CONCETTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA. Punto. Punto. Linea. Piano. La linea retta. Piano PAGINA 1

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Letizia Lupi
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1 NTTI PRIMITIVI LL MTRI Il punto è un entità geometric priv di dimensione. Si indic con un letter miuscol dell lfbeto ltino. sso si individu d intersezioni di linee rette o di rchi o nche d mbedue. L line è un figur geometric definit dl moto di un punto. Prevede un sol dimensione: l lunghezz.può essere rett, spezzt, curv e mist e si indic sempre con un letter minuscol ltin. Punto rett semirett o semirett b o segmento Punto Line L rett è un insieme infinito di punti disposti nelle stess direzione. eometricmente è individut d intersezioni di pini e si indic con lettere minuscole ltine. L line rett curv L line spezzt pert Pino L semirett è un prte dell rett divis d un punto chimto origine Il segmento è prte di un rett compres d due punti chimti estremi del segmento. Viene indicto con un letter minuscol mentre gli estremi vengono designti con lettere miuscole entrmbe dell lfbeto ltino. Il pino è un superficie illimitt. Si determin con tre punti non llineti, con due rette prllele o incidenti e con un punto e un rett. Viene indicto con lettere minuscole greche (lf), b(bet),d(gmm) ecc. Il semipino è un prte di pino delimitt d un rett o d un pino. Pino spezzt mist Semipino L line spezzt chius Semipino MTRI PIN PIN

2 RTT NLI Rette prllele, sono rette pprtenenti d uno stesso pino e non venti punti in comune. Rette incidenti, sono rette venti un punto in comune. Rette perpendicolri, sono rette incidenti che dividono il pino in quttro ngoli retti (90 ). Rette sghembe, rette non complnri e non venti punti in comune. rette prllele b vertice b lto b 90 P rette incidenti rette perpendicolri Rette ngoli ngolo, ciscun delle due prti di pino delimitte d due semirette venti l origine comune. Le due semirette si chimno lti dell ngolo e il loro punto comune vertice. ngolo convesso, è l ngolo che non contiene i prolungmenti dei suoi lti ngolo concvo, è l ngolo che contiene i prolungmenti dei suoi lti. ngolo pitto, è l ngolo costituito d semirette opposte che dividono il pino in due semipini. sso misur 80. ngolo giro, è l ngolo costituito d semirette coincidenti, comprende tutto il pino e misur 60. ngolo retto, è l metà di un ngolo pitto e misur 90. ngolo cuto, è < minore di un ngolo retto. ngolo ottuso, è > mggiore di un ngolo retto. ngoli complementri, ngoli l cui somm è ugule d un ngolo retto (90 ). ngoli supplementri, ngoli l cui somm è ugule d un ngolo pitto (80 ) ngoli esplementri, ngoli l cui somm è ugule d un ngolo giro(60 ) ngoli consecutivi hnno in comune un vertice e un lto ngoli dicenti sono consecutivi e i due lti non in comune pprtengono d un stess rett b 6 rette sghembe 6 ngoli consecutivi 5 90 ngolo retto ngoli complementri 5 v ngolo convesso ngolo concvo 9 ngolo cuto ngoli supplementri lto b 80 b ngoli dicenti b ngolo giro 60 ngolo ottuso ngoli esplementri MTRI PIN PIN

3 SLUZINI MTRI Trovre l sse del segmento (sso è l perpendicolre nel punto medio) Trccire due rchi di egule rggio > / con centro negli estremi e. L rett pssnte per i punti e risult l sse del segmento. ondurre l perpendicolre l punto, estremo del segmento. Trccire un semicerchio puntndo in, punto qulsisi pssnte per estremo. Unire i punti e prolungndo il segmento sino d intersec-re il semicerchio si definisce il punto. Il seg-mento risulterà perpendicolre l segmento. Trccire un rett prllel d un rett dt d un distnz convenut. efinire due perpendicolri ll rett dt per i punti e,scelti cso, quindi riportre l dimensione desidert sulle due rette e definire i punti e. Unendo i punti e si definisce l prllel richiest. M r 5 ' ' ' ' 5' 90 o P v s r d Soluzioni geometriche ivisione del segmento in un numero qulsisi di prti uguli (ppliczione del teorem di Tlete) ondurre d l semirett r con un ngolo picere. ividere l semirett in un numero de-finito di prti uguli. Unire gli estremi e e trccire rette prllele ll per i punti,,,, 5. I punti,,, e 5 sono i punti di divisione del segmento in prti uguli. Trccire l bisettrice di un ngolo qulsisi. Trccire l rco - di centro. eterminre il punto P intersezione di due rchi uguli trcci-ti di punti e. L semirett uscente dl pun-to pssnte per P è l bisettrice dell ngolo dto. ivisione di un ngolo retto in tre prti uguli escrivere un rco con centro nel vertice V e rggio picere. entrndo nei punti interse s r o zione e con lo stesso rggio si trovno i punti e. Le rette uscenti dl vertice V pssnti per i punti e dividono l ngolo in tre prti uguli. Punto di tngenz di un rett d un circonferenz Per determinre il punto di tngenz di un rett con un circonferenz occorre trccire il rggio perpendicolre ll rett dt. L intersezione rppresent il punto di tngenz. In un cerchio l sse di un cord qulsisi pss per il centro L sse di un cord di un cerchio psserà inevitbilmente per il centro del cerchio perché esso è equidistnte d e isegnre le tngenti d un circonferenz pssnti per un punto esterno P Unire il punto P con, centro dell circonferenz e trovre il suo punto medio, utilizzndo l costruzione dell sse di un segmento. Quindi con centro in M trccire un rco di cerchio intersecndo l circonferenz nei punti e. Le semirette uscenti dl punto P e pssnti per i punti e costituirnno le tngenti l cerchio. M P MTRI PIN PIN

4 cteto TRINLI TRINMTRI TRINLI efinizione: il tringolo è un prte di pino delimitt d tre segmenti due due consecutivi. rtteristiche dei tringoli in bse ll lunghezz dei lti. Tringolo equiltero: lti uguli. Tringolo isoscele: due lti uguli. Tringolo scleno: lti disuguli. LSSIIZIN I TRINLI RISPTT I LTI LSSIIZIN I TRINLI h h h QUILTR ISSL SLN ipotenus rtteristiche dei tringoli in bse lle mpiezze degli ngoli. L somm degli ngoli interni di un tringolo è di 80 - in ogni tringolo due ngoli sono certmente cuti e second dell mpiezz del terzo vremo: Tringolo rettngolo: ngolo retto (90 ). Tringolo ottusngolo: ngolo ottuso (>90 ). Tringolo cutngolo: ngolo cuto (>90 ). ltezze, bisettrici, ssi, medine e loro punto di intersezione. L ltezz di un tringolo è l semirett perpendicolre condott d un vertice l lto opposto; il punto di intersezione delle tre ltezze è denominto ortocentro L bisettrice di un tringolo è l semirett che uscendo d un vertice divide l ngolo in due prti uguli; il punto di intersezione delle tre bisettrici è denominto incentro. L medin di un tringolo è l semirett che uscendo d un vertice divide il lto opposto in due prti uguli; il punto di intersezione delle tre medine è denominto bricentro. L sse di un tringolo è l semirett perpendicolre d un lto nel suo punto medio; il punto di intersezione dei tre ssi è denominto circocentro (centro del cerchio che h per rggio l distnz circocentrovertice). RISPTT LI NLI RTNTR (punto d'incontro delle ltezze)... NNI TRINMTRII c b b UTNL INNTR (punto d'incontro delle bisettrici) 90 cteto RTTNL RINTR (punto d'incontro delle medine) IRNTR (punto d'incontro degli ssi dei lti) In un tringolo rettngolo, un cteto è ugule ll ipotenus per il seno dell'ngolo opposto l cteto stesso. oppure ugule ll'ipotenus = c sen = b cotg b = c cosb In un tringolo rettngolo' un cteto è ugule ll'ltro cteto per l tngente dell'ngolo opposto = b tg L tngente di un ngolo cuto di un tringolo è ugule l rpporto fr il cteto opposto, e l'ltro cteto MTRI PIN TRINLI PIN

5 PIN 5 MTRI PIN I L PLINI INSRITTI

6 PIN 6 MTRI PIN I L lto lto lto lto lto lto PLINI T IL LT

7 PLINI I N. LTI STRUZIN I UN PLIN T L MISUR L LT IL NUMR I LTI N.. Per costruire poligoni dto il lto e il numero dei lti si riport sull verticle, prtendo dl punto, /6 dell misur del lto pri l numero dei lti del poligono d disegnre numerndoli inizindo d 7 e continundo progressivmente Rggio esgono : Rggio ettgono: 7 Rggio enngono: 9 Rggio undecgono: M SUIVISIN I UN IRNRNZ I RI T IN UN NUMR N I LTI UULI 5 Si divide il dimetro verticle per il numero dei lti del poligono. Si trcci il dimetro orizzontle prolungndolo verso destr. Si trcci un rco di circonferenz dl punto con pertur sino d incontrre il punto. l punto fuori esce un semirett pssnte per il punto sino ll circonferenz. risulter' il lto del poligono cercto. (In questo cso del dodecgono. ) _ MTRI PIN PIN 7

8 SPIRLI PLINTRI ' ' ' 8 5 ' ' 7 6 5' 7' 6' MTRI PIN PIN 8

9 L IRNRNZ L SU IVISINI cerchio circonferenz semicerchio semicirconferenz rco rggio dimetro cord frecci qudrnte segmento circolre due bsi circonfernze esterne segmento circolre coron circolre settore circolre circonfernze tngenti circonfernze secntii circonfernze tngenti interne circonfernze concentriche MTRI PIN PIN 9

10 VLI VLI sse mggiore 5 6 sse minore sse minore sse mggiore MTRI PIN PIN 0

11 LLISSI P L M Q 90 LLISS : ssi coniugti ti due ssi coniugti, trovre l'sse mggiore l'sse minore dell'ellisse. li ssi coniugti sono: e l punto si conduce l perpendicolre ll'sse ; su quest si riport l lunghezz L =. Si unisce L con e se ne trov il punto medio M; Si centr in M con pertur M, fino d intersecre il segmento M nei punti P e Q. I segmenti Q e P sono le direzioni degli ssi dell'ellisse, mentre Q e P sono le dimensioni dei semissi cercti. ostruzione dell'llisse dti i due ssi e ostruire l'llisse con Stiner ostruire l'llisse con i rggi vettori o rggi focli ti gli ssi trovre i fuochi. on rggio puntre il compsso in e trccire l'rco di cerchio llisse per tre punti MTRI PIN PIN

PRL I L M N 5 6 7 8 9 0 P Q R S T U Z direttrice V

12 PRL I L M N P Q R S T U Z direttrice V direttrice fuoco vertice rggio vettore sciss ordint sse V MTRI PIN PIN

13 IPRL I L M N P Q R S T U V V Z sintoto sintoto V : vertice : fuoco sse trverso V sse non trverso V sintoto Rggio vettore sse sintoto MTRI PIN PIN

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