Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi

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1 Geometri Anliti Domnde, Risposte & Eserizi L ellisse. Dre l definizione di ellisse ome luogo di punti. L ellisse è un luogo di punti, è ioè un insieme di punti del pino le ui distnze d due punti fissi F e F detti fuohi, hnno somm ostnte (). Con riferimento ll figur si h P F P F ' Q F Q F ' R F R F ' ostnte. Come si ottiene l ellisse ome sezione oni? Considerimo il ono irolre retto ostituito dlle rette genertrii he on il suo sse formno un ngolo di mpiezz α. Considerimo poi un pino sente he form un ngolo β on l sse del ono. Se si h β > α l sezione ottenut è un ellisse.

2 . Qul è l equzione dell ellisse in form noni? L equzione dell ellisse in form noni (entro nell origine e ssi prlleli gli ssi e ) è: (Nell nostr nlisi supponimo > ). 4. Quli sono le oordinte dei vertii dell ellisse? L ellisse interse gli ssi oordinti e in 4 punti detti vertii; i vertii sull sse sono denominti A e A ; i vertii sull sse sono denominti B e B ; essi hnno oordinte: A (-; 0 ), A ( ; 0), B ( 0; -), B ( 0; ). 5. Quli sono le oordinte dei fuohi dell ellisse? I due fuohi F ed F hnno oordinte: F (-; 0 ) e F (; 0 ). 6. Qule relzione mtemti esiste tr i prmetri, e? Tr i prmetri, e sussiste un relzione: oppure 7. Cos sono gli ssi e i semissi dell ellisse? Il segmento A A è detto sse mggiore dell ellisse, di lunghezz ; OA e OA sono i semissi mggiori, di lunghezz. Anlogmente, il segmento B B è detto sse minore dell ellisse, di lunghezz ; OB e OB sono i semissi minori, di lunghezz. 8. Che os è l semidistnz fole? Il segmento F F è detto distnz fole;i segmenti OF e OF, di lunghezz, rppresentno l semidistnz fole (distnz dei fuohi dl entro). 9. Che os è l eentriità dell ellisse? L eentriità, indit on il simolo e, misur lo shiimento dell ellisse. Ess si definise: e per qunto detto prim risult Poihé nell ellisse risult sempre e e. <, l eentriità vri d 0 d ( 0 e < ). 0. Come si tri il grfio dell ellisse? Le ostruzioni geometrihe più uste per trire il grfio dell ellisse sono:. l ostruzione del girdiniere, he f uso di un ordiell inestensiile, di lunghezz, i ui e- stremi sono fissti i fuohi;. l ostruzione delle due ironferenze o del doppio riltmento, he si ottiene trindo due ironferenze di rggi e.

3 ostruzione del girdiniere ostruzione delle due ironferenze o del doppio riltmento. Quli sono le equzioni espliite dell ellisse? L equzione dell ellisse in form noni non è espliit nel senso he non è possiile rivre in modo diretto d ess i vlori dell prtire d vlori ssegnti dell. Risolvendo l equzione rispetto ll vriile si ottengono le due equzioni espliite: ± So osservi ome le equzioni sino un d onsiderre on il segno, per le positive, nel I e II qudrnte, e l ltr on il segno -, per le negtive, III e IV qudrnte. Come si può osservre, l vriile indipendente non può ssumere tutti i possiili vlori, m dev essere: (Cmpo di esistenz dell ellisse) Anlogmente si verifi per l vriile dipendente : (Codominio dell ellisse) D qunto detto sopr, il grfio dell ellisse risult ompreso ll interno del rettngolo delimitto di vertii A -A e B -B.. Come si tri il grfio dell ellisse ttrverso l equzione espliit? Per trire il grfio dell ellisse, oltre ll ostruzione ttrverso il metodo delle due ironferenze, si possono seguire i seguenti pssi: ) Si trino sul pino rtesino i vertii A, A, B e B. ) Utilizzndo l equzione espliit, trmite l tell - si rivino vri punti in suessione on siss prtire d 0 e fino l vlore.

4 . Qul è l re delimitt dll ellisse di equzione Si può vedere he l re rhius dll ellisse è pri π.? 4. Quli sono le proprietà ottio-ustihe dell ellisse? L ellisse h interessnti proprietà ottio-ustihe. Supponimo di vere uno spehio di form ellitti: se si pone un sorgente di lue in uno dei due fuohi, tutti i rggi riflessi onvergono nell ltro fuoo; questo i dà un spiegzione del nome ttriuito tli punti F, F'. Supponimo desso di essere in un miente di form ellitti. Il suono emesso in uno dei due fuohi, nhe se molto deole, si sente molto distintmente nell ltro fuoo. L spiegzione di tli fenomeni deriv dl ftto he in entrmi i si si le onde luminose he quelle sonore vengono riflesse dlle preti e, perorrendo tutte l stess distnz, giungono ontempornemente (in fse) ll ltro fuoo. riflettore ustio ellittio 4

5 5. Ci sono esempi di ellissi nell Arhitettur? L ellisse è un urv molto ust nell rhitettur. L esempio più fmoso è senz duio il olonnto del Bernini in Pizz Sn Pietro Rom. Sempre del Bernini, riordimo nhe S. Andre l Quirinle G.L. Bernini Colonnto di Pizz Sn Pietro Rom G.L. Bernini S. Andre l Quirinle Senz ndre troppo lontno, riordimo infine il Vile Ellittio, nello spzio ntistnte l Reggi di Csert. 5

6 , determinre: 5 9 ) le oordinte dei vertii A, A, B, B; ) le oordinte dei fuohi F, F; ) l eentriità e; d) le due equzioni espliite; e) trire il grfio su rt millimetrt ttrverso il metodo dei due erhi. Eserizio. Anlisi dell ellisse. Dt l ellisse di equzione Svolgimento. ) VERTICI A( ;0) A( 5;0) A' ( ;0) A' ( 5;0) B( 0; ) B( 0;) B' ( 0; ) B( 0; ) d) GRAFICO METODO CIRCONFERENZE Le due ironferenze vnno triti on entro in O(0;0) e rggi uguli d 5 quello più grnde e quello più piolo ) FUOCHI ( ; 0) F( 4;0) F' ( ;0) '( 4;0) F F ) ECCENTRICITÁ 4 e 0,8 5 d) EQUAZIONI ESPLICITE ± ± 5 5 Eserizio. Intersezione ellisse-rett. Dt l rett di equzione m q e l ellisse di equzione, verifire se l rett è tngente, estern o sente rispetto ll ellisse e lolre gli eventuli punti di intersezione. Svolgimento. Per verifire se l rett è tngente, sente o estern rispetto ll ellisse si possono seguire due strde: quell grfi e quell lgeri; nel primo so è suffiiente trire sullo stesso pino rtesino i grfii dell rett e dell ellisse ed osservre le posizioni reltive, rivndo in mnier pprossimtiv le oordinte degli eventuli punti di intersezione. Nel seondo so, st impostre il sistem lgerio tr l rett e l ellisse. 6

7 . m q Tle sistem si può risolvere per sostituzione: si ottiene un equzione di II grdo di ui si lolerà il ; potremo vere tre si possiili: ) se > 0 il sistem vrà due soluzioni distinte i punti di intersezione tr l ellisse e l rett srnno due distinti l rett srà sente l ellisse; ) se 0 il sistem vrà due soluzioni oinidenti i srà un unio punto di intersezione tr l rett e l ellisse l rett srà tngente ll ellisse; ) se < 0 il sistem non vrà soluzioni reli non vi srnno punti di intersezione tr l ellisse e l rett l rett srà estern ll ellisse. Esempio numerio. Dt l rett di equzione 0 e l ellisse di equzione, verifire se l rett è tngente, estern o sente rispetto ll ellisse e lolre le oordinte degli eventuli punti di 5 9 intersezione. In primo luogo trimo sullo stesso pino rtesino il grfio dell ellisse e quello dell rett. L ellisse è l stess dell eserizio preedente; l rett v prim res in form espliit: 0 Dll tell - se ne riv poi il grfio. Si può suito osservre he l rett è sente, produendosi punti di intersezione. Eo il digrmm: 5 9 sostituiso: ( ) ( 00) 4( 4)( 5) > 0 Poihé il è positivo, ne segue he l rett è sente. Clolimo desso lgerimente i punti d intersezione. 00 ± ± 0,84, 4 68 Le soluzioni srnno due: 7

8 C) D) 00 64, 64, 0, ,95, , 64,, ,89,89 I punti di intersezione C e D hnno llor oordinte: C ( 0,95;,95) D(,89 ;,89 ) Esempio numerio. Dt l rett di equzione e l ellisse di equzione, verifire se l rett è tngente, estern o sente rispetto ll ellisse e lolre le oordinte degli e ventuli punti di intersezione. In primo luogo trimo sullo stesso pino rtesino il grfio dell ellisse e quello dell rett. Determinimo i vertii dell ellisse: A( ;0) A( 0;0) A' ( ;0) A' ( 0;0) B( 0; ) B( 0;6) B' ( 0; ) B( 0; 6) Trimo osì il grfio on il metodo delle due ironferenze. Il grfio dell rett si trov on l solit tell - : - ( ) ( ) 0 ( 0) 0 6 ( 6) 4 Si può suito osservre he l rett è sente, produendosi punti di intersezione. Eo il digrmm: Clolimo desso lgerimente i punti d intersezione ttrverso il sistem sostituiso: ± 8, ± 8 ± 6,69 8

9 Le soluzioni srnno due: 6,69 H) 6,69 4,46 6,69 K) ( 6,69) 4,46 I punti di intersezione H e K hnno llor oordinte: H ( 6,69; 4,46) K( 6,69 ; 4,46) Eserizio. Determinzione dell equzione dell ellisse ) Determinre l equzione dell ellisse vente per vertii i punti A' ( 7;0) A( 7;0) B' ( 0; ) B( 0;) ) Determinre l equzione dell ellisse vente per vertii i punti '( 6;0) A( 6;0) punti C' ( 4;0) C( 4;0). A e per fuohi i ) Determinre l equzione dell ellisse vente distnz fole 0 ed eentriità 0,75. Svolgimento ) Dll onosenz dei 4 vertii rivimo suito i oeffiienti e : A' B' ( 7;0) A( 7;0) 7 ( 0; ) B( 0;) E quindi: Svolgimento ) Dll onosenz dei vertii A e A rivimo suito il vlore del oeffiiente : ( 6;0) A( 6;0) 6 A ' Dll onosenz dei fuohi F e F rivimo il vlore di : ( 4;0) C( 4;0) 4 C ' Essendo ; rivimo poi :, si elev l qudrto e si h: e infine : 0 4,47 L equzione risulterà quindi: 6 0 Svolgimento ) Poihé 0 si h 5 e 0,75 Essendo e si riv 5 6,67 e 0,75 Risult poi: 9,44 6,67 4,4 5 L equzione risulterà quindi: 5 9,44 44,4 5 9,44 9