Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo Verifica di matematica

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1 Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione si continu nel suo dominio Per il vlore di così ottenuto: ) si stbilisc l insieme di derivbilità dell funzione; b) si studi e si rpprenti il grfico Γ dell funzione; c) si determini l equzione dell rco di prbol P con s coincidente con l s, vertice nell origine e pssnte per il punto di Γ di sciss e; d) nell regione finit di pino compres tr l prbol P e l curv Γ si conduc un rett prllel ll s delle ordinte e si determini l misur g( dell cord intercettt d tle rett sulle due curve Si stbilisc g( prent un mssimo Quesiti Scegli tr i guenti quesiti 1) Per quli vlori di h l equzione h 0 mmette solo un soluzione? 5 ) Si dimostri che l funzione f ( è invertibile Dett g ( l funzione invers, si determini l equzione dell tngente g( nel suo punto di sciss ) Si inscriv in un cono di rggio e ltezz b il cilindro che h mssimo volume Tle cilindro h nche mssim superficie lterle? ) Determinre i vlori dei prmetri reli, b ffinché si pplicbile il teorem di Rolle ll funzione f ( bn < 0 0 in ; Clcolre poi il punto o i punti l cui esistenz è ssicurt dl teorem

2 Soluzioni PROBLEMA Il dominio dell funzione ln f ( è l insieme [ 0; ] D > 0 0 L funzione è certmente continu per >0, esndo il prodotto di due funzioni continue nel loro dominio nturle L unico punto in cui dobbimo verificre l continuità è 0 L condizione di continuità (d destr) in tle punto è: lim ln 0 Riscrivimo il limite e lo clcolimo utilizzndo l regol di De l Hospitl: 1 ln lim ln lim lim lim lim L continuità in tutto D impone pertnto 0 ) Riscrivimo l funzione: ln f ( 0 > 0 0 e determinimo l su derivt: 1 1 ln f '( ln per 0 In 0, pplicndo l definizione di derivt, bbimo: f ( h) f (0) h ln h ln h f '(0) lim lim lim ; h h h pertnto l insieme di derivbilità dell funzione è ' ] 0; [ verticle D e 0 è un punto tngente b) Per rpprentre il grfico Γ dell funzione considerimo i guenti elementi Dominio: D [ 0; ], pertnto non possono esrci simmetrie nè rispetto ll s y nè rispetto ll origine Segno: f ( > 0 > 1 Interzioni con gli ssi: (0; 0) e (1; 0) Limite ll infinito: lim ln e non esiste l sintoto obliquo poiché f ( ln lim lim 0

3 Derivt prim: f '( ln D e 0 è un punto tngente verticle f ( è crescente per > e, decrescente per 0 < < e di minimo reltivo e ssoluto con f ( e ) e 1 1 ( ln ) Derivt cond: ln f"( f ( h concvità rivolt verso l lto per 0 < < 1, verso il bsso per > 1 flesso (con tngente obliqu) Trccimo il grfico ' ] 0; [ e è punto ; il punto ( ;0) 1 è un c) L prbol con s coincidente con l s e vertice nell origine h equzione: Il punto Q di Γ di sciss e h ordint y dell prbol, ottenimo: e ke k 1 L prbol P h equzione y ky e, quindi, sostituendo tli coordinte nell equzione Esplicitndo y ottenimo che l rco di prbol richiesto h equzione y d) Rpprentimo nel pino crtesino l prbol P e l curv Γ, conducimo un rett prllel ll s delle ordinte e indichimo con A e B i suoi punti di interzione con l prbol e l curv Γ rispettivmente Le coordinte di A e B sono: A ( ; e B ( ; ln con le limitzioni per : 0 < < e Se 0, entrmbi i punti A e B coincidono con l origine del sistem di riferimento, mentre e coincidono con il punto Q L misur g( dell cord AB è dt d y A y B e cioè:

4 ln 0 < e g ( e pertnto per il teorem di Weierstrss mmette mssimo e minimo ssoluti nell intervllo Il minimo ssoluto è m0 ed è ssunto negli estremi dell intervllo; il mssimo ssoluto, invece, è ssunto in un punto interno [ 0 ;e] Poiché l funzione è derivbile nell intervllo, il punto di mssimo ssoluto è un punto stzionrio L funzione g( è un funzione continu perché somm di funzioni continue nell intervllo [ ;e] Clcolimo l derivt: Dunque 1 ln ln 1 g'( g'( g '( si nnull per 1 e 1 è il vlore per cui l cord AB è mssim e Per tle vlore ottenimo Quesito n AB ln e e e e Per quli vlori di h l equzione h 0 mmette solo un soluzione? Sdoppimo l equzione in un sistem equivlente: h y h y Studimo per vi grfic le interzioni delle rette del fscio improprio di equzione funzione y y h con l Anlizzimo l funzione y Dominio: R; l funzione è continu 0 Segno y < 0

5 Derivt prim 1 > 0 y ' 1 < 0 Poiché lim(1 ) lim(1 ) funzione è y 9 0 l funzione è derivbile in 0 e y (0) 1 è l unico punto di mssimo reltivo e ssoluto e il corrispondente vlore dell 6 > 0 Derivt cond y '' 6 < 0 Poiché lim 6 lim ( 6 0, y'' (0) ed è ugule 0 y '' 0 R Grfico: 0 0 Discutimo l equzione

6 Rpprentimo il fscio di rette evidenzindo l tngente nel punto di mssimo dell funzione h < 9 h 9 h > 9 Quesito n ogni rett interc il grfico dell funzione in due punti; l rett è tngente l grfico dell funzione nel punto di mssimo; nessun rett interc il grfico dell funzione 5 Si dimostri che l funzione f ( è invertibile Dett g ( l funzione invers, si determini l equzione dell tngente g( nel suo punto di sciss Dimostrimo che f è invertibile f è un polinomio quindi è continu e indefinitmente derivbile in R Anlizzimo il gno dell derivt prim per studire l crescenz: f '( 5 1 > 0 L diquzione, biqudrtic con 11 < 0 e > 0, è verifict R : l funzione f è monotòn crescente e perciò invertibile Tngente ll funzione invers Si Q il punto del grfico di g ( di sciss ; esso corrisponde il punto P di ordint nel grfico di f ( per il qule vle l relzione: 5 È immedito riconoscere l soluzione 1 (unic motivo dell biunivocità) Pertnto l punto P (1;) di f corrisponde il punto Q (;1) di g

7 Per il teorem dell derivt dell funzione invers f ( ) y f '( ) 0) llor 1 g '( y0 ) Nel cso in questione: f '( ) 0 ( f '(1) g' () g '() f '(1) L tngente richiest vrà pertnto l guente equzione: 1 y 1 g'()( ), y 1 ( ) 9 y Quesito n Si inscriv in un cono di rggio e ltezz b il cilindro che h mssimo volume Tle cilindro h nche mssim superficie lterle? Dignimo l zione del cono e del cilindro inscritto perpendicolre l pino di b pssnte per il centro del cerchio di b Il volume del cilindro si clcol con l formul: V cil PH QP Posto PH, con 0 determinimo QP considerndo l similitudine dei tringoli APQ e AHC Si h: AH : AP CH : QP :( b : QP QP Sostituimo e ottenimo: V cil b( b( b ( ( ) con 0 Clcolimo V ( e studimo il gno: b V ( ( )

8 ( ) > 0 ( > 0 0 < < b V ( > 0 Poiché l derivt prim di V( è positiv per < e negtiv per > un mssimo in Per tle vlore di l ltezz del cilindro divent: b b 1 1 QP b, llor V ( ) prent Dunque il cilindro di volume mssimo è quello con l ltezz ugule 1 di quell del cono Determinimo or l superficie lterle del cilindro Deve esre: e sostituendo: S( PH QP b b S( ( ( ) con 0 Clcolimo l derivt e studimo il gno: b S' ( ( b S ( > 0 ( > 0 < Poiché S ( > 0 per < e S ( > 0 per >, S( ssume vlore mssimo per e dunque: S m b b Il vlore S m è diverso dll superficie S 1 che si ottiene nel cso del volume mssimo Inftti: Quesito n S 1 1 b 9 b Determinre i vlori dei prmetri reli, b ffinché si pplicbile il teorem di Rolle ll funzione < 0 f ( in ; bn 0 Clcolre poi il punto o i punti l cui esistenz è ssicurt dl teorem Affinché si pplicbile il teorem di Rolle l funzione dt deve esre:

9 continu nell intervllo ; ; b derivbile nell intervllo perto ; ; c ssumere lo stesso vlore gli estremi dell intervllo dto Determinimo il vlore d dre i prmetri e b in modo che sino soddisftte le ipotesi del teorem L unico punto in cui dobbimo verificre l continuità e l derivbilità è 0, esndo entrmbe le funzioni che costituiscono f ( continue e derivbili ovunque sono stte considerte Poiché vle: lim f ( bn0 0, lim f ( lim( ) l funzione è continu per tutti i vlori dei prmetri b Imponimo che l derivt destr e sinistr coincidno in 0 Clcolimo prim le derivte: f ( h) f (0) bnh f '(0) lim lim b ; h h f ( h) f (0) h h f '(0) lim lim h h L condizione di derivbilità nell origine impone che b c Imponimo che l funzione ssum lo stesso vlore gli estremi dell intervllo: f f 0 d cui si ottiene il vlore: Il vlore di b per cui l funzione dt soddisf le ipotesi del teorem di Rolle è, quindi, b Per clcolre poi il punto o i punti l cui esistenz è ssicurt dl teorem riscrivimo l funzione con i prmetri trovti e determinimone l derivt prim: f ( n < 0 0 ; f ' ( cos < 0 0 Imponimo l condizione sull derivt prim f '( 0 0 cos 0 < 0 0 L prim condizione è risolt per, che è un soluzione ccettbile

10 L cond equzione h come soluzione in R: Z k k k,, cui corrisponde nell intervllo ; 0 l unic soluzione In conclusione, ci sono due punti stzionri: e