D5. Ellisse, iperbole e luoghi geometrici
|
|
- Angelica Costa
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 D5. Ellisse, iperbole e luoghi geometrici D5.1 Definizione di ellisse come luogo di punti Definizione: un ellisse è formt dll insieme dei punti l cui somm delle distnze d due punti detti fuochi è costnte. In figur D5.1 l somm delle lunghezze d 1 e d è costnte per tutti i punti P fcenti prte dell ellisse. P d 1 d F 1 F Fig. D5.1 Definizione di ellisse. Per fcilità qundo si trtt questo rgomento lle scuole superiori i due fuochi vengono presi sull sse delle o sull sse delle. L equzione di un ellisse è rppresent l lunghezz del semisse sull sse. b rppresent l lunghezz del semisse sull sse. c = b rppresent l distnz dei fuochi dll origine. + = 1 b e = c è l eccentricità dell ellisse, e rppresent qunto l ellisse è llungt. L eccentricità è un vlore compreso tr 0 e 1. Per e che si vvicin 0 l ellisse divent sempre più simile un circonferenz. Per e che si vvicin 1 l ellisse divent strett e lung. + =1 b V 3 (0;b) b V 1 (-;0) F 1 (-c;0) F (c;0) V (;0) V 4 (0;-b) Fig. D5. Ellisse, fuochi e vertici. Osservzione: Se >b per c vle l formul dett sopr, ossi c = b, se =b si h un circonferenz con centro nell origine e rggio r==b, se <b llor c = b e i fuochi si trovno sull sse delle e non sull sse delle. Teori D5-1
2 L ellisse è un form presente in ntur: l terr ruot ttorno l sole seguendo un orbit form di ellisse. Il sole si trov in uno dei fuochi. Qundo l ellisse è stt studit (d Apollonio di Perg nel III secolo.c.) ncor ciò non si spev (fu Newton studire le triettorie dei corpi celesti nel XVII secolo d.c., ossi 000 nni dopo). Questo è uno dei tnti esempi nei quli l mtemtic h studito rgomenti molto prim che se ne trovssero ppliczioni prtiche. Il Colosseo e Pizz Sn Pietro sono stti costruiti form di ellisse. In ottic un rggio di luce che prte d un fuoco e si riflette internmente ll ellisse pss per l ltro fuoco. Anche l prbol è presente in ntur: gli oggetti in cdut liber seguono triettorie form di prbol. In ottic l proprietà dell prbol è che tutti i rggi di luce prlleli ll sse che si riflettono internmente ll prbol sono tutti riflessi verso il fuoco (e vicevers). E per questo che le stzioni per l trsmissione televisiv o rdiofonic utilizzno prbole. Ed è sempre per quest proprietà che per l ricezione stellitre si utilizzno strumenti di ricezione chimti prbole, che sono sempre più diffuse sui tetti delle cse. D5. L ellisse: rppresentzione grfic e ltri rgomenti RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Dt l equzione di un ellisse + = 1 per rppresentrl grficmente si devono trovre i semissi. Tutto ciò è b molto semplice, bst clcolre (che è l rdice del denomintore di ) e b (che è l rdice del denomintore di ). Esempio D5.1: Trovre i semissi e l eccentricità dell ellisse + = Dt l ellisse crtesini i punti che delimitno l ellisse sui semissi, ossi (5;0), (-5;0), (0;4) e (0;-4) e unire tli punti. + = si ricv =5 e b =16, dunque =5 e b=4. Per trccire l ellisse si segnno sugli ssi Poiché c = 5 16 = 9 = 3 i fuochi sono (3;0) e(-3;0). L eccentricità è e=c /=3/5=0,6=60%. Quest ellisse è proprio quell rppresentt nell pgin precedente in figur D.. Esempio D5.: Trovre i semissi dell ellisse 9 +4 =36. Quest ellisse è dt in un form differente, quindi si deve trsformrl nell form usule. L equzione dell ellisse è dt con un 1 secondo membro. Per ottenere ciò prtendo dll equzione dt 9 +4 =36 si devono dividere mbo i membri per il termine noto: = 36 + =, e semplificndo + = 1, d cui = 4 = e b = 9 = 3. Esempio D5.3: Trovre i semissi dell ellisse =4. Anche in questo cso si deve trsformre nell form usule l ellisse dt. Si dividono mbo i membri per = 4 + = + = 1 + = 1 d cui = 1 e b = = 3 3 = INTERSEZIONI TRA ELLISSE E RETTA. Un ellisse e un rett si possono incontrre in due punti, in 1 punto o in nessun punto. punti di conttto (rett secnte) 1 punto di conttto (rett tngente) 0 punti di conttto (rett estern) Fig. D5.3 Intersezioni tr ellisse e rett. Per trovre i punti di conttto bst risolvere il sistem formto dlle equzioni di rette e ellisse. Con il sistem si trovno ovvimente nche i punti di intersezione con circonferenze, prbole e ogni ltr curv. TROVARE LE RETTE TANGENTI A UNA ELLISSE PASSANTI PER UN PUNTO. Dt un ellisse e un punto è possibile che ci sino due rette tngenti ll ellisse pssnti per il punto, 1 rett tngente o nessun. Ciò dipende dlle posizioni reciproche di ellisse e punto. Teori D5-
3 rette tngenti 1 rett tngente nessun rett tngente Fig. D5.4 Rette tngenti un ellisse. Il procedimento per determinre le rette tngenti è sempre lo stesso già visto per prbol e circonferenz. Si scrive il sistem tr l ellisse e il fscio di rette pssnti per il punto dto - 1=m(- 1). Risolvendo il sistem viene fuori un equzione di secondo grdo letterle che non v risolt. Si pone il =0 (dove =b -4c). Si risolve e si trovno i vlori di m. Si sostituiscono i vlori di m trovti in - 1=m(- 1) e si trovno così le rette tngenti. Se si trovno due vlori di m ci srnno due rette tngenti, se se ne trov uno ci srà un rett tngente. Se non se ne trovno non ci srnno rette tngenti. APPARTENENZA DI UN PUNTO. Un punto pprtiene ll ellisse se sostituendo le sue coordinte nell equzione dell ellisse si ottiene un identità (niente di nuovo, vle nche per tutti gli ltri grfici ) COME TROVARE L EQUAZIONE DI UNA ELLISSE. Nell equzione ci sono solo due prmetri e b. Per trovrli servono quindi due condizioni d mettere sistem. Si conosce il Fuoco (c;0). condizione: c = b Si conosce un Vertice (;0) o (0;b) condizione: si conosce il vlore di o di b. Si conosce uno dei due semissi condizione: si conosce il vlore di o di b. Si conosce un PUNTO ( 0; 0) sostituire i vlori 0 e 0 nell eq. generic dell ellisse + = 1. b Si conosce un RETTA TANGENTE =m+q In questo cso si impost il sistem tr l rett tngente =m+q e l equzione generic dell ellisse. Si trov un equzione di secondo grdo che non v risolt m si pone il =0, che è l condizione richiest. Si conosce l eccentricità condizione: e = c. D5.3 Definizione di iperbole come luogo di punti Def. Un iperbole è formt dll insieme dei punti l cui differenz delle distnze d due punti detti fuochi è costnte. In figur quindi l differenz delle lunghezze d 1 e d è costnte per tutti i punti P fcenti prte dell iperbole. A differenze delle ltre curve viste finor è formt d due rmi. NON SONO DUE IPERBOLI, m sono DUE RAMI dell stess iperbole. P d d 1 F 1 F Fig. D5.5 Definizione di iperbole. Per fcilità qundo si trtt questo rgomento lle scuole superiori i due fuochi vengono presi sull sse delle o sull sse delle. L equzione di un iperbole è b = 1 rppresent l distnz del vertice sull sse. costruendo il rettngolo in figur b rppresent l lunghezz del semisse sull sse. Teori D5-3
4 c = + b rppresent l distnz dei fuochi dll origine. = ± b sono le equzioni delle due rette cui il grfico dell iperbole si vvicin sempre più senz toccrle mi. Sono dette ASINTOTI dell iperbole. e = c è l eccentricità. - =1 b b sintoti = ± (0;b) b F 1 (-c;0) V(-;0) V(;0) F (c;0) (0;-b) Fig. D5.6 Grfico di iperbole con vertici, fuochi e sintoti. Un iperbole è dett equilter se =b. E possibile trccire iperboli equiltere che bbino come sintoti rette prllele gli ssi. L equzione di un iperbole equilter con sintoti prlleli gli ssi è: = + b. (c 0) c + d Tle equzione è spesso dett funzione omogrfic. = è l sintoto orizzontle. c = d è l sintoto verticle. c Se =0 e d=0 llor gli sintoti sono proprio gli ssi. +b = c+d = c d =- c Fig. D5.7 Iperbole equilter con sintoti prlleli gli ssi. Osservzione: Teori D5-4
5 Se = 1 llor c = + b e i fuochi si trovno sull sse delle e non sull sse delle. In questo cso b l eccentricità non si clcol più con l formul e = c m con l formul e = c. b L eccentricità è un vlore sempre mggiore di 1. Per le iperboli equiltere l eccentricità h vlore. L iperbole è un form presente in ntur: le comete che entrno solo un volt nel sistem solre prim di llontnrsi per sempre dopo un unico pssggio in prossimità del sole descrivono triettorie form di iperbole. D5.4 l iperbole: rppresentzione grfic e ltri rgomenti RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Dt l equzione di un iperbole per rppresentrl grficmente si devono trovre i semissi. Tutto ciò è molto semplice, bst clcolre (che è l rdice del denomintore di ) e b (che è l rdice del denomintore di ). Esempio D5.4: Trovre i semissi e l eccentricità dell iperbole = Dt l iperbole = 1 si ricv che =9 e b =16, d cui =3 e b=4. Bst trccire i punti che delimitno l ellisse 9 16 sui semissi, ossi (3;0), (-3;0), (0;4) e (0;-4) e disegnre un rettngolo per ottenere gli sintoti. Per trccirne il grfico prtire di vertici (3;0), (-3;0) e vvicinrsi gli sintoti senz toccrli. Poiché c = = 5 = 5 i fuochi sono (5;0) e(-5;0). L eccentricità è e=c /=5/ %. Quest iperbole è proprio quell rppresentt in figur D5.6. Esempio D5.5: Trovre i semissi dell iperbole 9-4 =36. Dt l iperbole 9-4 =36 per trovre e b occorre trsformrl nell form usule. Per questo si dividono mbo i membri per il termine noto: = 36 =, e semplificndo = 1, d cui = 4 = e b = 9 = 3. Si noti che l iperbole è del tipo Esempio D5.6: Trovre i semissi dell iperbole =4. = 1 con i fuochi sull sse. b Come nell esempio precedente si dividono mbo i membri per = 4 = = 1 = 1 d cui Teori D5-5 = 3 3 e b = 4 3 = 3 3 = 3. Per le iperboli equilteri con sintoti prlleli gli ssi si usno le formule viste per trccire gli sintoti e poi bst trovre qulche punto ssegnndo vlori lle e trovndo i corrispondenti vlori delle. INTERSEZIONI. Un iperbole e un rett si possono incontrre in due punti, in 1 punto o in nessun punto. Per trovre i punti di conttto bst risolvere il sistem formto dlle equzioni di rett e iperbole. Con il sistem si trovno ovvimente nche i punti di intersezione tr circonferenze, prbole e ogni ltr curv. TROVARE LE RETTE TANGENTI A UNA IPERBOLE PASSANTI PER UN PUNTO. Dt un iperbole e un punto è possibile che ci sino due rette tngenti ll iperbole pssnti per il punto, 1 rett tngente o nessun. Ciò dipende dlle posizioni reciproche di iperbole e punto. Il procedimento è sempre lo stesso già visto per prbol, ellisse e circonferenz. Si scrive il sistem tr l iperbole e il fscio di rette pssnti per il punto dto - 1=m(- 1). Risolvendo il sistem viene fuori un equzione di secondo grdo letterle che non v risolt. Si pone il =0 (dove =b -4c). Si risolve e si trovno i vlori di m. Si sostituiscono i vlori di m trovti in - 1=m(- 1) e si trovno così le rette tngenti. Se si trovno quindi due vlori di m ci srnno due rette tngenti, se se ne trov uno ci srà un rett tngente. Se non se ne trovno non ci srnno rette tngenti. APPARTENENZA DI UN PUNTO. Un punto pprtiene ll iperbole se sostituendo le sue coordinte nell equzione dell ellisse si ottiene un identità (niente di nuovo, vle nche per tutti gli ltri grfici). COME TROVARE L EQUAZIONE DI UNA IPERBOLE. Nell equzione ci sono solo due prmetri e b. Per trovrli servono quindi due condizioni d mettere sistem.
6 Si conosce il Fuoco (c;0) condizione: c = + b. Si conosce uno dei due semissi o dei vertici condizione: si conosce il vlore di o di b. Si conoscono gli sintoti condizione: si conosce il vlore di b. Si conosce un PUNTO ( 0; 0) sostituire i vlori 0 e 0 nell eq. generic dell iperbole = 1. b Si conosce un RETTA TANGENTE =m+q. In questo cso si impost il sistem tr l rett tngente =m+q e l equzione generic dell iperbole. Si trov un equzione di secondo grdo che non v risolt m si pone il =0, che è l condizione richiest. Si conosce l eccentricità condizione: e = c. COME TROVARE L EQUAZIONE DI UNA IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AGLI ASSI. L formul di un iperbole equilter con sintoti prlleli gli ssi è = + b. c + d In reltà non serve trovre, b, c e d perché dividendo tutto per c si ottiene: + b = c c = h + k con h =, k c + d + = b, l = d e bst trovre h, k e l. l c c c c c Si conosce uno dei due sintoti condizione: si conosce il vlore di h = o di l = d. c c Si conosce un PUNTO ( 0; 0) sostituire i vlori 0 e 0 nell eq. generic dell iperbole = h + k. + l Si conosce un RETTA TANGENTE =m+q. In questo cso si impost il sistem tr l rett tngente =m+q e l equzione generic dell iperbole. Si trov un equzione di secondo grdo che non v risolt m si pone il =0, che è l condizione. D5.5 Le coniche Dopo l rett si sono studite le equzioni di prbol, circonferenz, ellisse e iperbole. Sono tutte equzioni di secondo grdo in due incognite. Apprtengono ll fmigli delle curve CONICHE, studite d Apollonio di Perg nel III sec..c. Ai tempi degli ntichi greci non esistev l lgebr come l conoscimo oggi, quindi tutti i risultti trovti d Apollonio rigurdno l form geometric di tli curve. L ide di Apollonio è l seguente: si prend un cono infinito (in mbo le direzioni) e lo si tgli con un pino. L sezione che ne risult è un conic. A second dell inclinzione del pino si vrà un cerchio, un ellisse, un prbol, un iperbole. Se il pino pss per l origine del cono llor si hnno delle coniche degeneri. Fig. D5.8 Coniche come intersezioni tr pino e cono. Le coniche si rppresentno lgebricmente (m questo è stto scoperto molto tempo dopo) per mezzo di equzioni di secondo grdo in due vribili, ossi: +b +c+d+e+f=0 Al vrire dei sei prmetri, b, c, d, e, f si ottengono tutte le coniche possibili del pino incluse le degeneri, m l trttzione di questo rgomento esul dll trttzione. Un ultim osservzione rigurd l posizione dei fuochi. Si cerchi di immginre come cmbi l conic spostndo uno dei due fuochi. Si prte d un circonferenz, quindi con i fuochi coincidenti nel centro. L figur D5.9 rppresent questo concetto in mnier intuitiv, non ne viene dt l dimostrzione. Teori D5-6
7 Circonferenz. Si spost verso destr un fuoco e si ottiene un ellisse. Spostndo ulteriormente il fuoco l ellisse si llung. Spostndo il fuoco ll infinito si ottiene un prbol. Il fuoco torn dll ltro lto e l curv divent un iperbole. Fig. D5.9 Coniche l vrire dei fuochi. D5.6 Luoghi geometrici Un luogo geometrico è l insieme dei punti del pino per cui vle un cert proprietà. Quindi sono luoghi geometrici l rett, l prbol, l ellisse, l circonferenz e l iperbole. Il problem che si vuole ffrontre è: come trovre l equzione di un luogo geometrico prtire dll proprietà. Ecco due esempi: Esempio D5.7 PARABOLA: L prbol è l insieme dei punti equidistnti dl fuoco e dll direttrice. Teori D5-7
8 Si un punto dell prbol generico P(, ), il fuoco il punto F( 0, 0) e l direttrice l rett r: =k (-k=0 in form esplicit con =0, b=1 e c=k). Equidistnte vuol dire che l distnz PF e l distnz Pr sono uguli. k PF = ( 0) + ( 0) Pr = = k. 1 Si pongono queste due distnze uguli tr loro. ( ) ( ) + = k ( 0) + ( 0) = ( k ) ( ) + ( ) = ( k) = + k k ( 0) = k k k + k = 0 k 0 = + e p k onendo = b = c = k k k k k k si ottiene = + b + c esttmente come ci si spettv. Non sempre le cose sono così semplici. Si vede qui un ltro esempio. 0 Esempio D5.8: Si il punto A(-1,0) e il punto C(O,k), con k numero rele. Trovre l'equzione del luogo dei punti M ed N comuni ll rett AC e ll circonferenz di centro C e pssnte per O. (Esme concorso ordinrio 90). Rett AC : 0 = + 1 = + 1 = k+ k k + 1 k 1 Circonferenz centro C pssnte per O ( 0) ( ) Il rggio dell circonferenz è l distnz tr C e O ossi k. + k = k I punti comuni si ottengono impostndo il sistem e fcendo sprire k. k k( 1) = = ( 0) ( k) k + = ( 0) + = ( + 1) ( 1) = + = + = + = ( ) ( + 1) = = Tle curv è di qurto grdo e questo è il suo grfico. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fig. D5.10 Grfico dell curv pin = 0 Tli curve sono dette curve pine e di solito non si studino lle scuole superiori. Teori D5-8
9 D5.7 Coordinte polri E possibile determinre univocmente un punto P(,) sul pino senz conoscere le sue coordinte crtesine m conoscendo invece: L su distnz ρ dll origine. L ngolo θ che form l rett OP con l sse. Un punto in coordinte polri è indicto con P(ρ,θ). ρ θ PASSAGGIO DA COORDINATE POLARI A COORDINATE CARTESIANE Conoscendo un punto P(ρ,θ) le sue coordinte crtesine, si ricvno dll trigonometri: =ρcos θ =ρ sin θ PASSAGGIO DA COORDINATE CARTESIANE A COORDINATE POLARI Conoscendo un punto P(,) le sue coordinte polri sono: ρ = + cos θ = ρ sinθ = ρ Inftti ρ si trov con il teorem di Pitgor, mentre θ è espresso in funzione del suo seno e del suo coseno. Esempio D5.9 Trsformre d coordinte polri in coordinte crtesine il punto P, π 3. Il punto cercto è dunque P ( 1, 3). π 1 = cos = = 1 3 = sin π = 3 = 3 3 Esempio D5.10 Trsformre d coordinte crtesine in coordinte polri il punto P ( 1, 1) L ngolo con seno e coseno entrmbi uguli Teori D5-9. ρ = + = ( ) + ( ) = cos 1 1 θ = = = = ρ sin 1 1 θ = = = = ρ 1 1 è 5 π, per cui il punto cercto è P, 5π 4 4.
10 D5.8 Curve in form prmetric Un curv si dice espress in form prmetric qundo si l che l (o l ρ e l θ) dipendono d un prmetro t. = (t) ρ = ρ(t), = (t) θ = θ(t) EQUAZIONE PARAMETRICA DELLA RETTA = 1 + lt Un rett h equzione prmetric, = 1 + mt in cui ( 1, 1) è un qulsisi punto dell rett e i prmetri l e m fnno le veci del coefficiente ngolre. Se l=0 e m 0 llor l rett rppresentt è verticle (= 1). Se l 0 e m=0 llor l rett rppresentt è orizzontle (= 1). Se l=m=0 llor non è rppresentt un rett m il punto P( 1, 1). Esempio D5.11 = 1 t Si esprim l rett in form implicit. = 3 + t Esempio D5.1 ( ) = 1 t = 1 t = = = 0. = 3+ t t = + 3 t = + 3 t = + 3 t = + 3 Si esprim l rett =3- in form prmetric. = t. = 3t EQUAZIONE PARAMETRICA DELLA CIRCONFERENZA Un circonferenz di centro l origine h equzione prmetric: = rcost, t [0,π], = rsint ed è evidente che r e t fnno le veci di ρ e θ nell rppresentzione polre. Un circonferenz generic di centro ( 0, 0) h equzione prmetric: = 0 + rcost, t [0,π]. = 0 + rsint EQUAZIONE PARAMETRICA DELL ELLISSE Un ellisse di equzione + = 1 h equzione prmetric: b = cost, t [0,π]. = bsint EQUAZIONE PARAMETRICA DELL IPERBOLE Un iperbole di equzione = 1 h equzione prmetric: b = cost, t π, π. = b tgt EQUAZIONE PARAMETRICA DELLA PARABOLA L prbol di equzione = +b+c h ovvimente equzione prmetric: = t. t = + bt + c Qundo l equzione di un curv non è espress in funzione di e m in funzione di ρ e θ si h l equzione in coordinte polri. Esempio D5.13 Si scriv l equzione dell circonferenz =0 in coordinte polri. = rcost =ρcos θ Spendo che si sostituiscono tli vlori nell equzione dell circonferenz, ottenendo: = rsint = ρ sin θ = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ρcos θ + ρsin θ + ρcos θ 4 ρsin θ 15= 0 ρ θ+ρ θ+ ρ θ ρ θ = cos sin cos 4 sin 15 0 ( ) ( ) ( cos 4sin ) 15 0 ρ θ+ θ +ρ θ θ = cos sin cos 4 sin 15 0 ρ +ρ θ θ = Teori D5-10
11 E nlogo il procedimento per le ltre curve. ALTRE CURVE Esempio D5.14 (Spirle di Archimede) Si indic con il termine di Spirle di Archimede l curv: ρ = θ, in cui R + è detto psso dell spirle. Qui lto in figur è rppresentt l spirle con =1. Esempio D5.15 (Crdioide) Si indic con il termine di Crdioide l curv: ( 1 cos ) Qui lto in figur è rppresentt l crdioide con =1. ρ = + θ, in cui R +. Esempio D5.15 (Cissoide di Diocle) Si chim cissoide di Diocle l curv che si ottiene con l seguente costruzione geometric: Dt un circonferenz di dimetro OA=, si conduc per O un rett qulsisi r e d A l tngente d ll circonferenz. L rett r incontr ulteriormente l circonferenz in un punto K e l tngente d in N. Preso su r un segmento OQ ugule in vlore e segno KN, il punto Q, l vrire dell rett r ttorno d O, descrive un curv che si chim Cissoide di Diocle. Ess h equzione =1. ρ = sin θ cos θ ed è qui lto rppresentt nel cso in cui Esempio D5.16 (Lemnisct di Bernoulli) Si chim lemnisct di Bernoulli il luogo geometrico dei punti del pino tli che il prodotto delle loro distnze d due punti fissi F e F, detti fuochi, è ugule l qudrto dell semidistnz focle. Indicndo con c=d(ff ) h equzione crtesin: ( c) ( ) + + c + = c. L equzione in coordinte polri è invece: ρ = ccos θ. ( ) L posizione del sole d un or fisst del giorno descrive nel corso dell nno un triettori che è un lemnisct. Le lemniscte sono per quest rgione utilizzte per l progettzione e l relizzzione delle meridine. Teori D5-11
Ellisse riferita al centro degli assi
Appunti delle lezioni tenute in clsse: ellisse e iperole Ellisse riferit l centro degli ssi Dti due punti F ed F detti fuochi, l ellisse è il luogo geometrico dei punti P del pino per cui è costnte l somm
Dettagli1 COORDINATE CARTESIANE
1 COORDINATE CARTESIANE In un sistem di ssi crtesini (,) un punto P è identificto dll su sciss e dll su ordint : Asciss : distnz di P dll sse delle ordinte Ordint :distnz di P dll sse delle scisse P(-4,4)
DettagliMaturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001
Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +
Dettagli, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:
Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri
DettagliB8. Equazioni di secondo grado
B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere
DettagliEquazioni parametriche di primo grado
Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,
DettagliNome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA
Nome.Cognome. 8 Dicembre 008 Clsse G VERIFICA di MATEMATICA A) Risolvi le seguenti disequzioni goniometriche sin ) sin + ) 0 6 tn cos + sin ) 0 (punti:0,5) ) tn + tn > 0 sin 5) sin > cos (punti: ) 6) sin
DettagliGeometria analitica. punti, rette, circonferenza, ellisse, iperbole, parabola. ITIS Feltrinelli anno scolastico Il piano cartesiano
Geometri nlitic punti, rette, circonferenz, ellisse, iperbole, prbol ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 Il pino crtesino Si dice pino crtesino un sistem formto d due rette perpendicolri che si intersecno
DettagliL IPERBOLE. L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
prof.ss Cterin Vespi 1 Appunti di geometri nliti L IPERBOLE L iperole è il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuohi. Sino F1 e F i
Dettagli{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a.
Prof. Mrgherit Fochi Esercizi per il precorso.- Esercizi sui polinomi Semplificre le seguenti espressioni utilizzndo i prodotti notevoli:. ) ) ) ) ) 8 [ ] 8. ) ) ) ) ] [. ) ) ) [ ] { } y y y y y [ ] 8
DettagliSuperfici di Riferimento (1/4)
Superfici di Riferimento (1/4) L definizione di un superficie di riferimento nsce dll necessità di vere un supporto mtemtico su cui sviluppre il rilievo eseguito sull superficie terrestre. Tle superficie
DettagliEquazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi
Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz
DettagliLa parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE.
L prol In figur è trccito il grfico di un prol con sse di simmetri verticle. Si vede suito dl grfico ce: l curv è simmetric rispetto l suo sse di simmetri il suo punto più in sso è il vertice il vertice
DettagliTEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE
uthor: Ing, Giulio De Meo GEOMETRIA TEOREMI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA ELEMENTARE L somm degli ngoli interni di un poligono di n lti è (n - ) 180. L somm degli ngoli esterni di un qulsisi poligono vle 360.
DettagliFUNZIONI IPERBOLICHE
FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,
DettagliLa parabola con asse parallelo all ady
L prbol con sse prllelo ll dy I Prbol con vertice nell origine degli ssi crtesini I disegni degli esercizi dll 1 l 3 dell sched di lbortorio, sono i seguenti: Quindi il segno del coefficiente di x determin
Dettagliy = Funzioni Lineari : Funzione quadrato: Modulo Funzione omografica (iperbole): Funzioni Potenza: Funzione Esponenziale Funzione Logaritmica
Funzioni Lineri : Funzione qudrto: Modulo Funzione omogrfic (iperbole: Funzioni Elementri 1/ y m + q y + b + y y c + + b d c Funzioni Potenz: y Funzione Esponenzile Funzione Logritmic y y log ( Funzioni
DettagliValore del parametro Tipo di Equazione Soluzioni Equazione di I grado x = 4. Equazione Spuria x 1 = 0 x 2 = 5 Equazione Completa con < 0
Equzioni letterli di II grdo Un equzione letterle di II grdo è un equzione che contiene, oltre l letter che rppresent l incognit dell equzione, ltre lettere, dette prmetri, che rppresentno numeri ben determinti,
Dettagli( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo.
DettagliPOTENZA CON ESPONENTE REALE
PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,
DettagliAnno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti
Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico
DettagliDefinizioni fondamentali
Definizioni fondmentli Sistem scisse su un rett 1 Un rett si ce orientt qundo su ess è fissto un verso percorrenz Dti due punti qulsisi A e B un rett orientt r, il segmento AB che può essere percorso d
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero
DettagliScheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le
Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:
Dettagli5 Geometria analitica
58 Formulrio di mtemtic 5 eometri nlitic 5.1 Punti e rett distnz di due punti d ( ) + ( y y ) 1 1 distnz tr due punti con ugule sciss d y y1 distnz tr due punti con ugule ordint d 1 punto medio di un segmento
DettagliEs1 Es2 Es3 Es4 Es5 tot
Ottore lsse E Verifi sommtiv Cognome Nome rgomenti: onihe, funzione esponenzile e grfii derivti Tempo disposizione: ore Voto Es Es Es Es Es tot.... Considert l ellisse vente ome sse fole l sse, eentriità
DettagliLe Coniche Introduzione storica. Apollonio di Perga Keplero Cartesio
Le Coniche Introduzione storic. Le coniche sono curve studite sin dll ntichità e molti mtemtici hnno dto il loro contriuto llo studio di tli curve. Semr che per primo Menecmo (375-35.C.), un mtemtico greco
DettagliQuadriche in E 3 (C) L equazione cartesiana di una quadrica in coordinate non omogenee (x,y,z)
Qudriche in E (C) L equione crtesin di un qudric in coordinte non omogenee (,,) Q:, +, +, +, +, +, +,4 + +,4 +,4 + 4,4. in coordinte omogenee (,,, 4 ) Q:, +, +, +, +, +, + +,4 4 + +,4 4 +,4 4 + 4,4 4.
Dettagli2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:
Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo
DettagliMATEMATICA Classe Prima
Liceo Clssico di Treiscce Esercizi per le vcnze estive 0 MATEMATICA Clsse Prim Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Per gli llievi promossi
DettagliELEMENTI GEOMETRIA ANALITICA SABO
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA SABO COORDINATE CARTESIANE Ascisse dei Punti di un Rett Dt un rett orientt (verso di percorrenz positivo d sinistr verso destr per rette orizzontli; dl sso verso l lto per
Dettagliasse fuoco vertice direttrice Fig. D3.1 Parabola.
D3. Parabola D3.1 Definizione di parabola come luogo di punti Definizione: una parabola è formata dai punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. L equazione della parabola
DettagliIntegrale definito. Introduzione: il problema delle aree
Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre,
DettagliE U Q A U Z A I Z O I N O I N DI SE S C E O C N O DO
EQUAZIONI DI ECONDO GRADO Riepilogo delle soluzioni in bse l segno di < φ : b > : b b Prof I voi, EQUAZIONI DI ECONDO GRADO EQUAZIONI PURE DI ECONDO GRADO : EEMPI ) ) ) 7 7 ) > φ (impossibile) ) impossibil
DettagliStrumenti Matematici per la Fisica
Strumenti Mtemtici per l Fisic Strumenti Mtemtici per l Fisic Approssimzioni Notzione scientific (o esponenzile) Ordine di Grndezz Sistem Metrico Decimle Equivlenze Proporzioni e Percentuli Relzioni fr
DettagliEquazioni di 2 grado. Definizioni Equazioni incomplete Equazione completa Relazioni tra i coefficienti della equazione e le sue soluzioni Esercizi
Equzioni di grdo Definizioni Equzioni incomplete Equzione complet Relzioni tr i coefficienti dell equzione e le sue soluzioni Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Un equzione è: Un uguglinz
DettagliOsserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.
88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3
DettagliIl problema delle aree. Metodo di esaustione.
INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.
DettagliUniversità degli studi di Cagliari CORSO ANALISI II A.A. 2007/2008. Rappresentazione delle CONICHE e QUADRICHE
Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI II A.A. 007/008 Rppresentzione delle CONICHE e QUADRICHE Rppresentzione delle CONICHE Generlità Si definiscono coniche le curve pine risultto dell intersezione
DettagliEsercitazione di Matematica sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel campo reale
Esercitzione di Mtemtic sulle equzioni di secondo grdo (o d esse riconducibili) nel cmpo rele 1. Risolvere, nel cmpo rele, le seguenti equzioni di secondo grdo: () 81x 0; (b) (x 1) 7x ; (c) 7x x 0; (d)
DettagliAntonella Greco, Rosangela Mapelli. E-Matematica. E-Book di Matematica per il triennio. Volume 1
Antonell Greco, Rosngel Mpelli E-Mtemtic E-Book di Mtemtic per il triennio Volume COPIA SAGGIO Cmpione grtuito fuori commercio d esclusivo uso dei docenti Grmond 009 Tutti i diritti riservti Vi Tevere,
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA In un pino, riferito d un sistem
DettagliCOMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA
COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA PROBLEMI DI APPLICAZIONE DELL'ALGEBRA ALLA GEOMETRIA ) Inscrivere in un semicirconferenz di dimetro r un rettngolo ABCD vente il lto AB sul dimetro
Dettagli2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata
. Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche
Dettaglifattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio
Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore +
DettagliX X Y 2 1 0,5 0,25 Y 0,25 1 2,25 4. Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni
Funzioni Consider le seguenti telle e stilisci se e sono direttmente proporzionli, inversmente proporzionli o se vi è un proporzionlità qudrtic. Scrivi l espressione nlitic delle funzioni e rppresentle
DettagliLaboratorio didattico classi quarte: geometria analitica Anno scolastico: 2013/2014 Attività:
Lbortorio didttico clssi qurte: geometri nlitic Anno scolstico: / Attività: Le \ÇàÜÉwâé ÉÇ L filosofi è scritt in questo grndissimo libro che continumente ci st perto innnzi gli occhi (io dico l'universo),
DettagliTEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.
TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione
DettagliLa bellezza nella Matematica La sezione aurea
L bellezz nell Mtemtic L sezione ure L stori dell sezione ure è ntic tre millenni. Ess rppresent lo stndrd di riferimento e di ispirzione per l perfezione, l grzi e l rmoni in ogni composizione rtistic;
DettagliFunzioni Elementari 1/2
Funzioni Lineri : Funzione qudrto: Modulo Funzione omogric iperbole: Funzioni Elementri / y m q y y y c b c b d Funzioni Potenz: Funzione Esponenzile Funzione Logritmic y y y log Funzioni trigonometriche
DettagliEsponenziali e logaritmi
Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:
Dettagli5. Funzioni elementari trascendenti
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 5. Funzioni elementri trscendenti A. A. 2013-2014 1 FUNZIONI ESPONENZIALI Le più semplici funzioni esponenzili sono le funzioni f: R R definite
DettagliTeoremi di geometria piana
l congruenz teoremi sugli ngoli γ teorem sugli ngoli complementri Se due ngoli sono complementri di uno stesso ngolo α β In generle: Se due ngoli sono complementri di due ngoli congruenti α γ β teorem
DettagliNote sul moto circolare uniforme.
Note sul moto circolre uniforme. Muro Sit e-mil: murosit@tisclinet.it Versione proisori, ottobre 2012. Indice 1 Il moto circolre uniforme in sintesi. 1 2 L ide di Hmilton 2 3 Esercizi 5 3.1 Risposte.......................................
DettagliLiceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003
Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ
DettagliLe equazioni di grado superiore al secondo
Le equzioni di grdo superiore l secondo ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Teorem fondmentle dell lger Ogni equzione lgeric di grdo n h sempre n soluzioni, che possono essere
Dettagli{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }
Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri
DettagliCalcolo letterale. 1) Operazioni con i monomi. a) La moltiplicazione. b) La divisione. c) Risolvi le seguenti espressioni con i monomi.
Clcolo letterle. ) Operzioni con i monomi. ) L moltipliczione. ) L divisione. c) Risolvi le seguenti espressioni con i monomi. ) I polinomi. ) Clcol le seguenti somme di polinomi. ) Applic l proprietà
Dettagliellisse parabola iperbole
Geometri linere e ffine Geometri nlitic,.. 007/008 Note su qudriche e loro seioni pine Superfici del secondo ordine e loro seioni pine. Tglindo con un pino un cono circolre (infinito) si ottengono qusi
Dettagli{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni
Sistemi di equzioni Definizione Un sistem è un insieme di equzioni che devono essere verificte contempornemente, cioè devono vere contempornemente le stesse soluzioni. Definimo grdo di un sistem il prodotto
DettagliSeconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico
Second prov mturit 06 soluzione secondo problem di mtemtic scientifico Skuol.net June, 06 Primo Problem Le tre funzioni proposte sono f () ( ) k f () 6 + 9k + f () cos( π k ). Punto Affinche l funzione
Dettaglisi definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x
Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in
DettagliLezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.
Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,
DettagliEsercizi sulle curve in forma parametrica
Esercizi sulle curve in form prmetric Esercizio. L Elic Cilindric. Dt l curv di equzioni prmetriche: xt cos t yt sin t t 0 T ] > 0 b IR zt bt trovre: versore tngente normle binormle vettore curvtur rggio
DettagliESPONENZIALI E LOGARITMI
Esponenzili e logritmi ESPONENZIALI E LOGARITMI Potenze Fino d or si sono definite le potenze d esponenete intero e rzionle (si positivi che negtivi). Ripssimo le definizioni e i concetti che li rigurdno:
DettagliESPONENZIALI E LOGARITMI
ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con
DettagliProblemi e rappresentazione di problemi di geometria dello spazio - Claudio Cereda febbraio 2001 pag. 1
Prolemi e rppresentzione di prolemi di geometri dello spzio - ludio ered ferio 00 pg. onvenzioni di disegno e di rppresentzione Nel corso dell trttzione si dotternno le seguenti convenzioni simoliche:
Dettagli24 y. 6. ( 5 A. 1 B. 5 4 C D. 50 Applicando le proprietà delle potenze
Alunno/.. Alunno/ Pgin Esercitzione in preprzione ll PROVA d ESAME Buon Lvoro Prof.ss Elen Sper. Il piccolo fermcrte dell figur è relizzto nel seguente modo. Si prende un cubo di lto cm e su un fcci si
DettagliIntegrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b
Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non
DettagliGli Elementi di Euclide
Gli Elementi di Euclide Muro Sit e-mil: murosit@tisclinet.it Versione provvisori. Novembre 2011. 1 Indice 1 L struttu degli Elementi. 1 2 Le prime proposizioni 3 3 Il quinto postulto 4 Simplicio: Voi procedete
DettagliNome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica
Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione
DettagliUNITA DI MISURA. distanze
Unità di misur. ppunti di Topogrfi UNIT DI MISUR distnze L unità di misur bitulmente impiegt per esprimere le distnze è il metro. Per grndezze molto piccole è opportuno ricorrere i sottomultipli, centimetro
DettagliMeccanica dei Solidi. Vettori
Meccnic dei Solidi Prof. Ing. Stefno Avers Università di Npoli Prthenope.. 2005-06 Lezione 2 Vettori Definizione: Un grndezz vettorile (o un vettore) è un grndezz fisic crtterizzt oltre che d un numero
Dettagli1 Integrale delle funzioni a scala
INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]
Dettagli1) Si ha quindi Un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto.
Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin TRIANGOLO RETTANGOLO Considerimo i tringoli rettngoli OPQ e OP ' Q A γ C Essi sono simili per ui Q P : QP OP : OP Essendo Q ' P ' QP sin OP OP ottenimo : sen : e
DettagliEsercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE
Eserizi dell lezione sull Geomeri Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ES ERCIZI SULL' IPERBOLE ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA. Determinre l equzione dell ironferenz
DettagliAppunti di matematica 3 Indice
Appunti di mtemtic Indice. Ripsso di lgebr e geometri del biennio. Geometri nlitic Il pino crtesino Rett Circonferenz Prbol Ellisse Iperbole Complementi di geometri nlitic. Successioni numeriche. Funzione
DettagliSiano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).
OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll
Dettaglidr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche
1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici
DettagliE facile verificare che esistono le seguenti due relazioni equivalenti tra queste tre medie. = b (1)
Note Tvol. Medi geometric e rmonic Nel Libro V degli Elementi di Euclide viene espost l teori generle delle proporzioni che fu pplict molti cmpi dell mtemtic come: l geometri, l ritmetic e nche ll music.
Dettagli4 ; messo in forma = 2. 4 Le tangenti saranno: = x + 8. La circonferenza (Paolo Urbani prima stesura settembre 2002 aggiornamento novembre 2013)
Fsio iproprio di rette prllele r: ipliit risult q r si h: q ; esso in for. onsiderndo he ( ;) q ( q) q e 8 q q q q 6q 6 q ± 6 q 8; q Le tngenti srnno: 8, ; L ironferenz (Polo Urni pri stesur settere ggiornento
Dettaglib a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.
Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()
Dettagli3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)
. Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y
DettagliEsponenziali e logaritmi
Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele Esponenzili e ritmi L potenz è definit: se, per ogni R se, per tutti e soli gli R se, per tutti e soli gli Z. Sono definite: 7 7. Non sono definite:.
DettagliIntegrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo
Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle
DettagliCubiche e quartiche luoghi geometrici di punti del piano (parte I) Elena Stante
Cubiche e qurtiche luoghi geometrici di punti del pino (prte I) Elen Stnte L strofoide rett In un riferimento crtesino O si A ( h, 0) un punto generico dell sse Dett s l rett condott per il punto A prllel
DettagliEsponenziali e logaritmi
Prof Emnuele ANDRISANI Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se 0, per tutti e soli gli Z Esponenzili e ritmi Sono definite:
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 005 Sessione suppletiv Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Sono dti un pirmide
DettagliFunzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x)
Funzioni Un funzione f d X in Y è costituit d un tern di elementi ) un insieme X, detto dominio di f 2) un insiemey, detto codominio di f f di Y. Nel cso, in cui X,Y sino sottinsiemi di R, generlmente
Dettaglilim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x)
Nome.Cognome Clsse D 7 Aprile 0 Verific di mtemtic Problem (punti ) Sono dte le funzioni: f ( ) =, g ( ) = ( ) ) determinre il dominio di f() e di g() b) determinre, senz l uso dell clcoltrice f ( ) c)
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio di dimetro OA,
Dettagliwww.scuolainweb.altervista.org Problemi di Fisica La Cinematica Moti unidimensionali Moti nel piano 1. Moti unidimensionali
Problemi di Fisic Moti unidimensionli Moti nel pino. Moti unidimensionli Problem N. Rppresentre grficmente le seguenti leggi del moto rettilineo uniforme e commentrle: ) S 0 -t ) S 5t 3) S -0 + 3t 4) S
DettagliCOME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia
COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA di Giuli Cnzin e Dominique Cppelletti Come potrete notre inoltrndovi nel corso di Introduzione ll economi, l interpretzione dell teori economic non presuppone conoscenze
DettagliLa parabola. Fuoco. Direttrice y
L prol Definizione: si definise prol il luogo geometrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoo e d un rett fiss dett direttrie. Un rppresentzione grfi inditiv dell prol nel pino rtesino
DettagliRichiami sui vettori. A.1 Segmenti orientati e vettori
A Richimi sui vettori Richimimo lcune definizioni e proprietà dei vettori, senz ssolutmente pretendere di drne un trttzione mtemticmente complet. Lvoreremo sempre in uno spzio crtesino (euclideo) tre dimensioni,
DettagliTRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO INTRODUZIONE Per trsformzione geometric pin si intende un corrispondenz iunivoc fr i punti di un pino, ossi un funzione iiettiv che ssoci d ogni punto P del pino un
Dettagli8 Equazioni parametriche di II grado
Equzioni prmetrihe di II grdo Un equzione he oltre ll inognit (o lle inognite) ontiene ltre lettere (un o più) si die letterri o prmetri e le lettere sono himte, nhe, prmetri; si suppong he l equzione
DettagliIntegrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.
Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione
DettagliElementi grafici per Matematica
Elementi grfici per Mtemtic Sommrio: Sistemi di coordinte crtesine... Grfici di funzioni... 4. Definizione... 4. Esempi... 5.3 Verificre iniettività e suriettività dl grfico... 8.4 L rett... 9.5 Esempi
Dettagli