrio, percors in senso ntiorrio, m consierimo un ivers prmetrizzzione, ovvero r : [, π] così efinit (t) cos(2t) y(t) sin(2t) t [, π] In questo cso risult F (r(t)) ( sin(2t), cos(2t)) ( 2 sin(2t), 2 cos(2t)) t pertnto il lvoro i F lungo vle L π π ( sin(2t), cos(2t)), ( 2 sin(2t), 2 cos(2t)) t ( 2 sin 2 (2t) + 2 cos 2 (2t) ) π t 2t 2π 2

3 Cmbino l prmetrizzzione il risultto non cmbi. Quini il vlore i F, l non ipene ll prticolre prmetrizzzione scelt, m ipene l verso i percorrenz. Cso prticolre: si clcoli il lvoro i un cmpo vettorile F che è il griente i un funzione U : A R, con A R n F () U() ( U (), U (),..., U ) () 1 2 n Prenimo un quunque curv regolre A con prmetrizzzione r : [, b] A. Supponimo quini i vere l curv intermente contenut nel ominio i U. Il lvoro compiuto F lungo vle b L F, l U, l U (r(t)), t r(t) t Ricorno l Chin rule si not che U (r(t)), t r(t) t U (r(t)) Posto f(t) U (r(t)), con f : [, b] R, l integrle ivent b f(t)t f(b) f() U (r(b)) U (r()) t D questo risultto si può veere che il lvoro ipene solo i ue estremi, non ll curv seguit. Quini il lvoro i U ipene solo l punto inizile e l punto finle ell curv, m non l percorso ftto per pssre l primo punto l secono punto. In prticolre si euce che il lvoro el cmpo griente su un curv chius è zero. Teorem: si A R n un insieme connesso per rchi e si F : A R n un cmpo vettorile continuo F () (f 1 (), f 2 (),..., f n ()). Allor queste proprietà sono equivlenti (nel senso che se vle un vlgono utomticmente nche le ltre) 1. F è il griente i un funzione U C 1 (A) 2. il lvoro i F lungo ue qulsisi curve che hnno gli stessi estremi è ugule. il lvoro i F lungo un qulunque curv chius è zero Quno un cmpo F soisf un elle tre conizioni viene chimto cmpo conservtivo. In tl cso l funzione U i cui F è il griente si chim potenzile el cmpo F e, supponeno che P 1 e P 2 sino i ue estremi i un curv, il lvoro i F su, nel verso i percorrenz P 1 P 2 vle L F, l U(P 2 ) U(P 1 ) Se il lvoro su un line chius non è zero llor signific che il cmpo consierto non è conservtivo. A esempio, il cmpo consierto negli esempi preceenti non è conservtivo. Esempio: stbilire se il cmpo F : R 2 \ (, )} R 2, così efinito F 2 + y 2, y 2 + y 2

4 è conservtivo. Per prim cos cerchimo un funzione U tle che F U, ovvero tle che U (, y) 2 + y y 2 U y (, y) y 2 + y y ln ( 2 + y 2) + c(y) ove c(y) è un generic funzione i y. Anlogmente y 2 + y 2 y 1 2y y 2 y 1 2 ln ( 2 + y 2) + () Si not che sceglieno c(y) () le ue primitive sono uguli. Pertnto F è il griente i un funzione U così efinit U(, y) 1 2 ln ( 2 + y 2) Quini F è un cmpo conservtivo. Consierimo or il cmpo nlizzto negli esempi preceenti F (, y) ( y, ) e fccimo veere che non esiste un funzione U tle che F U. ( y) y + c(y) y y + () Non è possibile scegliere in nessun moo c(y) e () in moo che le ue primitive sino uguli. Quini in questo cso il cmpo vettorile F non è conservtivo. Consierimo un generico cmpo F R 2, A R 2, e supponimo che F si conservtivo, ovvero che esist un funzione U C 2 (A) tle che F U, ovvero ( U F (f 1, f 2 ), U ) y Se U è i clsse C 2 llor le erivte secone miste sono uguli per il Teorem i Schwrz, pertnto U U y y M U y f 2, e U f 1, ovvero f 2 y f 1 Quini, conizione necessri per l conservtività in ue imensioni, è che le erivte incrocite elle ue componenti el cmpo vettorile sino uguli. Se quest conizione non è soisftt il cmpo non è conservtivo. Esempio: to il cmpo F ( y, ), le erivte incrocite vlgono y 1 f 2 1 Dto che tli erivte sono iverse il cmpo non è conservtivo. Più in generle, se F (f 1, f 2,..., f n ) è un cmpo i clsse C 1 con U i clsse C 2, llor, per il Teorem i Schwrz conservtivo, e F U 2 U i 2 U j per ogni i, j 1, 2,..., n i j 4

5 i conseguenz, consierno che 1, 2,..., n, risult U k è l k esim componente el cmpo, per ogni k f i j f j i per ogni i, j 1, 2,..., n i j Quest è l conizione necessri per l conservtività nel cso generle. Nel cso n, to un cmpo F (, y, z) (f 1 (, y, z), f 2 (, y, z), f (, y, z)) l conizione necessri per l conservtività è y f 2 z f f 2 z f y Come mostr il seguente esempio, quest conizione è necessri m non sufficiente. Esempio: si consieri il cmpo vettorile F : R 2 \ (, )} R 2 così efinito y F (, y) 2 + y 2, 2 + y 2 e si ic se è un cmpo conservtivo. Veimo per prim cos se è soisftt l conizione necessri per l conservtività. y (, y) 2 y 2 ( y)(2y) ( 2 + y 2 ) 2 y2 2 ( 2 + y 2 ) 2 f 2 (, y) 2 + y 2 ()(2) ( 2 + y 2 ) 2 y2 2 ( 2 + y 2 ) 2 Dto che le erivte sono uguli il cmpo potrebbe essere conservtivo. Clcolimo il lvoro el cmpo lungo l circonferenz con centro nell origine e rggio unitrio, così prmetrizzt (t) cos(t) y(t) sin(t) t [, 2π] t (t) sin(t) y (t) cos(t) Quini il lvoro vle L F, l 2π 2π ( ) sin(t) sin 2 (t) + cos 2 (t), cos(t) sin 2, ( sin(t), cos(t)) t (t) + cos 2 (t) ( sin(t), cos(t)), ( sin(t), cos(t)) t 2π ( sin 2 (t) + cos 2 (t) ) t 2π t 2π Il lvoro compiuto su un percorso chiuso non è zero, quini questo cmpo non è conservtivo. Il ominio i questo cmpo è R 2 \ (, )}, quini c è un foro nell insieme. Definizione: un insieme A R n perto e connesso per rchi si ice semplicemente connesso se ogni curv chius entro A può essere eformt in moo continuo fino riurl un singolo punto senz mi uscire A. Nel cso i insiemi A R 2 questo equivle chieere che A non bbi fori. Si consierino gli insiemi rppresentti in Figur 1. 5

6 Figur 1: Rppresentzione grfic i quttro sottoinsiemi i R 2 Il primo e il terzo insieme sono semplicemente connessi, invece il secono e il qurto non sono semplicemente connessi, benché tutti e quttro sino connessi per rchi. Teorem: si F : A R n, con A R n, e supponimo che F C 1 (A). Se 1. A è semplicemente connesso 2. F soisf l conizione necessri per l conservtività llor F è un cmpo conservtivo. Esempio: clcolre il lvoro el cmpo vettorile F : R 2 R 2 così efinito F (, y) ( 2 y cos() + 2y sin() y 2 e, 2 sin() 2ye ) lungo l circonferenz con centro nell origine e rggio unitrio in senso ntiorrio. Consierimo l prmetrizzzione r : [, 2π] così efinit (t) cos(t) y(t) sin(t) t (t) sin(t) y (t) cos(t) Il lvoro richiesto vle 2π (cos 2 (t) sin(t) cos (cos(t)) + 2 cos(t) sin(t) sin (cos(t)) sin 2 (t)e cos(t), cos 2 (t) sin (cos(t)) 2 sin(t)e cos(t) ), ( sin(t), cos(t)) t Come si può veere quest str non è percorribile, perché l integrn è eccessivmente compless. Gurimo se il cmpo F è conservtivo. Il ominio i F è R 2, e è un insieme semplicemente connesso. Le erivte incrocite vlgono f 2 (, y) 2 sin() + 2 cos() 2ye y (, y) 2 cos() + 2 sin() 2ye Le ue erivte sono uguli, quini F è un cmpo conservtivo. Dto che è un percorso chiuso, il lvoro richiesto vle zero. Esempio: to un cmpo F : R 2 R 2, efinito come F (, y) ( 2 + y, y 2 + ) clcolrne il lvoro lungo l rco i prbol y 2 +1, con [, 1]. I punti estremi el percorso sono (, 1) e (1, 2). Viene richiesto i clcolre il lvoro spostnosi (, 1) verso (1, 2). 6

7 Per prim cos controllimo se il cmpo F è conservtivo. semplicemente connesso, le erivte incrocite vlgono Il ominio i F è un insieme y (, y) 1 f 2 (, y) 1 unque F è un cmpo conservtivo. Cerchimo or un potenzile U el cmpo. ( 2 + y ) + y + c(y) Uguglimo or i ue risultti (y 2 + ) y y + y + () L uguglinz è soisftt se e solo se quini il potenzile cercto è + y + c(y) y () U(, y) + y + () c(y) y + y + y Pertnto il lvoro richiesto vle L F, l U(1, 2) U(, 1) Esempio: come già mostrto in uno egli esempi preceenti, il cmpo F : R 2 \ (, )} R 2 F (, y) 2 + y 2, y 2 + y 2 è conservtivo, to che è il griente ell funzione U(, y) 1 2 ln ( 2 + y 2). Tuttvi il ominio i efinizione non è semplicemente connesso. D questo si cpisce che l conizione i semplice connessione el ominio è un conizione sufficiente m non necessri, inftti esistono cmpi conservtivi il cui ominio non è un insieme semplicemente connesso. Questo rticolo è stto relizzto grzie ll supervisione i Luc Lussri. 7