MATEMATICA - LEZIONE 3 GEOMETRIA ANALITICA. Relatore prof. re CATELLO INGENITO

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1 MATEMATICA - LEZIONE 3 GEOMETRIA ANALITICA Reltore prof. re CATELLO INGENITO Torn l SOMMARIO

2 Torn l SOMMARIO Sommrio dell lezione Pino crtesino e rett Sezioni coniche Coniche sul pino crtesino

3 PIANO CARTESIANO A B B A Sino A e B punti del pino: A (x 1 ; y 1 ) B (x ; y ) Lunghezz del segmento AB A M B AB x x y 1 y1 A' B' x x 1 Se i segmenti sono prlleli gli ssi meglio usre le formule: Punto medio M del segmento AB M A' ' B'' x 1 y1 y x ; y y 1

4 Esempio Medicin Odontoitri 01 (13,1) Il tringolo h se = 1 e ltezz = 13.. (0,1) (0,0)

5 Esempio Veterinri 004 L ordint è sicurmente positiv, quindi..

6 Equzione dell rett Form implicit: x + y + c = 0 Form esplicit: y = mx + q m Coefficiente ngolre x = k x = 0 q c Intercett y = k y = 0 x + y = 0 y = -x x - y = 0 y = x x + y = 0 y = mx

7 COEFFICIENTE ANGOLARE B(x ;y ) E l tngente dell ngolo che l rett form col semisse positivo delle x Come si clcol: A(x 1 ;y 1 ) y = mx + q Coefficiente dell x nell form esplicit Nell form implicit x + y + c = 0 m Conoscendo le coordinte di due punti dell rett: m y x y x 1 1 m 0 m 0 m m 0

8 Esempio Veterinri 017 y y m x x

9 Torn l SOMMARIO PARALLELISMO E PERPENDICOLARITA Sino dte due rette r: x + y + c = 0 e s: x + y + c = 0 Sino r e s prllele Condizione di prllelismo: m = m ' ' Sino r e s perpendicolri Condizione di perpendicolrità: m m =-1 + =0

10 SISTEMI LINEARI x y c x 1 y 1 c1 0 0 Equzioni di due rette sul pino crtesino Il sistem è determinto se le due rette sono incidenti (m m ) Il sistem è impossiile se le due rette sono prllele (m = m ) Il sistem è indeterminto se le due rette sono coincidenti c 1 1 c1 c 1 1 c1

11 Rett per punti - Fsci A B Rett pssnte per due punti A (x 1 ; y 1 ) B (x ; y ) y y y1 y 1 x x x1 x 1 Fsci di rette proprio improprio A y y 0 = m(x - x 0 ) x y k 0 y = mx +k

12 Torn l SOMMARIO Esempio Ingegneri 005 Punto medio: M (1 ; 1) ( ; ) m sse = -1 (0 ; 0) Equzione dell sse: y 1 = -1(x 1)

13 Distnz punto - rett Sino ssegnti un rett r di equzione x + y + c = 0 ed un punto A(x 0 ; y 0 ) A L distnz del punto A dll rett r è: d( A; r) x o y o c

14 Torn l SOMMARIO ESEMPIO Architettur 01 Metodo 1 Geometri Anlitic Rett AB Distnz OH H x y 1 1 x y Metodo Geometri Pin Ipotenus AB Altezz reltiv ll ipotenus OH OB OA AB 5 5 5

15 Esempio Ingegneri 005 (-4;) x =

16 Torn l SOMMARIO Esempio Ingegneri 005

17 Torn l SOMMARIO Esempio Medicin 016

18 LE SEZIONI CONICHE Sono le sezioni formte d pini che intersecno un CONO CIRCOLARE RETTO: CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE

19 CIRCONFERENZA C(;) r P(x;y) E il luogo dei punti P(x;y) equidistnti dl centro C(;) Equzione: (x - ) + (y - ) = r x + y + x + y + c = 0 Formule inverse: 0 Condizione di reltà C ; r c c

20 Torn l SOMMARIO ESEMPIO Medicin 017

21 CIRCONFERENZA E RETTA Un rett del pino rispetto d un circonferenz può essere: x xy c 0 y xy c 0 C(;) SECANTE TANGENTE ESTERNA Condizione: d < r - > 0 Condizione: d = r - = 0 Condizione: d > r - < 0

22 Torn l SOMMARIO Esempio Scienze 01 OP = PH H O Le coordinte di P sono: P( ; ) PQ ( ) (0 )

23 Torn l SOMMARIO ESEMPIO Veterinri 006 Sostituimo le coordinte del punto lle incognite: 1 + 1/ > 0, quindi il punto è esterno.

24 Torn l SOMMARIO ESEMPIO Veterinri 016

25 P(x;y) F PARABOLA E il luogo dei punti P(x;y) equidistnti d un punto (Fuoco) e un rett (direttrice) Equzione dell PARABOLA con ASSE prllelo ll sse y: d V y= x + x + c Formule inverse: V ; 4 > 0 concvità verso l lto < 0 concvità verso il sso F 1 ; : x 4 d : y 1 4

26 PARABOLA Equzione dell PARABOLA con ASSE prllelo ll sse x: x= y + y + c Formule inverse: V 4 ; > 0 concvità verso destr < 0 concvità verso sinistr 1 F 4 ; : y d : x 1 4

27 Esempio Medicin 003 d V (0 ; -1) Il vertice dell prol è.. F

28 Esempio Odontoitri 006 Trccimo l prol che h vertice V( ; -1) ed è rivolt verso l lto V ( ; -1) L sse di simmetri dell prol è x =

29 Esempio Architettur 016 V (0 ; 4) Trccimo l prol che h vertice V( 0 ; 4) ed è rivolt verso l lto

30 Torn l SOMMARIO ESEMPIO Veterinri 011

31 ELLISSE B 1 P(x;y) E il luogo dei punti P(x;y) l cui somm delle distnze d due punti (Fuochi) è costnte A 1 F 1 Vertici: Eccentricità A F B A 1 (- ; 0) A ( ; 0) B 1 (0 ; ) B (0 ; -) e c 0 < e < 1 PF 1 + PF = k > Equzione: x Fuochi: y 1 F 1 (-c ; 0) F (c ; 0) c = -

32 ELLISSE con i fuochi sull sse y B 1 Equzione: A 1 A x y 1 < Fuochi: B Vertici: A 1 (- ; 0) A ( ; 0) B 1 (0 ; ) B (0 ; -) Eccentricità F 1 (0 ; -c) F (0 ; c) c = - e c

33 LEGGI DI KEPLERO 1) I PIANETI SI MUOVONO SU ORBITE ELLITTICHE DI CUI IL SOLE OCCUPA UNO DEI DUE FUOCHI ) IL RAGGIO VETTORE SPAZZA AREE UGUALI IN TEMPI UGUALI 3) I QUADRATI DEI PERIODI DI RIVOLUZIONE SONO PROPORZIONALI AI CUBI DEI SEMIASSI MAGGIORI Sono un conseguenz dell LEGGE DI ATTRAZIONE GRAVITAZIONALE T 3 k

34 IPERBOLE F 1 P(x;y) A 1 A F E il luogo dei punti P(x;y) l cui differenz delle distnze d due punti (Fuochi) è costnte Equzione: PF 1 - PF = k x y 1 Vertici: A 1 (- ; 0) A ( ; 0) Fuochi: F 1 (-c ; 0) F (c ; 0) Asintoti: y x c = + Eccentricità e c e > 1

35 IPERBOLE con i fuochi sull sse y Equzione: x y 1 Vertici: A 1 (0 ; ) A (0 ; ) Fuochi: F 1 (0 ; -c) F (0 ; c) Asintoti: c = + y x Eccentricità e c e > 1

36 ALTRE EQUAZIONI DELL'IPERBOLE Iperole equilter x y Asintoti: y x Iperole equilter riferit gli sintoti Funzione omogrfic xy k y x cx d

37 Fine lezione Grzie per l ttenzione!