Esercizi sulle curve in forma parametrica

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1 Esercizi sulle curve in form prmetric Esercizio. L Elic Cilindric. Dt l curv di equzioni prmetriche: xt cos t yt sin t t 0 T ] > 0 b IR zt bt trovre: versore tngente normle binormle vettore curvtur rggio di curvtur cerchio oscultore. Ricordimo che dt l prmetrizzzione ft xt yt zt dell curv C si h: versore tngente Tt versore normle Nt dft dft dtt dtt versore binormle: Bt T N vettore curvtur : Kt rggio di curvtur: ρ K dtt dft é il rggio del cerchio oscultore centro del cerchio oscultore in x 0 C: cx 0 fx 0 + Nρ. Tornndo ll curv dt che é un elic cilindric trovimo i versori del triedro mobile: versore tngente: quindi: dft Versore normle: sin t cos t b T sin t + b cos t + b dft + b b. + b

2 quindi dtt cos t + b sin t + b 0 dtt + b Versore binormle Bt T N N cos t sin t 0. b sin t + b b cos t + b. + b Vettore curvtur: Kt dtt dft cos t + b + b cos t + b sin t + b 0. sin t + b 0 Rggio di curvtur ovvero reciproco del modulo del vettore ppen trovto: ρ +b. Per trovre il cerchio oscultore trovimo innnzitutto il pino oscultore ovvero il pino ortogonle l versore binormle e pssnte per il punto generico P 0 pprtenente ll curv. Il pino ortogonle B h equzione crtesin x + by + cz + d 0 dove i coefficienti b c sono le tre componenti di B : ottenimo infiniti pini poi imporremo l condizione di pssggio per un punto b sin t + b x b cos t + b y + + b z + d 0. Sceglimo un punto sull curv e clcolimo il pino oscultore e poi il cerchio oscultore in tle punto. Ad esempio si t π P 0 0 bπ. Per t π l equzione del pino oscultore divent Trovimo d : b + b x + + b z + d 0. bπ bπ + d 0 d + b + b. Sostituimo e semplichimo per ottenere l eq. del pino oscultore in P 0 : bx + z bπ 0. L equzione del cerchio oscultore si ottiene intersecndo il pino oscultore e un sfer vente come rggio il rggio di curvtur giá clcolto e centro d determinre. Trovimo il centro del cerchio:

3 cp 0 0 bπ + NP 0ρ 0 bπ b 0 0 +b bπ b 0. bπ L equzione del cerchio oscultore é: x + y + b + z bπ +b bx + z bπ 0 Esercizio. L Cicloide. Per descrivere l Cicloide si immgini un biciclett in movimento e si fissi un punto picere sul bordo di un delle due ruote: l curv descritt dll triettori di tle punto dett Cicloide. L circonferenz dell ruot dett circonferenz genertrice. Se si osserv l ruot di un biciclett in movimento l buio l triettori descritt d un ctrifrngente fissto sull ruot é un Cicloide. Il motivo per cui ci si interess ll Cicloide é che present sorprendenti proprietá fisiche. Inftti é brchistocron e tutocron: brchistocron perché rppresent il percorso superto nel tempo piú breve tr due punti. Ovvero: dti due punti A e B su un pino verticle sottoposti unicmente ll forz di grvitá trovre l curv tr essi sull qule un punto mterile vincolto scorrervi senz ttrito vd d quello piú in lto quello pié in bsso nel minor tempo possibile. E noto che l distnz piú breve tr due punti é il segmento di rett che li congiunge per cui si srebbe tentti di rispondere che quest é l triettori che ssicur il minor tempo. M non é cos perché conviene prtire puntndo il piú possibile verso il bsso per cquisire l mssim velocitá inizile. Glileo vev giá ffrontto questo problem molti nni prim ed vev creduto di risolverlo indicndo come triettori ottimle l rco di cerchio. M l rispost corrett é l cicloide che per questo é dett nche curv brchistocron cioé dl tempo piú breve. L Cicloide é tutocron perché un grve posto in oscillzione lungo un cicloide con l concvitá rivolt verso l lto! l percorre sempre nello stesso tempo qulunque si l mpiezz dell oscillzione. Le equzioni prmetriche di un cicloide sono: xt Rt sin t t 0 π]. yt R cos t Osservimo subito che é un curv pin bstno due equzioni per descriverl. ] Clcolre il versore tngente per t π R

4 Esercizio. Clcolre i versori tngente normle e binormle lle seguenti curve nei punti indicti: xt t yt t per t. zt t xt t t yt t per t. zt t + t Esercizio 4. Determinre i tre versori del triedro mobile in un generico punto delle curve seguenti: αt cos t cos t + sin t R.T sin t sin t cos t N βt t + t t cos t cos t sin t B ] 0. ] R.T t N t t B +t +t 0. γt t t ln t R.T +t t t N +t t t t B +t t t ]. δt e t e t t R.T +e t e t e t N +e t e t e t e t B +e t e t e t]. ηt t cos t t sin t t R.T +t cos t t sin t sin t + t cos t N 4 sin t t cos t t sin t t cos t4 cos t t sin t+t cos t t sin t t +t 8+5t +t 4 B 8+5t +t cos t + t sin t sin t t cos t + t.] 4 4

5 Esercizio 5. Tr le curve descritte nell esercizio precedente ve ne sono di pine? Suggerimento: ndte vedere il versore binormle... 5