Es1 Es2 Es3 Es4 Es5 tot

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1 Ottore lsse E Verifi sommtiv Cognome Nome rgomenti: onihe, funzione esponenzile e grfii derivti Tempo disposizione: ore Voto Es Es Es Es Es tot.... Considert l ellisse vente ome sse fole l sse, eentriità e e pssnte per il punto ;, determin: l equzione dell prol pssnte per i punti ( ; ), e ( ; ), il ui vertie pprtiene ll rett ; un punto P pprtenente ll semiellisse situt nel semipino delle tle he, dett M l proiezione di P sull sse e il vertie dell ellisse vente siss negtiv, si i: M PM.. Consider l funzione f(). Disegn il suo grfio γ, dopo ver determinto il mpo di esistenz. Prtendo dl grfio γ, ttrverso le opportune simmetrie, ostruisi i grfii di f( ), f() e f( ). Trsformndo opportunmente le seguenti equzioni, rionosi quli urve orrispondono. Dove possiile, individu le oordinte del entro di simmetri, dei vertii e dei fuohi, le equzioni degli sintoti, l eentriità e infine tri il grfio.. Disegn i seguenti grfii: E suffiiente un urto grfio finle, preeduto d un reve spiegzione dei pssggi intermedi svolti.. Un iperole equilter, riferit gli ssi, pss per (; ). Determin l equzione dell iperole, le oordinte dei fuohi e l eentriità. Trov l equzione dell tngente t ll iperole ondott d e determin l ngolo he t form on l sintoto vente oeffiiente ngolre positivo. Un tringolo rettngolo BC h l ngolo retto in e il vertie B nel punto dell iperole vente siss / e ordint positiv. Quli sono le oordinte di C, spendo he nh esso gie sull iperole? N.B. Per l suffiienz oorrono lmeno punti.

2 Soluzione Eserizio Impostimo il sistem he teng onto dell eentriità, del pssggio per il punto dto e, siome imo tre inognite, nhe dell formul speifi per l ellisse on i fuohi sull sse. Si h: L ellisse h equzione Dll posizione dei punti si dedue he si trtt di un prol on sse oinidente on l sse, sul qule gie il vertie. Siome V pprtiene nhe ll rett -, le sue oordinte si ottengono mettendo sistem le due rette. Pertnto V(;) prol - - Sul disegno dell semiellisse rihiest individuimo il vertie (-;), il generio punto P(;) e l su proiezione M. Si h PM e M Tenendo onto delle limitzioni, P si trov risolvendo il sistem - - P M he, in prti, si ridue ll equzione ) ( (per le limitzioni sull imo potuto togliere il modulo). Divent : d ui he è ( ) ioè [ ] ; d ui si riv (solo quello positivo)

3 Eserizio L funzione dt h ome C.E. { R/ } ed è un funzione omogrfi vente ome sintoti (.V.) e - (.O.). Gli ltri grfii si ottengono d quello dto ttrverso le simmetrie indite sotto isuno di essi Funzione dt f() è un funzione pri il ui grfio è simmetrio rispetto ll sse delle f() tutte le ordinte sono mite di segno ttrverso un simmetri rispetto ll sse f() il modulo f mire di segno tutte le ordinte negtive, si esegue un simmetri rispetto ll sse delle di tli prti Eserizio. pplindo il metodo del ompletmento del qudrto l equzione dt divent ( ) ( ) d ui ( ) ( )

4 he è l equzione di un iperole equilter trslt, on entro in ' ( ; ) O Essendo i vertii sono ( ± ;) ; essendo i fuohi sono F ( ± ;) ; gli sintoti sono le rette prllele lle isettrii pssnti per il entro O ioè e. L eentriità, ome quell di tutte le iperoli equiltere, è e F ' F' Eserizio. pplindo il metodo del ompletmento del qudrto l equzione dt divent ( ioè ( ) ) ( ( ) ) Commento ssolutmente indispensile : Siome un somm di qudrti non può essere ugule un numero negtivo, l ellisse non h punti nel pino rele. Eserizio. f()^s(-)- f()^ f()^(-) f()^s(-) f()s(-(/)^s()) f()(.)^ f()(.)^s() f()-(.)^s()

5 Eserizio (-/,/) C t B γ (,) (/,/) Essendo il punto sotto ll isettrie, l iperole ert deve vere i fuohi sull sse. Quindi l equzione srà. Imponendo il pssggio per si ottiene d ui L eentriità è sempre e e i fuohi sono F ( ± ;). L tngente ll iperole si ottiene on l formul di sdoppimento t: -. Trovimo l ngolo formto dlle due rette r : e t: Si h m e m ' d ui tg γ. llor γ rtg,. L ltro ngolo è il supplementre di quello trovto. Il punto B h oordinte ;. Se (BC) deve essere rettngolo in, C deve pprtenere ll rett pssnte per e perpendiolre d B. m B periò C: ( ) he divent C : Il punto C si trov risolvendo il sistem ±, ± Pertnto C ;. L ltr soluzione oinide (ovvimente) on.