Vettori - Definizione

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1 Vettori - Definizione z Verso Origine Modulo Direzione V y Form geometri x Form nliti Un vettore è un ente geometrio definito d: - Direzione: rett sull qule gie il vettore, he ne indi l orientmento nello spzio - Verso: indi in qule senso è perors l rett dl vettore - Modulo o intensità: numero reltivo he indi qunto è lungo il vettore - Origine: punto nel qule il vettore h origine Form di rppresentzione: ) Geometri Nome: OA Segmento orientto, del qule O è l od, e A l punt (Fig.1) Srittur: vengono indite seprtmente le tre rtteristihe del vettore: direzione, modulo, verso, origine ) Anliti Nome: v letter minusol in grssetto (Fig.2) Srittur: il vettore viene visto ome un segmento, l ui od è puntt nell origine, e l punt nel punto P(,,) dello spzio rtesino. Vengono indite le omponenti del vettore rispetto i tre versori fondmentli dello spzio. Questi versori possono nhe essere sottointesi: w = 1 $ i + 2 $ j + 3 $ k w =( 1, 2, 3 ) ) Form mtriile: Un vettore può nhe essere sritto ome mtrie on un rig e tre olonne, inserendo le omponenti del vettore: w = Spzio vettorile e versori Cominzione linere: insieme di vettori moltipliti per un oeffiiente, he sommti tr loro dnno origine un ltro vettore: k = 1 $ v $ v 2... n $ v n dove: n = oeffiiente del vettore n = vettore n dell ominzione v n Vettori linermente indipendenti: insieme di vettori dei quli nessuno è ominzione linere degli ltri Proprietà: - In uno spzio n esistono l mssimo n vettori linermente indipendenti. - In uno spzio n, per desrivere un vettore w qulsisi ome ominzione linere di versori, sono neessri n versori. Versore: definizione: vettore di modulo unitrio. signifito: il versore è un vettore he indi l direzione e il verso di un vettore on modulo qulsisi formul: dto un vettore v qulsisi, il rispettivo versore si ottiene on l seguente formul: vers(v)= v v

2 Versori fondmentli dello spzio: i versori fondmentli dello spzio sono i tre versori, linermente indipendenti tr loro, he ominti linermente nello spzio dnno origine ogni ltro possiile vettore dello spzio. Corrispondono i 3 ssi fondmentli: i =(1, 0, 0) d Asse x j =(0, 1, 0) d Asse y k =(0, 0, 1) d Asse z Vettore pssnte per due punti Dti: O =(x o, y o, z o ) d Origine P =(x p, y p, z p ) d Punt Risultto: w =(x p x o, y p y o, z p z o ) Modulo del vettore in form nliti: = ( 1 ) 2 +( 2 ) 2 +( 3 ) 2 Sono dti i seguenti vettori: Operzioni on i vettori =( 1, 2, 3 ) =( 1, 2, 3 ) =( 1, 2, 3 ) Somm e differenz β Origine Metodo del prllelogrmmmo Metodo test-od E dt l seguente operzione tr vettori: += Vettore somm : Origine: h l stess origine di e Modulo, verso, direzione: sono determinti dll regol del prllelogrmm. è l digonle del prllelogrmm he h ome lti e Pino di gienz: è un vettore he gie nello stesso pino di e Form nliti: + =( 1 + 1, 2 + 2, ) Form mtriile: + = Signifito grfio: < 90 o d digonle mggiore del prllelogrmm on lti i vettori e < 90 o d digonle minore del prllelogrmm on lti i vettori e Proprietà: ) Assoitiv: ( + )+ = +( + ) ) Commuttiv: u + v = v + u ) Elemento neutro: v + 0 = v Vettore differenz : si lol esttmente ome se fosse un somm, sostituendo l seondo ddendo il suo opposto: -= +(-)=

3 Vettore opposto Vettore - opposto di : - Direzione:stess - Modulo: stesso - Verso: opposto - Origine: stess Un vettore on modulo negtivo è ugule ll opposto dello stesso vettore on modulo positivo ( on < 0) = ( on > 0) Signifito grfio: vettore on verso opposto Form nliti: = ( 1, 2, 3 ) form mtriile: =( 1) $ Prodotto di un vettore per uno slre E dt l seguente operzione, dove e sono vettori e un numero rele: = $ Vettore risultto: il risultto dell operzione è un vettore on stesso verso, direzione, origine e pino di gienz. Il modulo è moltiplito per lo slre. Signifito grfio: llungre o orire l lunghezz del vettore Form nliti: = $ =( $ 1, $ 2, $ 3 ) Form mtriile: $ = $ Proprietà: gode delle stesse proprietà del prodotto normle Prodotto slre A O H B Srittur: n = $ Lettur: slre Formul: n = $ os Dove: n = numero rele risultto del prodotto slre, = vettori = ngolo tr i due vettori Signifito grfio: Il prodotto slre è l re del rettngolo he h per lti un vettore e l proiezione dell ltro vettore sul primo. Form nliti: n = $ = 1 $ $ $ 3 1 Form mtriile: $ = $ 2 3 Componente vettorile u p r Si definise omponente del vettore sull rett r il vettore p risultto dll proiezione del vettore sull rett r. Il vettore proiezione si lol in questo modo ( $ u)u Vettore proiezione p: Modulo: prodotto slre tr e il versore dell rett u Direzione: direzione del versore u, ioè dell rett r Verso: in se l segno del prodotto slre: + d stesso verso di u - d verso opposto di u Origine: proiezione dell origine di sull rett r

4 Prodotto vettorile π Il prodotto vettorile si indi ome: Srittur: = % =. Lettur: vettor Vettore risultto : Modulo: $ $ sen( ) Direzione: perpendiolre l pino di pprtenenz di e Verso: regol dell mno destr ( L mno può essere rivolt verso l lto o verso il sso. Il pollie è lzto. Le ltre quttro dit devono ruotre in modo he l loro punt inontri per primo il primo vettore del prodotto vettorile. Il pollie indi il verso del vettore risultto) Origine: stess origine di e Signifito grfio: il modulo del prodotto vettorile è re del prlellogrmm ostruito sui vettori e i j k Form mtriile:. = det proprietà: ntiommuttiv. =. distriutiv:. ( + )=. +. distriuriv rispetto uno slre: k. k = k(. ) Prodotto misto v β Slre n risultto: n = $ (. ) Per lolre il prodotto misto, st pplire le normli regole di lolo del prodotto slre e vettorile. Signifito grfio: il vlore ssoluto del prodotto misto rppresent il volume del prllelepipedo ostruito sui tre vettori,, Form mtriile: (. ) $ = det Proprietà: permutzione ili: $ (. )= $ (. )= $ (. )

5 Operzione Signifito grfio dei vettori Signifito grfio Somm < 90 o < 90 o d d digonle mggiore del prllelepipedo on lti i vettori e digonle minore del prllelepipedo on lti i vettori e Opposto Prodotto per uno slre Prodotto slre Prodotto vettorile Prodotto misto Vettore on verso opposto Allungre o orire l lunghezz del vettore Il prodotto slre è l lunghezz dell proiezione di un vettore sull ltro. Nel disegno, esempio, è l lunghezz di OH, proiezione del vettore OA sul vettore OB. Il modulo del prodotto vettorile è re del prlellogrmm ostruito sui vettori e Il vlore ssoluto del prodotto misto rppresent il volume del prllelepipedo ostruito sui tre vettor,,. So z g $ = 0 è perpendiolre se e solo se il loro prodotto slre è nullo ) // g. = 0 è prllelo se e solo se il loro prodotto vettorile è nullo // g = $, dove Due vettori sono prlleli se sono ominzione linere ),, g $. = 0, e pprtengono llo stesso pino solo se il loro prodotto misto è nullo