Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali

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1 Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile / 21

2 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt l orbit di un sistem come soluzione di equzioni differenzili, or si mostrer che l orbit si distingue tr tutte le curve possibili nello spzio delle configurzioni per un propriet integrle. Quest formulzione (vrizionle: si cercno stzionri per un funzionle) e nche l piu ntic (es. principio di Fermt in ottic) NB Non tutto sr rigoroso 2 / 21

3 Esempi di In generle, e un ppliczione d un insieme di funzioni U R. U = C([, b]), insieme delle funzioni reli regolri tr e b F[u] = u(x)dx Nel cso sopr, fissto c, il vlore di ogni u in c, u(c), o, se l derivt e definit u (c) 3 / 21

4 Lunghezz di Un funzionle molto importnte e dto dll lunghezz di un curv. Per esempio, in R 2 l lunghezz di γ(x(t), y(t)), t [t 1, t 2 ] e dt d l = t2 t 1 ẋ 2 + ẏ 2 dt Anche questo e, m dipende dlle due funzioni x, y. Se l curv e prmetrizzbile con l x : γ(x, u(x)),x [, b] si vr il funzionle (di un sol vribile) F[u] = 1 + u 2 (x)dx (1) 4 / 21

5 Come si trov un Per esempio: come si trov qul e il cmmino piu breve tr due? Anlogmente quel che si f per funzioni definite su R n, si considerernno le vrizioni infinitesime del funzionle in ogni direzione, cioe si definirnno derivte direzionli; i stzionri srnno quelli con vrizione null in ogni direzione. 5 / 21

6 Definizione di Considereremo dell form F[u] = L(u (x), u(x))dx (2) con L, regolre, rele, definit su un perto di R 2 e u C k ([, b]) k 2 (in genere e tutto regolre qunto bst ). Si usernno in prticolre funzioni regolri estremi fissti U A,B,b = {u : [, b] R u() = A, u(b) = B} 6 / 21

7 Esempio:cmmino 01 u u +αη 01 Considero l insieme delle curve (x, u(x)) tr due fissti (, A) e (b, B) di R 2, x [, b]. Quindi considero l insieme U A,B,b delle funzioni sull intervllo con estremi fissti u() = A, u(b) = B. Se η : [, b] R e null gli estremi η() = η(b) = 0, si h u + αη U α R funzione vrit (3) Quindi definito in u rest ben definito in (3) (In figur per brevit ho identificto le curve con le loro ordinte) 7 / 21

8 ... Si puo studire l ndmento di, per esempio l lunghezz dell curv, l vrire di α R: F[u + αη]. L vrizione di F in u reltiv η e il funzionle δf[u, η] = def d dα F(u + αη) α=0 (4) se e ben definito η (cfr. l derivt direzionle). 8 / 21

9 ... Se F e (1), lunghezz di δf[u, η] = d 1 + (u dα (x) + αη (x)) 2 dx α=0 E ben definito, e l regolrit delle funzioni permette di derivre sotto segno di integrle. 9 / 21

10 ... Intuitivmente, un di F vr derivt direzionle null, cioe vrizione null: nel nostro cso δf[u, η] = u 1 + u 2 η dx = 0 η per prti (η si nnull gli estremi)... = d dx ( u ) ηdx η 1 + u 2 Questo vle per ogni η (ttenzione!): si vedr che questo implic che si nullo l ltro fttore dell integrndo d dx ( u ) = 0 (5) 1 + u 2 10 / 21

11 .. volte ritornno Se pongo l equzione (5) concide con d dx L(u, u) = 1 + u 2 L u = L u Esercizio: ricord qulcos? Dimostrre che l curv piu breve tr due del pino crtesino e il segmento Dimostrre l stess cos usndo vribili polri 11 / 21

12 Stzionriet di Se L : R 2 R, regolre L(u, u) = L(u (x), u(x)) u U A,B,b, definito sopr, considero il funzionle F[u] = L(u (x), u(x))dx Per ogni η null gli estremi (η U 0,0,b ) e ben definit l vrizione δf in (4) Inftti si h e... F[u + αη] = L ( u (x) + αη (x), u(x) + αη(x) ) dx 12 / 21

13 ... δf[u, η] = d dα L ( u (x) + αη (x), u(x) + αη(x) ) dx α=0 scmbindo derivt e integrle δf[u, η] = ( L(u, u) u η + L(u, u) u or per prti, ricordndo che η e null gli estremi δf[u, η] = ( d dx ( L(u ), u) u ) η dx ) + L(u, u) η(x) dx u 13 / 21

14 Definizione F e stzionrio in u se δf[u, η] = 0 η U 0,0,b Cioe crtterizzo un imponendo che tutte le derivte direzionli sino nulle. 14 / 21

15 Lemm Per funzioni lmeno C 2 ([, b]), se η t.c. η() = η(b) = 0 vle llor: f(x)η(x)dx = 0 f 0 Un modo di vederlo intuitivmente e che se f fosse divers d 0 in un punto, llor per continuit lo srebbe in un intervllo [c, d] [, b]. In tl cso bsterebbe un η come in figur per contrddire l ipotesi c d 15 / 21

16 Note Questo lemm e un versione ipersemplifict di un teorem fondmentle del clcolo delle vrizioni. L integrle si puo vedere come un prodotto sclre tr f e η : llor l ide e generlizzre uno spzio di funzioni il ftto che l unico vettore di R n che h proiezione null in ogni direzione e il vettore nullo. 16 / 21

17 Equzioni di Il lemm e l espressione dell vrizione δf in (4) dimostrno l seguente proposizione: Condizione necessri e sufficiente perche del tipo F[u] = L(u (x), u(x))dx definito su U A,B,b si stzionrio in u, e che u soddisfi l equzione di ssocit F d dx L u = L u In ltre prole, risolvere l equzione di Lgrnge con vlori l bordo invece che vlori inizili equivle trovre un vlore stzionrio per il funzionle con densit l funzione di Lgrnge 17 / 21

18 ..in piu L proposizione si generlizz fcilmente se il funzionle dipende d n funzioni u i : [, b] R con condizioni l bordo fisste u i () = A i, u i (b) = B i. Si mostr l equivlenz tr l stzionriet di e un sistem di equzioni di Lgrnge. Se L : R 2n R, considero L(u,u), con u = (u 1,...) e il funzionle F[u] = L(u,u)dx (6) e definisco nlogmente qunto ftto prim l vrizione rispetto delle n-ple η(x) nulle gli estremi. Vle l seguente proposizione: 18 / 21

19 ... Il funzionle in (6) e stzionrio in (u 1,...u n ) se e solo se le u i sono soluzioni delle equzioni di d dx L u i = L u i i = 1, n 19 / 21

20 NB Le equzioni di Lgrnge non sono quindi solo riformulzione di equzioni dell dinmic di un sistem di m sono molto piu generli L formulzione vrizionle, utilizzndo integrli, rende evidente l invrinz per cmbi di coordinte: il vlore di un integrle non cmbi se si cmbino le coordinte. 20 / 21

21 NB2 Si e prlto solo di stzionri, in genere: non e detto che si trtti di minimi, nche se un formulzione dell proposizione e not come principio di minim zione. I cmmini che rendono stzionri l lunghezz di tr due, in un vriet, si chimno geodetiche, m non e detto che sino i cmmini minimi (per esempio, le geodetiche dell sfer sono rchi di cerchio mssimo: d ogni coppi di corrispondono due rchi di divers lunghezz) 21 / 21