I PRODOTTI NOTEVOLI. Nel calcolo letterale capita spesso di incontrare moltiplicazioni tra particolari polinomi.

Transcript

1 I PRODOTTI NOTEVOLI Nel lolo letterle pit spesso di inontrre moltiplizioni tr prtiolri polinomi. I reltivi sviluppi si ottengono pplindo le regole fin qui viste, m i risultti, opportunmente semplifiti, hnno un form prtiolre, filmente memorizzile. A us dell frequenz on l qule si inontrno tli prtiolri moltiplizioni è utile tenere mente i risultti, pplindoli suito senz pssre ttrverso l pplizione delle regole generli. PRODOTTO DELLA SOMMA TRA DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA Il prodotto dell somm di due termini per l loro differenz è ugule l qudrto del primo termine meno il qudrto del seondo termine. Regol prti: ( ) ( ) Senz dover svolgere tutti e i prodotti ome un normle prodotto di polinomi è suffiiente srivere il risultto lolndolo ome segue: si individu il monomio he è ugule nhe nel segno e se ne lol il qudrto e poi si sottre il qudrto dell ltro monomio (quello di segno opposto). QUADRATO DI UN BINOMIO E un inomio elevto ll seond he sviluppto form un trinomio ostituito dl qudrto del primo termine, il doppio prodotto dei due termini ed il qudrto del seondo termine: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Osserv he i qudrti dei due termini sono sempre positivi e he il doppio prodotto dei due termini è positivo se i due termini sono onordi (segni uguli), negtivo se sono disordi (segni opposti o diversi).

2 QUADRATO DI UN TRINOMIO QUADRATO DI UN POLINOMIO QUALSIASI Il qudrto di un polinomio di un numero qulsisi di termini è ugule ll somm dei qudrti di tutti i termini più il doppio prodotto, on il reltivo segno, di ogni termine per isuno termine he lo segue nel polinomio. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Osserv he i qudrti dei termini sono sempre positivi e he il doppio prodotto di due termini qulsisi è positivo se i due termini sono onordi (segni uguli), negtivo se sono disordi (segni opposti o diversi). SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI L somm di due ui è ugule l prodotto dell somm delle si per il trinomio formto dl qudrto dell prim se, dll opposto del prodotto delle si e dl qudrto dell seond se. L differenz di due ui è ugule l prodotto dell differenz delle si per il trinomio formto dl qudrto dell prim se, dl prodotto delle si e dl qudrto dell seond se. ( )( ) ( )( ) Esempi: ( ) ( )

3 CUBO DI UN BINOMIO Il uo di un inomio è ugule l uo del primo termine, più il triplo prodotto del qudrto del primo monomio per il seondo, più il triplo prodotto del primo monomio per il qudrto del seondo, più il uo del seondo monomio. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Il uo del inomio d origine termini: il uo del primo termine, il uo del seondo termine e due tripli prodotti un po prtiolri; il primo triplo prodotto si lol moltiplindo per il qudrto del primo termine per il seondo termine inlterto, il seondo triplo prodotto si f l ontrrio, moltiplindo per il qudrto del seondo termine per il primo termine. Bisogn prestre molt ttenzione i segni qundo si lolno i qudrti nei tripli prodotti, m se prendimo l itudine di srivere i due ui ll inizio ed ll fine dello sviluppo mettendo l entro i due tripli prodotti si noterà he i segni dei monomi ottenuti si lternno. Se il inomio è ostituito d monomi positivi, il suo sviluppo srà ostituito d monomi tutti positivi. Se il inomio è ostituito d monomi negtivi, il suo sviluppo srà ostituito d monomi tutti negtivi. Se infine i due termini sono disordi, i segni si lternno ominindo dl segno del primo termine.

4 POTENZA DI UN BINOMIO TRIANGOLO DI TARTAGLIA L potenz di un inomio è un potenz del tipo: ( ) n Aimo visto he: ( ) 0 ( ) ( ) ( ) Possimo generlizzre diendo he lo sviluppo di ( ) n n, ompleto ed ordinto seondo le potenze deresenti di resenti di. è un polinomio vente n termini, di grdo I oeffiienti del polinomio si deduono dl osiddetto TRIANGOLO DI TARTAGLIA ostruito in modo he i oeffiienti estremi sono sempre uguli, e he ogni ltro oeffiiente si trov ddizionndo i due oeffiienti he lo sovrstno. Grdo 0 Coeffiienti Esempi: ( ) 0 ( )

5 TABELLA RIASSUNTIVA DEI PRODOTTI NOTEVOLI PRODOTTO DELLA SOMMA TRA DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA ( ) ( ) QUADRATO DI UN BINOMIO ( ) ( ) QUADRATO DI UN TRINOMIO ( ) ( ) SOMMA DI CUBI ( ) ( ) DIFFERENZA DI CUBI ( ) ( ) CUBO DI UN BINOMIO ( ) ( )