Teoremi di geometria piana

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1 l congruenz teoremi sugli ngoli γ teorem sugli ngoli complementri Se due ngoli sono complementri di uno stesso ngolo α β In generle: Se due ngoli sono complementri di due ngoli congruenti α γ β teorem sugli ngoli supplementri Se due ngoli sono supplementri di uno stesso ngolo In generle: Se due ngoli sono supplementri di due ngoli congruenti α γ β teorem sugli ngoli esplementri Se due ngoli sono esplementri di uno stesso ngolo In generle: Se due ngoli sono esplementri di due ngoli congruenti teorem sugli ngoli opposti l vertice Gli ngoli opposti l vertice sono congruenti teoremi sui tringoli I criterio di congruenz Se due tringoli hnno due lti e l ngolo tr essi compreso congruenti II criterio di congruenz Se due tringoli hnno due ngoli e il lto tr essi compreso congruenti v di 21

2 III criterio di congruenz Se due tringoli hnno i tre lti congruenti I teorem sul tringolo isoscele Se un tringolo è isoscele llor gli ngoli dicenti ll se sono congruenti Se un tringolo h due ngoli congruenti llor il tringolo è isoscele II teorem sul tringolo isoscele Se un tringolo è isoscele llor l isettrice dell ngolo l vertice è medin e ltezz reltiv ll se In un tringolo isoscele l medin reltiv ll se è isettrice dell ngolo l vertice e ltezz reltiv ll se l ltezz reltiv ll se è medin reltiv ll se e isettrice dell ngolo l vertice I teorem sul tringolo equiltero Se un tringolo è equiltero llor gli ngoli sono tutti congruenti Se un tringolo h tutti gli ngoli congruenti llor è un tringolo equiltero II teorem sul tringolo equiltero Se un tringolo è equiltero llor le tre medine coincidono con le tre isettrici, con le tre ltezze e con i tre ssi II criterio di congruenz generlizzto Se due tringoli hnno due ngoli e un lto congruenti v di 21

3 I criterio di congruenz dei tringoli rettngoli Se due tringoli rettngoli hnno i due cteti congruenti II criterio di congruenz dei tringoli rettngoli Se due tringoli rettngoli hnno un cteto e l ngolo cuto opposto congruenti Se due tringoli rettngoli hnno un cteto e l ngolo cuto dicente congruenti III criterio di congruenz dei tringoli rettngoli Se due tringoli rettngoli hnno l ipotenus e un ngolo cuto congruenti IV criterio di congruenz dei tringoli rettngoli Se due tringoli rettngoli hnno l ipotenus e un cteto congruenti teorem dell medin in un tringolo rettngolo In ogni tringolo rettngolo l medin reltiv ll ipotenus è congruente ll metà dell ipotenus stess teorem inverso dell medin in un tringolo rettngolo Se in un tringolo l medin reltiv l lto mggiore è congruente ll metà di questo llor il tringolo è rettngolo v di 21

4 teorem sull somm degli ngoli interni di un tringolo In un tringolo l somm degli ngoli interni è congruente un ngolo pitto I teorem dell ngolo esterno In un tringolo ogni ngolo esterno è mggiore di ciscun ngolo interno non dicente d esso Osserv che: L somm di due ngoli di un tringolo è minore di un ngolo pitto II teorem dell ngolo esterno In un tringolo ogni ngolo esterno è congruente ll somm degli ngoli interni non dicenti d esso I teorem sulle disuguglinze dei lti di un tringolo Se un tringolo h due lti disuguli llor l lto mggiore si oppone l ngolo mggiore Se un tringolo h due ngoli disuguli llor ll ngolo mggiore si oppone il lto mggiore c II teorem sulle disuguglinze dei lti di un tringolo In un tringolo ogni lto: è minore dell somm degli ltri due è mggiore dell differenz degli ltri due Ad esempio: oppure oppure oppure oppure relzione tr gli elementi di due tringoli Se due tringoli hnno due lti congruenti e gli ngoli compresi disuguli llor dei terzi lti è mggiore quello opposto ll ngolo mggiore Se due tringoli hnno due lti congruenti e i terzi lti diseguli llor degli ngoli opposti i terzi lti è mggiore quello opposto l lto mggiore v di 21

5 teoremi sui poligoni I criterio di congruenz dei poligoni Se due poligoni con lo stesso numero di lti hnno congruenti tutti i lti e gli ngoli compresi d eccezione di due lti consecutivi e dell ngolo compreso llor essi sono congruenti II criterio di congruenz dei poligoni Se due poligoni con lo stesso numero di lti hnno congruenti tutti i lti e gli ngoli compresi d eccezione di due ngoli e del lto compreso llor essi sono congruenti III criterio di congruenz dei poligoni Se due poligoni con lo stesso numero di lti hnno congruenti tutti i lti e gli ngoli compresi d eccezione di tre ngoli consecutivi llor essi sono congruenti c d teorem sulle disuguglinze dei lti di un poligono e In un poligono ogni lto è minore dell somm di tutti gli ltri lti Ad esempio: c d e oppure oppure relzione tr i perimetri di due poligoni Se un poligono convesso è inscritto in un ltro poligono llor il suo perimetro è minore del perimetro del poligono circoscritto teoremi sulle rette perpendicolri e sulle rette prllele teorem sulle rette perpendicolri r s Se due rette incidenti formno un ngolo retto llor esse sono perpendicolri v di 21

6 teorem sull esitenz ed unicità dell rett perpendicolre P D un punto esterno d un rett pss un ed un sol perpendicolre ll rett stess Osserv che: Il teorem vle nche nel cso in cui il punto pprtiene ll rett P P d teorem sull distnz di un punto d un rett L distnz di un punto d un rett è il segmento di perpendicolre condotto dl punto ll rett Osserv che: L distnz di un punto d un rett è il segmento minore tr tutti i segmenti condotti dl punto ll rett teorem sull esistenz di rette prllele Se due rette sono perpendicolri d un stess rett llor esse sono prllele tr loro Se due rette sono prllele llor un terz rett perpendicolre ll prim è nche perpendicolre ll second teorem sulle rette prllele tglite d un trsversle Due rette prllele tglite d un trsversle formno: ngoli lterni interni ed lterni esterni congruenti ngoli corrispondenti congruenti ngoli coniugti interni e coniugti esterni supplementri criterio di prllelismo Se due rette tglite d un trsversle formno: ngoli lterni interni o lterni esterni congruenti o ngoli corrispondenti congruenti o ngoli coniugti interni o coniugti esterni supplementri llor le due rette sono prllele proprietà trnsitiv del prllelismo Se due rette sono prllele d un terz rett llor esse sono prllele tr loro r s t v di 21

7 distnz tr due rette prllele Se due rette sono prllele llor i punti di un rett hnno ugule distnz dll ltr rett cioè le due rette mntengono sempre l stess distnz teoremi sulle proiezioni teorem sulle proiezioni congruenti Se due segmenti oliqui condotti d un punto d un rett hnno proiezioni congruenti llor essi sono congruenti Se due segmenti oliqui condotti d un punto d un rett sono congruenti llor hnno proiezioni congruenti teorem sulle proiezioni non congruenti Se due segmenti oliqui condotti d un punto d un rett hnno proiezioni non congruenti llor è mggiore il segmento vente proiezione mggiore Se due segmenti oliqui condotti d un punto d un rett non sono congruenti llor quello mggiore h proiezione mggiore teorem generle sulle proiezioni L proiezione di un segmento su un rett è minore o ugule del segmento stesso teoremi sui qudrilteri prticolri teorem sul trpezio Se un trpezio è isoscele llor gli ngoli dicenti lle si sono congruenti le digonli sono congruenti teorem sul prllelogrmmo In un prllelogrmmo: i tringoli in cui esso viene diviso d un digonle sono congruenti i lti opposti sono due due congruenti gli ngoli opposti sono due due congruenti le digonli si incontrno nel loro punto medio gli ngoli dicenti ciscun lto sono supplementri v di 21

8 teorem inverso sul prllelogrmmo Se un qudriltero h: i lti opposti due due congruenti o gli ngoli opposti due due congruenti o le digonli che si incontrno nel loro punto medio o gli ngoli dicenti ciscun lto supplementri o due lti opposti congruenti e prlleli llor il qudriltero è un prllelogrmmo teorem sul rettngolo In un rettngolo le digonli sono congruenti Se un prllelogrmmo h le digonli congruenti llor è un rettngolo teorem sul romo In un romo le digonli sono perpendicolri tr loro isettrici degli ngoli interni Se in un prllelogrmmo le digonli sono perpendicolri tr loro o isettrici degli ngoli interni llor il prllelogrmmo è un romo primi teoremi sul fscio di rette prllele teorem sul fscio di rette prllele t t Se un fscio di rette prllele è tglito d due trsversli llor segmenti congruenti su un trsversle corrispondono segmenti congruenti sull ltr trsversle teorem dell prllel dl punto medio di un lto di un tringolo M M Se dl punto medio di un lto di un tringolo si conduce l prllel d un secondo lto llor quest incontr il terzo lto nel suo punto medio teorem sull cord dei punti medi di due lti di un tringolo M M Se un cord di un tringolo h per estremi i punti medi di due lti llor ess è prllel l terzo lto ed ugule ll su metà v di 21

9 teoremi sull circonferenz teorem sull relzione tr dimetro e cord In un circonferenz, un dimetro è mggiore di qulunque cord teorem sull sse di un cord Se un dimetro di un circonferenz è perpendicolre d un cord llor il dimetro l dimezz L sse di un cord pss per il centro dell circonferenz teorem sui punti di un circonferenz Per tre punti non llineti pss un ed un sol circonferenz Tre punti di un circonferenz non possono essere llineti I teorem sulle corde e loro distnz dl centro Se due corde di un stess circonferenz, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti llor sono equidistnti dl centro Se due corde di un stess circonferenz, o di due circonferenze congruenti, hnno l stess distnz dl centro II teorem sulle corde e loro distnz dl centro Se due corde di un stess circonferenz, o di due circonferenze congruenti, sono disuguli llor l cord mggiore h distnz minore dl centro Se due corde di un stess circonferenz, o di due circonferenze congruenti, hnno distnz disugule dl centro llor è mggiore l cord con distnz minore dl centro teorem sull relzione tr rchi, corde e ngoli l centro Se due ngoli l centro di un stess circonferenz, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti llor gli rchi e le corde corrispondenti sono congruenti Se due rchi (corde) di un stess circonferenz, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti llor le corde (gli rchi) e gli ngoli l centro corrispondenti sono congruenti v di 21

10 teorem sull posizione reciproc di un rett e di un circonferenz Se l distnz di un rett dl centro di un circonferenz è minore, ugule o mggiore del rggio llor l rett h in comune con l circonferenz rispettivmente due punti (secnte), un punto (tngente), nessun punto (estern) Se un rett h in comune con un circonferenz due punti o un punto o nessun punto llor l rett h distnz dl centro dell circonferenz, rispettivmente, minore, ugule o mggiore del rggio teorem sull rett tngente d un circonferenz Se un rett è tngente in un punto d un circonferenz llor è perpendicolre l rggio in quel punto Se un rett è perpendicolre l rggio in un punto pprtenente ll circonferenz llor l rett è tngente ll circonferenz in quel punto I teorem sull posizione reciproc di due circonferenze circonferenze esterne r r Se due circonferenze hnno i punti dell un esterni ll ltr llor l distnz tr i centri è mggiore dell somm dei rggi Se l distnz tr i centri di due circonferenze è mggiore dell somm dei rggi llor le due circonferenze hnno i punti dell un esterni ll ltr (circonferenze esterne) II teorem sull posizione reciproc di due circonferenze circonferenze tngenti esterne Se due circonferenze hnno un punto in comune e i punti dell un esterni ll ltr llor l distnz tr i centri è congruente ll somm dei rggi Se l distnz tr i centri di due circonferenze è congruente ll somm dei rggi llor le due circonferenze hnno un punto in comune (circonferenze tngenti esterne) III teorem sull posizione reciproc di due circonferenze circonferenze secnti Se due circonferenze hnno due punti in comune llor l distnz tr i centri è minore dell somm dei rggi e mggiore dell differenz dei rggi Se l distnz tr i centri di due circonferenze è minore dell somm dei rggi e mggiore dell differenz dei rggi llor le due circonferenze hnno due punti in comune (circonferenze secnti) IV teorem sull posizione reciproc di due circonferenze circonferenze tngenti interne Se due circonferenze hnno un punto in comune e i punti dell un interni ll ltr llor l distnz tr i centri è congruente ll differenz dei rggi Se l distnz tr i centri di due circonferenze è congruente ll differenz dei rggi llor le due circonferenze hnno un punto in comune (circonferenze tngenti interne) v di 21

11 V teorem sull posizione reciproc di due circonferenze circonferenze interne Se due circonferenze hnno i punti dell un intern ll ltr llor l distnz dei centri è minore dell differenz dei rggi Se l distnz dei centri di due circonferenze è minore dell differenz dei rggi llor i punti dell un sono interni ll ltr (circonferenze interne) teorem sugli ngoli ll circonferenz In ogni circonferenz un ngolo ll circonferenz è congruente ll metà dell ngolo l centro che insiste sullo stesso rco o sull stess cord I teorem sugli ngoli ll circonferenz Se due ngoli ll circonferenz insistono sullo stesso rco o sull stess cord II teorem sugli ngoli ll circonferenz Se due ngoli ll circonferenz insistono su rchi o su corde congruenti Se due ngoli ll circonferenz sono congruenti llor gli rchi e le corde su cui insistono sono congruenti III teorem sugli ngoli ll circonferenz Se un ngolo ll circonferenz insiste su un semicirconferenz llor è retto Osserv che: Un tringolo inscritto in un semicirconferenz è rettngolo teorem delle tngenti d un circonferenz Se d un punto esterno d circonferenz si trccino le tngenti d ess llor i segmenti compresi tr il punto esterno e i punti di tngenz ll circonferenz sono congruenti L rett che congiunge il punto esterno ll circonferenz con il suo centro è isettrice dell ngolo formto dlle due tngenti v di 21

12 luoghi geometrici sse di un segmento L sse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistnti dgli estremi del segmento M isettrice di un ngolo L isettrice di un ngolo è il luogo geometrico dei punti equidistnti di lti dell ngolo punti notevoli di un tringolo circocentro Gli ssi dei tre lti di un tringolo pssno per uno stesso punto detto circocentro Osserv che: Il circocentro è il centro dell circonferenz circoscritt l tringolo ed è equidistnte di vertici del tringolo incentro Le isettrici degli ngoli interni di un tringolo pssno per uno stesso punto detto incentro Osserv che: L incentro è il centro dell circonferenz inscritt l tringolo ed è equidistnte di lti del tringolo ricentro Le medine dei lti di un tringolo pssno per uno stesso punto detto ricentro. Il ricentro divide ciscun medin in due prti tle che quell contenente il vertice è doppi dell ltr G Osserv che: Il ricentro di un figur viene indicto trdizionlmente con l letter G ortocentro Le ltezze reltive i lti di un tringolo pssno per uno stesso punto detto ortocentro v di 21

13 tringolo equiltero In un tringolo equiltero i punti notevoli coincidono Osserv che: In un tringolo equiltero il rggio dell circonferenz circoscritt l tringolo è doppio del rggio dell circonferenz inscritt l tringolo stesso distnz del ricentro di lti di un tringolo G In ogni tringolo l distnz del ricentro d un lto è congruente ll terz prte dell ltezz reltiv llo stesso lto teorem di Eulero G O In ogni tringolo il circocentro, il ricentro G e l ortocentro O sono llineti cioè gicciono sull stess rett dett rett di Eulero. L distnz tr il ricentro e l ortocentro è doppi dell distnz tr ricentro e circocentro corollrio l teorem di Eulero G O L distnz del circocentro d un lto è congruente ll metà del segmento che congiunge l ortocentro con il vertice opposto tle lto poligoni inscritti e circoscritti d un circonferenz teorem sui qudrilteri inscritti Se un qudriltero è inscritto in un circonferenz llor gli ngoli opposti sono supplementri Se un qudriltero h gli ngoli opposti supplementri llor è inscrittiile in un circonferenz corollrio Se un qudriltero è inscritto in un circonferenz llor un suo ngolo esterno è congruente ll ngolo interno opposto l suo dicente Se un qudriltero h due ngoli opposti retti llor è inscrittiile in un circonferenz v di 21

14 d c c d teorem sui qudrilteri circoscritti Se un qudriltero è circoscritto d un circonferenz llor l somm di due lti opposti è congruente ll somm degli ltri due lti Se in un qudriltero l somm di due lti opposti è congruente ll somm degli ltri due llor il qudriltero è circoscrittiile d un circonferenz corollrio l l Se in un trpezio isoscele l somm dell si è congruente l doppio del lto oliquo llor il trpezio è circoscrittiile d un circonferenz l l Ogni qudriltero equiltero cioè con i lti congruenti è circoscrittiile d un circonferenz teorem sull inscrittiilità e circoscrittiilità dei poligoni regolri r Se un poligono è regolre llor si può inscrivere e circoscrivere con due circonferenze concentriche il centro delle due circonferenze è detto centro del poligono regolre teorem sui poligoni regolri Se si divide un circonferenz in tre o più rchi congruenti llor il poligono ottenuto congiungendo successivmente i punti di divisione e il poligono ottenuto conducendo le tngenti ll circonferenz negli stessi punti sono poligoni regolri teorem sul lto dell esgono regolre O Il lto di un esgono regolre è congruente l rggio dell circonferenz circoscritt d esso v di 21

15 l equivlenz e l similitudine teoremi sull equivlenz teorem sull equivlenz di prllelogrmmi Se due prllelogrmmi hnno le si e le ltezze congruenti llor essi sono equivlenti secondo teorem sull equivlenz di prllelogrmmi Se due prllelogrmmi sono equivlenti ed hnno le si congruenti llor essi hnno nche le ltezze congruenti Se due prllelogrmmi sono equivlenti ed hnno le ltezze congruenti llor essi hnno nche le si congruenti teorem sull equivlenz del tringolo e del prllelogrmmo Se un tringolo h l stess ltezz di un prllelogrmmo e l se congruente l doppio di quell del prllelogrmmo llor il tringolo e il prllelogrmmo sono equivlenti Se due tringoli hnno le si e le ltezze congruenti llor essi sono equivlenti teorem sull equivlenz di due tringoli Se due tringoli hnno le si e le ltezze congruenti llor essi sono equivlenti Se due tringoli sono equivlenti ed hnno le si (o le ltezze) congruenti llor essi hnno nche le ltezze (o le si) congruenti teorem sull equivlenz del tringolo e del trpezio Se un tringolo h l stess ltezz di un trpezio e l se congruente ll somm delle si del trpezio llor il tringolo e il trpezio sono equivlenti r c r d c d teorem sull equivlenz di un poligono circoscritto d un circonferenz e di un tringolo Se un poligono è circoscritto d un circonferenz llor è equivlente d un tringolo che h l se congruente l perimetro del poligono e ltezz congruente l rggio dell circonferenz v di 21

16 c d teorem sull equivlenz di un poligono regolre e di un tringolo r r e c d e Se un poligono è regolre llor è equivlente d un tringolo vente l se congruente l perimetro del poligono e ltezz congruente ll potem del poligono (cioè l rggio dell circonferenz inscritt nel poligono) teorem sull equivlenz del trpezio rettngolo e del rettngolo Se un trpezio rettngolo è circoscrittiile d un circonferenz llor esso è equivlente d un rettngolo vente i lti congruenti lle si del trpezio teorem sull equivlenz del tringolo rettngolo e del rettngolo Un tringolo rettngolo è equivlente l rettngolo i cui lti sono congruenti i due segmenti in cui l ipotenus è divis dl punto di conttto con l circonferenz inscritt nel tringolo rettngolo I teorem di Euclide (enuncito secondo l equivlenz) Q In un tringolo rettngolo il qudrto costruito su un cteto è equivlente l rettngolo che h per dimensioni l proiezione del cteto sull ipotenus e l ipotenus stess R Q è equivlente d R Se il qudrto costruito su un lto minore di un tringolo è equivlente l rettngolo che h per dimensioni l proiezione del lto minore sul lto mggiore e il lto mggiore llor il tringolo è rettngolo Q II teorem di Euclide (enuncito secondo l equivlenz ) In un tringolo rettngolo il qudrto costruito sull ltezz reltiv ll ipotenus è equivlente l rettngolo che h per dimensioni le proiezioni dei cteti sull ipotenus R Q è equivlente d R Se il qudrto costruito sull ltezz reltiv l lto mggiore di un tringolo è equivlente l rettngolo che h per dimensioni le proiezioni degli ltri due lti sul lto mggiore llor il tringolo è rettngolo teorem di Pitgor Q1 Q2 In un tringolo rettngolo il qudrto costruito sull ipotenus è equivlente ll somm dei qudrti costruiti sui cteti Q Q è equivlente Q 1+ Q 2 Se il qudrto costruito sul lto mggiore di un tringolo è equivlente ll somm dei qudrti costruiti sugli ltri due lti llor il tringolo è rettngolo v di 21

17 Grndezze omogenee e Grndezze proporzionli teorem sull incommensurilità tr il lto del qudrto e l su digonle Il lto del qudrto e l su digonle sono segmenti incommensurili Osserv che: Il rpporto tr il lto del qudrto e l su digonle è un numero irrzionle, cioè un numero decimle con infinite cifre diverse dopo l virgol Se e sono due grndezze commensurili llor può essere: 1. un numero intero 2. un numero decimle con finite cifre dopo l virgol 3. un numero periodico Se e sono due grndezze incommensurili llor è un numero decimle con infinite cifre diverse dopo l virgol teorem sul rpporto di grndezze commensurili Se il rpporto di due grndezze omogenee è un numero rzionle llor le due grndezze sono commensurili Il rpporto di due grndezze commensurili è un numero rzionle Il rpporto di due grndezze incommensurili è un numero irrzionle teorem fondmentle sull proporzionlità : = : : = c : d ondizione necessri e sufficiente ffinché quttro grndezze due due omogenee sino in proporzione è che lo sino le loro misure teorem sull qurt proporzionle : = : = Assegnte tre grndezze se le prime due sono omogenee tr loro llor esiste ed è unic l qurt grndezz omogene con l terz che è qurt proporzionle dopo le tre riterio generle di proporzionlità Se Se c c llor llor ondizione necessri e sufficiente ffinché le grndezze di due clssi in corrispondenz iunivoc sino direttmente proporzionli è che: grndezze uguli in un clsse corrispondono grndezze uguli dell ltr ll somm di due o più grndezze qulsisi di un clsse corrisponde l somm delle grndezze corrispondenti dell ltr clsse teoremi sui rettngoli proporzionli lle si : 28 = 2 : 7 I rettngoli venti ltezze congruenti sono proporzionli lle rispettive si I rettngoli venti si congruenti sono proporzionli lle rispettive ltezze v di 21

18 teorem sugli elementi proporzionli in un cerchio β α : = α : β Gli rchi di uno stesso cerchio o di cerchi congruenti sono proporzionli i rispettivi ngoli l centro : 6 = 2 : : 4 = 6 : 8 9 : 16 = 36 : 64 teorem sui rettngoli equivlenti e sui segmenti in proporzione Se quttro segmenti sono in proporzione llor il rettngolo che h per lti i segmenti estremi dell proporzione è equivlente l rettngolo che h per lti i segmenti medi dell proporzione Se due rettngoli sono equivlenti llor due lti consecutivi dell uno sono i medi e i due lti consecutivi dell ltro sono gli estremi di un stess proporzione teorem sui segmenti e sui qudrti in proporzione Se quttro segmenti sono in proporzione llor i qudrti costruiti su di essi sono in proporzione teorem di Tlete : = : Dto un fscio di rette prllele tglito d due trsversli i segmenti determinti su un trsversle sono proporzionli i corrispondenti segmenti sull ltr trsversle A P P : P = A : A teorem sull isettrice dell ngolo interno di un tringolo L isettrice dell ngolo interno di un tringolo divide il lto opposto in prti proporzionli gli ltri due lti Se un punto interno d un lto di un tringolo divide il lto in prti proporzionli gli ltri due lti llor l congiungente il punto con il vertice opposto è l isettrice dell ngolo compreso tr gli ltri due lti del tringolo teorem sull isettrice dell ngolo esterno di un tringolo P Se l isettrice di un ngolo esterno di un tringolo incontr il prolungmento del lto opposto in un punto llor le distnze di questo punto dgli estremi di quel lto sono proporzionli gli ltri due lti A AP : P = A : Se un punto del prolungmento di un lto di un tringolo è tle che le sue distnze dgli estremi di quel lto sono proporzionli gli ltri lti llor l congiungente questo punto con il vertice opposto è l isettrice del corrispondente ngolo esterno del tringolo v di 21

19 A P P AP : P = P : P corollrio del teorem di Tlete Se un rett è prllel d un lto di un tringolo llor sulle rette degli ltri due lti si determinno segmenti proporzionli Se un rett determin sui due lti di un tringolo segmenti proporzionli llor ess è prllel l terzo lto A D teorem di Tolomeo Se un qudriltero è inscritto in un circonferenz llor il prodotto delle misure delle digonli è congruente ll somm dei prodotti delle misure dei lti opposti Se il prodotto delle misure delle digonli di un qudriltero è congruente ll somm dei prodotti delle misure dei lti opposti llor il qudriltero è inscrittiile in un circonferenz P P A PP è simile d A teoremi sull similitudine teorem fondmentle dell similitudine Se un rett pssnte per un lto di un tringolo è condott prllelmente d un ltro suo lto llor l rett determin un tringolo simile l tringolo inizile I criterio di similitudine Se due tringoli hnno gli ngoli congruenti llor essi sono simili A A A è simile d A Se due tringoli hnno due ngoli congruenti llor essi sono simili II criterio di similitudine A A A è simile d A Se due tringoli hnno due lti in proporzione e gli ngoli tr essi compresi congruenti llor essi sono simili III criterio di similitudine A A A è simile d A Se due tringoli hnno i tre lti ordintmente in proporzione llor essi sono simili v di 21

20 I teorem di Euclide (enuncito secondo l proporzionlità) A H AH : A = A : A In un tringolo rettngolo un cteto è medio proporzionle tr l proiezione del cteto sull ipotenus e l ipotenus stess II teorem di Euclide (enuncito secondo l proporzionlità) A H AH : H = H : H In un tringolo rettngolo l ltezz reltiv ll ipotenus è medi proporzionle tr le proiezioni dei cteti sull ipotenus teorem delle ltezze A H A H A : A = H : H 2p 2p A A 2p : 2p = A : A Se due tringoli sono simili llor le si stnno tr loro come le rispettive ltezze teorem dei perimetri Se due tringoli sono simili llor i perimetri stnno tr loro come due lti omologhi In generle: Se due poligoni sono simili llor i perimetri stnno tr loro come di due lti omologhi S S A A S : S = (A) 2 : (A ) 2 teorem delle ree Se due tringoli sono simili llor le ree stnno tr loro come i qudrti di due lti omologhi In generle: Se due poligoni sono simili llor le ree stnno tr loro come i qudrti di due lti omologhi I teorem dei poligoni regolri P P Se due poligoni sono regolri e hnno lo stesso numero di lti llor essi sono simili P simile P v di 21

21 teorem dell isettrice A P In ogni tringolo il prodotto delle misure di due lti è congruente l qudrto dell misur dell isettrice dell ngolo d essi formto umentto del prodotto delle misure dei segmenti in cui tle isettrice divide il terzo lto A D P teorem delle corde Se due corde di un stess circonferenz si intersecno in un punto llor i segmenti formti su un stess cord sono medi e i segmenti formti sull ltr cord sono estremi di un stess proporzione AP : PD = P : P Se due segmenti si intersecno in un punto tle che le prti pprtenenti d uno stesso segmento sono medi o estremi di un proporzione llor gli estremi dei segmenti dti pprtengono ll stess circonferenz P A D PA : PD = P : P T P : PT = PT : P r P teorem delle secnti Se d un punto esterno d un circonferenz si conducono due secnti llor l inter secnte e l su prte estern sono i medi e l ltr secnte inter e l su prte sono gli estremi dell proporzione Se due segmenti consecutivi m non dicenti sono tli che un segmento e un su prte sono medi proporzionli tr l ltro segmento e un su prte llor i quttro punti estremi non comuni dei quttro segmenti in proporzione pprtengono ll stess circonferenz teorem dell tngente e dell secnte Se d un punto esterno d un circonferenz si conduce un tngente e un secnte llor il segmento di tngenz è medio proporzionle tr l inter secnte e l su prte estern Se un punto di uno di due segmenti consecutivi m non dicenti è tle che determin due prti estremi proporzionli ll ltro segmento llor l ltro segmento è tngente ll circonferenz pssnte per i tre estremi non comuni dei segmenti teorem sul lto del decgono regolre Il lto del decgono regolre inscritto in un circonferenz è congruente ll sezione ure del rggio il lto è medio proporzionle tr il rggio e l differenz tr il rggio e il lto cioè teorem sul lto del pentgono regolre r r Il lto del pentgono regolre è congruente ll ipotenus di un tringolo rettngolo vente per cteti il rggio dell circonferenz inscritt e l sezione ure del lto del pentgono stesso v di 21