8 Equazioni parametriche di II grado

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1 Equzioni prmetrihe di II grdo Un equzione he oltre ll inognit (o lle inognite) ontiene ltre lettere (un o più) si die letterri o prmetri e le lettere sono himte, nhe, prmetri; si suppong he l equzione prmetri si d un sol inognit e he onteng un solo prmetro. Poihé il prmetro è liero di ssumere tutti i vlori di un opportuno insieme numerio, d un determinto vlore del prmetro orrisponde lmeno un equzione numeri; quindi un equzione prmetri rppresent un insieme di equzioni numerihe (vedi Esempio.9). Dt un equzione prmetri di II grdo si può indgre se tr le equzioni dell fmigli di equzioni d ess rppresentte, e quindi per quli vlori del prmetro, sussistono equzioni on opportune rtteristihe; srà periò neessrio trdurre le rihieste, dte in form disorsiv, in opportune equzioni he ino ome inognit il prmetro; le eventuli soluzioni di tli equzioni rppresentno quei vlori del prmetro he individuno le equzioni dell fmigli on le rtteristihe rihieste. Per meglio omprendere qunto or detto e fornire nel ontempo strumenti opertivi utili d ffrontre l risoluzione di eserizi sulle equzioni prmetrihe di II grdo, si riport un tell, he non può essere ovvimente esustiv dell miride di si possiili, nell qule nell prim olonn vengono riportte lune rihieste, mentre nell seond olonn le orrispondenti relzioni he dnno origine lle equzioni venti per inognit il prmetro. Dt l equzione prmetri nel prmetro ( ) + ( ) + ( ) 0 determinre il vlore del prmetro in modo he: n Rihieste Relzioni onseguenti Ammett rdii reli 0 ovvero 0 Ammett rdii reli e > 0 ovvero > 0 distinte Ammett rdii reli e 0 ovvero 0 oinidenti Ammett rdii omplesse < 0 ovvero < 0 5 Ammett l rdie rdie dell equzione prmetri signifi he ess deve ( soddisfrl, ioè ) + ( ) + ( ) 0 6 Ammett due rdii opposte In questo so l somm delle rdii è null ioè + 0 ovvero 0 7 L somm delle rdii è s Il prodotto delle rdii è p 9 Le rdii risultino reiprohe Risult + s ovvero s Risult p ovvero p I questo so se è un delle due rdii l tr risult e quindi il loro prodotto è ugule d, ioè 0 Un rdie risult null In questo so si proedere ome nel so 5, oppure onsttre suito he l equzione di II grdo on un rdie null è un

2 equzione spuri e quindi si può srivere suito he 0. L somm dei reiproi delle + rdii si s In questo so risulterà + s ovvero s L somm dei qudrti delle rdii si s L somm dei ui delle rdii si s quindi s ; s + Risult s, relzione he può sriversi nhe + + s ; ( + ) s e quindi s ; s ovvero + s Risult s, relzione he può sriversi nhe s ; + + ( ) ( ) s e quindi e + s ; + s ovvero s L differenz delle rdii è d Risult d, elevndo l qudrto mo i memri si ottiene + d ed nor, sommndo e sottrendo l primo memro, + + d d ui l relzione ( ) + d e quindi nhe srivere d ; d d he si può Per qulunque ltr rihiest non ontemplt nell tell isogn fre in modo, ffidndosi l uon senso e ll intuizione, di rivre un relzione he risulti funzione dei oeffiienti,, dell equzione prmetri. Esempio. Dt l equzione prmetri + ( + ) ( + ) 0 determinre il vlore del prmetro in modo he. mmett rdii reli e oinidenti. mmett rdii opposte. un rdie si. L somm selle rdii si 0

3 Rihiest n... L ondizione per ui l equzione mmett rdii reli e oinidenti è he 0 ovvero 0 sostituendo i vlori dei oeffiienti dell equzione prmetri si ottiene l equzione nell inognit ( + ) + ( + ) 0 he viene risolt ; ; ± 9 9 ; Sussiste quindi un sol equzione dell fmigli, individut dll equzione prmetri, he mmette rdii reli e oinidenti; tle equzione orrisponde l vlore, ioè l equzione + 0 le ui rdii sono. Rihiest n... Se le rdii di un equzione di II grdo sono opposte l loro somm è null, ioè + 0 ovvero 0 d ui, sostituendo i vlori dei oeffiienti dell equzione prmetri, si ottiene l equzione nell inognit Sussiste quindi un sol equzione dell fmigli individut dll equzione prmetri he mmette rdii reli opposti; tle equzione orrisponde l vlore, ioè l equzione 0 le ui rdii sono. ± Rihiest n... Che il numero - è soluzione dell equzione prmetri signifi he esso deve soddisfrl; sostituendo ioè il numero - nell equzione prmetri il suo primo memro deve risultre ugule l suo seondo memro, si h quindi l equzione nell inognit 9 ( + ) ( + ) 0 ; he si risolve 9 0 ; + 0 ; Sussiste quindi un sol equzione dell fmigli individut dll equzione prmetri he mmette un rdie ugule -; tle equzione orrisponde l vlore, ioè l equzione + 0 le ui rdii sono e +.

4 Rihiest n... interruzione pgin Riordndo he l somm delle rdii di un equzione di II grdo è h: 0 + ovvero , in questo so si Sussiste quindi un sol equzione dell fmigli individut dll equzione prmetri l ui somm delle rdii risult ugule 0; tle equzione orrisponde l vlore, ioè l equzione Esempio. Dt l equzione prmetri ( m + ) (m + ) + determinre il vlore del prmetro in modo he. mmett rdii reiprohe. l differenz delle rdii si. un rdie si. l somm dei reiproi delle rdii si 9 0 Rihiest n... Se è un delle due rdii l su reipro è e quindi he in questo so, essendo nell equzione prmetri 9, d origine ll uguglinz 9 ; risultndo quest ultim ssurd se ne dedue he non esiste lun vlore del prmetro m he soddisf l rihiest. In ltri termini nell fmigli di equzioni individut dll equzione prmetri non ve n è lun he present rdii reiprohe o inverse. Rihiest n... Per qunto già visto nel so n. dell tell preedente l rihiest si trdue nell seguente ondizione he, in ssenz dell tell, si riv nuovmente d ovvero, sostituendo i vlori dei oeffiienti dell equzione prmetri e dell differenz dt, si ottiene [ ( m + ) ] 6( m + ) ( m + ) equzione quest nell inognit m he si v risolvere; supponendo m + 0 m si h 6m + + m 6m 6 6m + m + 6; 0m m 0 ;

5 5m m 0 ; ± + 0 ± 6 ± 9 m d ui le due soluzioni m ed m Sussistono quindi due equzioni dell fmigli individut dll equzione prmetri l ui differenz delle rdii risult ugule ; tli equzione orrispondono rispettivmente i vlori m ed m del prmetro m, ioè le equzioni: 5 per m ; ; le ui rdii sono 9 e 5 ; l loro differenz, ome dto, è 5 ( 9). per m ( ) ( 9 ) ; : le ui rdii sono 0 ± ± 9 l loro differenz, ome dto, è Rihiest n... Essendo un rdie dell equzione prmetri ess deve soddisfrl, quindi si h l seguente equzione nell inognit m: 9 ( m + ) + (m + ) he si v risolvere 9 9 m m ; 9 m m ; 9 ( + ) m ; ( + ) m ;

6 ( + ) ( + 9)( ) ( + )( ( ) + 9 m Sussiste quindi un sol equzione dell fmigli individut dll equzione prmetri he mmette un delle sue due rdii ugule ; tle equzione orrisponde l vlore del 6 prmetro m, ioè l equzione ; ovvero ( ) ( ) L ltr rdie risult essere: ossi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + 6) 9 ( + 6) 6. ( 7) 6 ( + ) ( ) Rihiest n... Se e sono le due rdii dell equzione rihiest, risulterà, ome già visto nel so n. dell + preedente tell, + s ovvero s e quindi s ioè s. Sostituendo in quest ultim relzione i vlori dei oeffiienti dell equzione prmetri e di quello dto s, si h l equzione in m (m + ) 9 he risolt d m + d ui m.

7 Sussiste quindi un sol equzione dell fmigli individut dll equzione prmetri l ui somm dei reiproi delle sue rdii risult ugule ; tle equzione orrisponde l vlore del prmetro m, ioè ; ; 7 0. Esempio. Dt l equzione prmetri ( ) ( ) determinre il vlore del prmetro in modo he. il prodotto delle rdii si. l somm dei qudrti dei reiproi si 0. l somm dei ui delle rdii si 5. l somm dei ui dei reiproi delle rdii si Rihiest n... Bst imporre ovvero + d ui, on, + ( ) e quindi 6. Rihiest n... L rihiest equivle d imporre + 0 ovvero, essendo ( ) + ( ) + si h ( ) ( )( + ) ( + ) 0 d ui on ;,

8 ± ± Rihiest n... Bst imporre + 5 he, per qunto visto nel so n. dell tell, equivle ll seguente relzione tr i oeffiienti + 5 ( ) + ( )( )( + ) ovvero l equzione in 5 ( ) he si v risolvere; posto si h ( + )( ) 5( + ) ; ; ; quindi le soluzioni ± ± 5 ± Rihiest n... L rihiest equivle d imporre + ovvero, essendo ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( + ) +, si h l equzione in

9 ( )( )( + ) ( ) ( + ) ; he, posto, si v risolvere ( )( )( + ) ( ) ( + ) ; ( + )( ) ( ) ; ; ± si osservi he risult < 0 e quindi non esistono vlori reli del prmetro he soddisfno l rihiest.