TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE

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1 uthor: Ing, Giulio De Meo GEOMETRIA TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE L somm degli ngoli interni di un poligono di n lti è (n - ) 180. L somm degli ngoli esterni di un qulsisi poligono vle teorem di Euclide: AB = BH BC teorem di Euclide: AH = BH HC Teorem di Tlete: AB : BC = A B : B C Teorem delle Corde: AE : DE = CE : EB Teorem delle Secnti: PA : PD = PC : PB Rggio circonferenz inscritt in un tringolo qulsisi: Lunghezz di un Arco di Circonferenz: 18

2 uthor: Ing, Giulio De Meo AREA DI FIGURE PIANE Prllelogrmmo: A = h h Trpezio: A = ( B + ) h h B A Romo: A = D d = ( A B CD ) C D Tringolo: l re di un tringolo qulsisi di cui si conosce l misur dei tre lti si può determinre con l Formul di Erone: B semiperimetro p = + + c p ( p - ) ( p - ) ( p - c) Are = = ½ ( c h ) h c Risoluzione di un Tringolo Rettngolo: Se di un tringolo rettngolo si conosce l relzione tr lti o tr ngoli, si può risolvere utilizzndo i teoremi di Pitgor e di Euclide e l proporzione nell incognit x. esempio: se AC = ¾ AB e l loro somm è 49cm per risolvere st porre : AC= 3x; AB= 4x; quindi AC+AB= 7x = 49cm; llor x=7cm; AC = 3x =1cm; AB = 4x = 8cm; Are= ½ AC AB = 94cm ; 3x C A h 4x B Poligono Regolre: A= prodotto del Semiperimetro p moltiplicto l potem : p = P A = p Qudrto: Are = lto ; Digonle = lto ; 19

3 uthor: Ing, Giulio De Meo GEOMETRIA PIANA Distnz tr punti A( x, y ) e (, ) 1 1 B x y : AB = (x x 1 ) + (y y 1 ) 1 1 Punto medio: x + x, y + M y. Eq. implicit di un rett: x + y + c =0 ; Eq. esplicit rett: y = mx + q ; m= /; q = c/; Coeff ngolre rett pssnte per punti: m = (y y 1 ) / ( x x 1 ) ; Eq rett di coefficiente ngolre m e pssnte per un punto P(x 0,y 0 ) Anche eq. fscio proprio di rette di centro (x 0, y 0 ): y y = m( x x ) 0 0 y y1 x x1 Rett pssnte per due punti A(x 1,y 1 ), B(x,y ): = y y x x 1 1 x0 + y0 + c Distnz di un punto P(x 0,y 0 ) d un rett: d = + Luoghi Geometrici: equzione dell isettrice di due rette:. x + y + c = ± 1 x + 1 y+ c 1 ( + ) ( ) Quesiti su un Tringolo di vertici A(x 1,y 1 ), B(x,y ) C(x 3,y 3 ) Coordinte del Bricentro del tringolo : Are del Tringolo noti i vertici (regol di Srrus): 0

4 uthor: Ing, Giulio De Meo Punti Notevoli di un TRIANGOLO Altezz: segmento congiungente un vertice ed il suo lto opposto che incide perpendicolrmente (cioè form un ngolo di 90 ); Ortocentro: punto di incontro delle Altezze. Medin: segmento congiungente un vertice ed il punto medio del lto opposto. Bricentro: punto di incontro delle medine; inoltre si h: AG = GM ; BG = M ; CG = M c ; Bisettrice: rett congiungente un lto ed il vertice opposto che divide il suo ngolo in ngoli uguli. Incentro: punto di incontro delle Bisettrici, coincidente con il centro dell circonferenz inscritt nel tringolo. Asse: segmento perpendicolre d un lto e pssnte per il suo punto medio M Circocentro: punto di incontro degli ssi coincidente con il centro dell circonferenz circoscritt l tringolo. 1

5 uthor: Ing, Giulio De Meo CONICHE Un conic è un curv ottenut dll intersezione di un cono circolre retto con un pino. Anlizzimo lcuni tipi di coniche reli: Circonferenz, Ellisse, Prol ed Iperole. Circonferenz L circonferenz è il luogo dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto centro. x y x y c = 0. ( x α ) + ( y β ) = r centro: C ( α, β ) ; = - α ; = -β ; c = α + β r Lunghezz del rggio: r = + - c 4 Ellisse L ellisse è il luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte l somm delle distnze d due punti fissi detti fuochi. Considerimo dpprim il cso di un ellisse con Fuochi sull sse X centrto in O: > : - F 1 F c = Eccentricità : x y + = 1 F 1 ( - c, 0 ) ; F ( c, 0 ) ; c e = < 1 Considerimo desso il cso di un ellisse con Fuochi sull sse Y centrto in O: F < : - F 1 ( 0, - c ) ; F ( 0, c) ; c = ; = <1 F 1 - Nel cso in cui l ellisse si centrto in un punto P( xo,yo) diverso dll origine, l su equzione è ( x xo ) + ( y yo ) = 1

6 uthor: Ing, Giulio De Meo Prol L prol è il luogo dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoco e d un rett fiss dett direttrice. Un prol con sse di simmetri prllelo ll sse Y h equzione: y = x + x + c Vertice : V ( - /, - /4 ) eq. sse di simmetri: X = -/ ; fuoco: 1 F, Eq. direttrice: 1 y =. 4 4 se > 0 concvità verso l lto se < 0 concvità verso il sso Un PARABOLA con sse di simmetri prllelo ll sse X h equzione: Fuoco : 1 F +, 4 4 x = y + y + c eq. sse di simmetri: Y = -/ ; Vertice: V ( - /4, -/ ) eq direttrice : x = - (1+ ) / 4 ; se > 0 concvità verso destr se < 0 concvità verso sinistr 3

7 uthor: Ing, Giulio De Meo Iperole L iperole è il luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte (in vlore ssoluto) l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuochi. Considerimo dpprim il cso di un iperole con Fuochi sull sse X centrt in O: F 1 - F - F x y = ; 1 eccentricità: Asintoti dell iperole: 1 c = + ; c e = > 1 y = x ; F ( ± c, 0 ); y = x ; Coeff ngolre tngente ll iperole nel punto di sciss xo Equz tngente nel punto P (Xo, Yo) Nel cso in cui l iperole h fuochi sull sse Y o nche, intersec l sse Y: x y c = 1 ; e = > 1 ; c = + ; F ( 0, ± c ); Asintoti dell iperole: y = x ; y = x 4

8 uthor: Ing, Giulio De Meo Iperole Equilter: Un iperole si dice equilter qundo i suoi sintoti sono perpendicolri tr loro. ( = ) : x y = oppure Asintoti: y = x ; y = x ; eccentricità: ; fuochi F ( ± c, 0 ) ; Se gli sintoti corrispondono gli ssi llor l equzione generle dell iperole divent: xy = k ; in prticolre, se k > 0 Iperole Equilter riferit gli l iperole è nel 1 e 3 qudrnte, se k < 0 i sintoti: xy = k con Vertici: V, V nel e 4. > 0 ; =, Fuochi:, ;, Funzione OMOGRAFICA : y = x + con,,c,d costnti reli. cx + d se c=0 oppure se c 0 e d = c l funzione è un rett. se c 0 e d c l funzione è un Iperole Equilter Trslt con sintoti x = -d/c ; y = /c che sono le coordinte del nuovo centro O dell iperole equilter trslt. Operndo l trslzione d ssi sotto si ottiene un iperole equilter del tipo xy = k ; 5

9 uthor: Ing, Giulio De Meo CLASSIFICAZIONE E RIDUZIONE DI UNA CONICA Anliticmente un conic è espress d un equzione del ordine coefficienti reli: f(x,y) = 11 x + y + 1 x y + 13 x + 3 y + 33 =0 ed in coordinte omogenee : f(x 1,x,x 3 ) = 11 x 1 + x + 33 x x 1 x + 13 x 1 x x x 3 = 0 d ess si ssoci l mtrice A: se Det(A) = 0 l conic si dice DEGENERE o RIDUCIBILE. Si può clssificre l conic in se l complemento lgerico A 33 dell mtrice: A 33 = 11 ( 1 ) si hnno 3 csi: - A 33 > 0 : l conic è un Ellisse; - A 33 = 0 : l conic è un Prol; - A 33 < 0 : l conic è un Iperole A= RIDUZIONE A FORMA CANONICA L equzione complet dell conic si può semplificre pssndo d un form ridott dett cnonic: st clcolre il determinnte Det(A), il vlore di A 33 e l somm I = Quindi si hnno csi: 1) coniche centro (Ellisse o Iperoli) : equzione ridott x 1 + x + c x 3 = 0; i coefficienti,, c si determinno risolvendo il sistem A 33 c = det ( A ) + = I = A 33 ) Prol: equzione ridott x 1 + x x 3 = 0; i coefficienti e si determinno risolvendo il sistem = I - ( ) = det(a) 6

10 uthor: Ing, Giulio De Meo CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE QUADRICHE L qudric Q : X T A X di equzione: 11 x + y + 33 z + 1 x y + 13 x z + 3 y z + 14 x + 4 y + 34 z + 44 =0 11 x 1 + x + 33 x x x 1 x + 13 x 1 x x x x 1 x x x 4 = 0 e di mtrice simmetric A = si può clssificre in se l DET (A), l vlore di A 44 ed ll Conic impropri C sezione dell qudric con il pino improprio X 4 = 0. L conic C si determin dll equzione Q dell qudric eliminnndo i termini di X, Y, Z e noto. C è riduciile se il determinnte dell su mtrice è nullo; C è rele se il discriminnte dell su equz. 0 ; è dett immginri nel cso contrrio. 1) DET(A) 0 - QUADRICA GENERALE: (Ellissoide, Proloide o Iperoloide): se A 44 0 e C = immginri det(a) > 0 Ellissoide Immginrio det(a) < 0 Ellissoide Rele punti ellittici se A 44 0 e C = rele non degenere det(a) > 0 Iperoloide d 1 fld punti Iperolici det(a) < 0 Iperoloide flde e punti Ellittici se A 44 = 0 e C = degenere det(a) > 0 Proloide iperolico sell punti iperolici det(a) < 0 Proloide ellittico punti ellittici ) DET(A) = 0 QUADRICA SPECIALIZZATA : (Cilindro o Cono): se Det (A) = 0 e Rngo (A) = 3 se A 44 0 e C = immginri : se A 44 0 e C = rele non degenere: Cono Immginrio; Cono Rele se A 44 = 0 e C = riduciile in rette reli e distinte: Cilindro Iperolico rette reli e coincidenti: Cilindro Prolico rette complesse coniugte: Cilindro Ellittico se Det (A) = 0 e Rngo (A) < 3 se Rngo(A) = - Qudric riduciile compost d Pini distinti: se Rngo(A) = 1 - Qudric riduciile compost d Pini coincidenti: 7

11 uthor: Ing, Giulio De Meo FASCI DI RETTE Fscio Proprio: insieme di tutte le rette del pino che pssno per un punto comune detto Centro. Se il centro è C (x 0, y 0 ) l eq del fscio è: y - y 0 = m ( x - x 0 ) che equivle ll equzione (x + y + c) + k (1 x + 1 y + c1 ) = 0 ; (*) le due rette entro prentesi sono le genertrici del fscio. Se si conosce l eq del fscio, per ricvrne il Centro st fre Sistem tr qulsisi rette del fscio. Se si conoscono rette, st scrivererle nell form (*) per determinre il fscio. Dto il fscio, l rett pssnte per un punto dto l si determin sostituendo le coordinte del punto nell equzione del fscio (*). Fscio Improprio: x + y + k = 0 insieme delle rette del pino prllele d un rett dt. FASCI DI CIRCONFERENZE Si dt l equzione del fscio generico come cominzione linere di circonferenze: ( x + y + 1 x + 1 y + c1 ) + k ( x + y + x + y + c ) = 0 ; (*) Si determin il Centro del fscio portndo l equzione del fscio in form implicit: x + y + x + y + c = 0 ; o fcendo sistem tr le equzioni delle circonf. dte. Distinguimo 4 tipi di Fscio: 1) Fscio di circoli Secnti: Tutte le circonferenze si intersecno in punti A e B (punti se) L rett AB è dett sse rdicle (circonf. degenere di rggio ). L sse del segmento AB su gui gicciono i centri delle circonferenze è detto sse centrle. ) Fscio di circoli Tngenti: Tutte le circonferenze sono tr loro tngenti in un solo punto T L sse rdicle è l rett r pssnte per T (x 0, y 0 ) l equz del fscio si può scrivere come c.l. dell equzione dell rett r: [ ( x x0 ) + ( y y0 ) ] + k (x + y + c) = 0 T 3) Fscio di circoli concentrici: x + y + x + y + k = 0 tutte I circoli sono concentrici. 8