Misura degli archi e degli angoli

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1 Misur degli rhi e degli ngoli. Si definise ome positivo il verso ntiorrio di perorrenz di un ironferenz; ome negtivo il verso orrio.. Fissto su un ironferenz un punto A ome origine e un punto B ome estremo di un ro, il punto B è estremo di due gruppi infiniti di rhi: tutti gli rhi positivi desritti muovendosi sull ironferenz dl punto A nel verso positivo o rrivndo direttmente in B o dopo ver desritto un o più ironferenze; e tutti gli rhi negtivi desritti muovendosi sull ironferenz dl punto A nel verso negtivo o rrivndo direttmente in B o dopo ver desritto un o più ironferenze. 3. A isun ro AB orrisponde un ngolo l entro AOB, he può pensrsi desritto dll rotzione del rggio OA intorno l entro O dell ironferenz, nel verso positivo o in quello negtivo. 4. Si die mpiezz di un ro l mpiezz dell ngolo l entro orrispondente. 5. Nel sistem sessgesimle si prende ome unità di misur dell mpiezz degli ngoli e degli rhi ssoiti l 360ª prte dell ngolo giro, he si him grdo. Il grdo ( ) si suddivide in 60 primi ( ) e il primo in 60 seondi ( ). Si pss dll misur di un ro in grdi ll lunghezz l dell ro ssoito di l rggio r trmite l formul 80. π r 6. Si definise il rdinte ome l ro he, rettifito, è ugule l rggio dell ironferenz ui pprtiene. Si pss dll misur di un ro ρ ll lunghezz l dell ro ssoito di rggio r trmite l formul l ρ. L misur in rdinti di un ro si die misur irolre dell ro. r 7. Dte in un pino due semirette e di origine O, si die ngolo di vertie O e di lti e isun delle due prti del pino delimitte dlle due semirette. L ngolo di lti e si può pensre generto dll rotzione intorno l entro O dell semirett (o di un suo segmento OA), dett primo lto dell ngolo, fino sovrpporsi ll ltr semirett (o un suo segmento OB), dett seondo lto dell ngolo. L ngolo si ssume positivo o negtivo seond he l rotzione vveng in verso positivo o negtivo. 8. L prte del pino ompres tr le due semirette e usenti d O individu tutti gli infiniti ngoli ottenuti dll rotzione dell semirett intorno l vertie O fino sovrpporsi ll semirett o direttmente o dopo ver perorso un o più volte l intero ngolo giro. 9. Ci si riferise indifferentemente ll misur dell mpiezz di un ro o ll misur del ngolo d esso ssoito. Funzioni goniometrihe. Dto un sistem di ssi rtesino ortogonle, si die ironferenz goniometri l ironferenz vente il entro nell origine degli ssi e il rggio ugule ll unità di misur.. Ad ogni ngolo AOB possimo sempre ssoire un ironferenz goniometri di entro O e di ui è un ngolo l entro, orrispondente d un ro AB on origine A sull sse delle sisse. 3. Si definise seno (sen) di un ngolo l ordint dell estremo dell ro orrispondente nell ironferenz goniometri. 4. Si definise oseno (os) di un ngolo l siss dell estremo dell ro orrispondente nell ironferenz goniometri. 5. Le urve dei grfii orrispondenti lle funzioni seno e oseno si himno rispettivmente sinusoide e osinusoide.

2 6. Il seno e il oseno sono funzioni periodihe on periodo π. 7. Si definise tngente (tg) di un ngolo l ordint dell intersezione dell tngente geometri ondott nell origine dell ro orrispondente nell ironferenz goniometri, on il rggio pssnte per l estremo dell ro. 8. Le urv del grfio orrispondente ll funzione tngente si him tngentoide. 9. L tngente è un funzione periodi on periodo π. 0. Per un qulsisi ngolo si h sen + os e tg. Queste relzioni sono dette prim e seond relzione fondmentle dell goniometri.. Si definise otngente (otg) di un ngolo l siss dell intersezione dell tngente geometri ondott ll ironferenz goniometri per l su intersezione on l sse delle ordinte, on il rggio pssnte per l estremo dell ro. Si h otg. L otngente è un funzione periodi on pe- tg riodo π e l urv del suo grfio si him otngentoide.. Si definisono nhe l sente (se) di un ngolo ome il reiproo del oseno dello stesso ngolo se ; e l osente (ose) ome il reiproo del seno: ose. 3. Si himno rispettivmente roseno (rsen), rooseno (ros), rotngente (rtg), rootngente (rotg) le funzioni inverse delle funzioni seno, oseno, tngente e otngente. 4. Vlgono le seguenti relzioni: noto sen noto os noto tg trovre sen os + tg tg trovre os sen + tg trovre tg tg sen os tg os 5. Si himno funzioni sinusoidli le funzioni di equzioni y sen (ωx + ϕ) e y os (ωx + ϕ), on A, ω, ϕ R. il numero A si die mpiezz dell funzione sinusoidle, il numero ω si die pulszione dell funzione sinusoidle, il numero ϕ si die sfsmento o fse inizile dell funzione sinusoidle. Il periodo dell funzione sinusoidle è T. π ω Arhi ssoiti e omplementri. Dto un ro AB di mpiezz, gli rhi AB π, AB π +, AB π hnno uguli, in vlore ssoluto, isun funzione goniometri. Essi vengono periò detti rhi ssoiti.

3 . Arhi he differisono di un numero intero di ironferenze: gli rhi e + kπ hnno le stesse funzioni goniometrihe: sen( + kπ) sen, os( + kπ) os, tg( + kπ) tg, otg( + kπ) otg. 3. Arhi supplementri: si diono supplementri rhi l ui somm, meno di interi giri, è π rdinti. Due rhi supplementri hnno lo stesso seno, mentre oseno, tngente e otngente sono uguli in vlore ssoluto, m di segno ontrrio: sen(π ) sen, os(π ) - os, tg(π ) - tg, otg(π ) - otg. 4. Arhi he differisono di π meno di un numero intero di ironferenze. Due rhi he differisono di π meno di un numero intero di ironferenze hnno l stess tngente e otngente, e seno e oseno uguli in vlore ssoluto, m di segno ontrrio: sen(π + ) - sen, os(π + ) - os, tg(π + ) tg, otg(π + ) otg. 5. Arhi esplementri: si diono esplementri rhi l ui somm, meno di interi giri, è π rdinti. Due rhi esplementri hnno lo stesso oseno, mentre seno, tngente e otngente sono uguli in vlore ssoluto, m di segno ontrrio: sen(π ) - sen, os(π ) os, tg(π ) - tg, otg(π ) - otg. 6. Arhi opposti: si diono opposti rhi di ugule mpiezz, m di segno ontrrio. Vlgono le stesse relzioni degli rhi esplementri: sen(-) - sen, os(-) os, tg(-) - tg, otg(-) - otg. 7. Arhi omplementri: si diono omplementri rhi l ui somm, meno di interi giri, è π/ rdinti. Se due rhi sono omplementri, il seno e l tngente dell uno sono rispettivmente il oseno e l otngente dell ltro: sen(π/ ) os, os(π/ ) sen, tg(π/ ) otg, otg(π/ ) tg. 8. Arhi he differisono di π/ meno di un numero intero di ironferenze. Per due rhi he differisono di π/ meno di un numero intero di ironferenze vlgono le relzioni: sen(π/ + ) os, os(π/ + ) - sen, tg(π/ + ) - otg, otg(π/ + ) - tg. 9. Arhi he differisono di 3/ π meno di un numero intero di ironferenze. Per due rhi he differisono di 3/ π meno di un numero intero di ironferenze vlgono le relzioni: sen(3π/ + ) - os, os(3π/ + ) sen, tg(3π/ + ) - otg, otg(3π/ + ) - tg. 0. Ridurre un ro l primo qudrnte signifi trovre l ro positivo, ompreso tr 0 e π/, le ui funzioni goniometrihe sono uguli, in vlore ssoluto, quelle dell ro dto. Arhi prtiolri ed equzioni elementri. Vlori delle funzioni goniometrihe di rhi prtiolri: sen os tg otg π/0 ( ) π/6 π/ π/3 3 π/ 0 0

4 . Si himno equzioni goniometrihe le equzioni tr un o più funzioni irolri di rhi o di ngoli inogniti. 3. Le equzioni goniometrihe del tipo sen x m, os x n, tg x p, si diono equzioni goniometrihe elementri. 4. L equzione sen x m on m h soluzione x + kπ π + kπ, dove è l mpiezz in rdinti dell ro pprtenente l qurto o l primo qudrnte he verifi l equzione e k è un intero qulsisi. 5. Affinhé due rhi ino lo stesso seno è neessrio e suffiiente he differisno di un numero intero di ironferenze, ovvero he uno di essi differis per un numero intero di ironferenze dl supplementre dell ltro: sen sen β β + kπ π β + kπ. 6. L equzione os x n on n h soluzione x + kπ, dove è l mpiezz in rdinti dell ngolo pprtenente l primo o l seondo qudrnte he verifi l equzione e k è un intero qulsisi. 7. Affinhé due rhi ino lo stesso oseno è neessrio e suffiiente he differisno di un numero intero di ironferenze, ovvero he uno di essi differis per un numero intero di ironferenze dll opposto dell ltro: os os β β + kπ. 8. L equzione tg x p h soluzione x + kπ, dove è l mpiezz in rdinti dell ngolo pprtenente l qurto o l primo qudrnte he verifi l equzione e k è un intero qulsisi. 9. Affinhé due rhi ino l stess tngente è neessrio e suffiiente he differisno di un numero intero di semiironferenze e sino entrmi diversi d π/ + kπ: tg tg β β + kπ,, β π/ + kπ. 0. Le ondizioni indite per l tngente vlgono nhe per l otngente. Formule goniometrihe. Formule di ddizione e sottrzione: ) sen ( + β) sen os β + os sen β ) sen ( β) sen os β os sen β ) os ( + β) os os β sen sen β d) os ( β) os os β + sen sen β e) tg( + β ) f) tg( β ) tg + tgβ tg tgβ tg tgβ + tg tgβ. Formule di duplizione: ) sen sen os ) os os sen sen os ) tg tg tg

5 3. Formule prmetrihe: ) + tg tg ) + tg tg 4. Formule di isezione: ) sen os ) + os ) tg + os + 5. Formule di prostferesi: ) sen p + senq p + q p q sen os ) sen p senq p + q p q os sen ) os p + os q p + q p q os os d) e) p + q p q os p os q sen sen tgp tgq ( p q ) sen os p os q 6. Formule di Werner: ) sen β [ os( β ) os( + β )] ) os β [ os( + β ) + os( β )] ) os β [ sen( + β ) + sen( β )]

6 7. Un ominzione linere y sen ωx + os ωx di funzioni sinusoidli dello stesso ngolo è un funzione sinusoidle: y sen ω x + os ω x A sen( ω x + ϕ ), dove A +, os ϕ, + senϕ. + Identità, equzioni e disequzioni goniometrihe. Si die identità goniometri l uguglinz fr due espressioni ontenenti funzioni goniometrihe di uno o più rhi, verifit per qulunque vlore di quello o quegli rhi, on eslusione, l più, di quei vlori per i quli l uguglinz perde signifito.. Un identità goniometri si verifi eseguendo in uno dei due memri, o in entrmi, suessive trsformzioni in modo d frli diventre uguli. 3. Un equzione si die goniometri se ontiene funzioni goniometrihe nei ui rgomenti figur l inognit. 4. Il metodo generle per risolvere un equzione goniometri in ui gli rgomenti delle diverse funzioni sino tutti uguli tr loro onsiste nell esprimere tutte le funzioni goniometrihe medinte un sol e nel prendere quest funzione ome inognit usiliri; i si ridue quindi ll risoluzione di un equzione goniometri elementre. 5. Qundo l equzione, ridott e on il seondo memro ugule zero, è deomponiile in fttori, l si sompone e si egugli zero isun fttore. 6. Se gli rgomenti delle funzioni goniometrihe presenti nell equzione non sono tutti uguli si erherà per prim os di renderli uguli pplindo opportunmente le formule goniometrihe. 7. L equzione del tipo sen x + os x in ui figurno solo il seno e il oseno di un ro inognito e tli funzioni sono di primo grdo, si die equzione linere in seno e oseno: ) per 0, 0, 0, l equzione divent sen x + os x 0 (equzione omogene di grdo) he h soluzione x rtg + kπ ; ) per,, diversi d zero: - si possono esprimere sen x e os x in funzione di tg x (metodo delle formule prmetrihe) e si riv l soluzione; nel so prtiolre in ui è si devono ggiungere le soluzioni x (k + )π; - si può introdurre l ngolo usilire ϕ tle he os ϕ, senϕ + l equzione sen( x + ϕ ) (metodo dell ngolo ggiunto). + +, riduendo 8. L equzione del tipo sen x + sen x os x + os x 0 si die equzione omogene di grdo. Dividendo per os x si ottiene un equzione di grdo in tg x. Se 0 si devono ggiungere le soluzioni x π/ + kπ.

7 9. L equzione del tipo sen x + sen x os x + os x d si può rendere omogene osservndo he d d(os x + sen x). Si può nhe trsformre in un equzione linere osservndo he è os sen x os x, os + x x, sen x os x sen x. 0. Le equzioni simmetrihe rispetto sen x e osx, ome nei si (sen x + os x) + sen x os x, (sen 3 x + os 3 x), e., si possono risolvere ponendo x π/4 + z; si ottengono equzioni di grdo in os z.. Per le disequzioni goniometrihe vlgono gli stessi prinipi inditi per le disequzioni lgerihe; oorre però tener presente il dominio, il odominio e l periodiità delle singole funzioni goniometrihe.. Le equzioni goniometrihe trsendenti sono quelle in ui l nglo inognito ompre si espliitmente si ome rgomento di un o più funzioni goniometrihe. In generle possono essere risolte solo on metodi grfii o pprossimti. Trigonometri. Si diono elementi di un tringolo i tre lti e i tre ngoli.. Sopo dell trigonometri è quello di stilire le relzioni metrihe fr gli elementi di un tringolo, he permettno di lolre le misure degli elementi inogniti di un tringolo di ui sino dti tre elementi, fr i quli lmeno un lto. 3. Nel seguito indiheremo on A, B, C i vertii di un tringolo, on,, le misure dei lti rispettivmente opposti e on, β, γ le mpiezz degli ngoli on vertii in A, B, C. Se il tringolo è rettngolo indiheremo on A il vertie dell ngolo retto, e on l ipotenus. 4. Vlgono le seguenti proprietà fr gli elementi di un tringolo qulunque: ) l relzione fondmentle tr gli ngoli di un tringolo: + β + γ π; ) l relzione fr i lti: in un tringolo ogni lto è minore dell somm degli ltri due e mggiore dell loro differenz; ) in un tringolo l stess relzione, di uguglinz o disuguglinz, he interorre fr due lti, interorre pure fr gli ngoli rispettivmente opposti. 5. In un tringolo rettngolo il seno di un ngolo uto è ugule l rpporto tr il teto opposto e l ipotenus, il oseno l rpporto tr il teto diente e l ipotenus, l tngente è ugule l rpporto tr il teto opposto e il teto diente. Si h quindi: ) sen β d) sen γ ) os β e) os β ) tgβ f) tgγ 6. Poihé in un tringolo rettngolo β e γ sono omplementri, si h sen γ os β, sen β os γ, tg γ otg β, tg β otg γ. 7. Teoremi fondmentli sul tringolo rettngolo: ) in un tringolo rettngolo un teto è ugule l prodotto dell ipotenus per il seno dell ngolo opposto l teto stesso: sen β; sen γ;

8 ) in un tringolo rettngolo un teto è ugule l prodotto dell ipotenus per il oseno dell ngolo uto d esso diente: os γ; os β; ) in un tringolo rettngolo un teto è ugule l prodotto dell ltro teto per l tngente dell ngolo opposto l primo teto: tg β; tg γ; d) in un tringolo rettngolo un teto è ugule l prodotto dell ltro teto per l otngente dell ngolo uto d esso diente: otg γ; otg β; e) in un tringolo rettngolo l ipotenus è ugule l rpporto fr un teto e il seno dell ngolo opposto questo teto, oppure l rpporto fr un teto e il oseno dell ngolo uto d esso diente:. sen β os β sen γ os γ 8. Risoluzione dei tringoli rettngoli: ) dti i teti e, lolre, β e γ: mmette sempre un soluzione; β rtg, γ π/ - β, sen β o + ; il prolem ) dti l ipotenus e il teto, lolre, β e γ: β rsen ; il prolem mmette sempre un soluzione se > ;, γ π/ - β, sen γ o tg γ o ) dti il teto e l ngolo uto β, lolre, e γ: γ π/ - β, mmette sempre un soluzione; sen β, otg β; il prolem d) dti l ipotenus e l ngolo uto β, lolre, e γ: γ π/ - β, sen β, sen γ os β; il prolem mmette sempre un soluzione. 9. Teorem dell ord in un ironferenz: in un ironferenz il rpporto tr un ord e il seno di uno qulsisi degli ngoli ll ironferenz he insistono su quell ord è ugule l dimetro dell ironferenz. Quindi in un ironferenz un ord è ugule l prodotto del dimetro per il seno dell ngolo ll ironferenz d ess sotteso. 0. Teorem dei seni: in un tringolo i lti sono proporzionli i seni degli ngoli opposti e il rpporto ostnte fr un lto e il seno dell ngolo opposto è ugule l dimetro del erhio irosritto l tringolo:. sen sen β sen γ. Teorem di Crnot: in un tringolo il qudrto di un lto è ugule ll somm dei qudrti degli ltri due lti, diminuit del doppio prodotto di questi due lti per il oseno dell ngolo he essi formno: + os ; + os β; + os γ.. Risoluzione dei tringoli oliqungoli: ) dti il lto e i due ngoli β e γ, lolre, e : π - β - γ, ; il prolem mmette sempre un soluzione se β + γ < π; sen β, sen γ sen ) dti i due lti e e l ngolo opposto uno di essi, lolre, β e γ: - se sen > il prolem è impossiile;

9 - se sen il prolem è possiile solo se < π/, e llor β < π/ e il tringolo è rettngolo in B; - se sen < dll formul β ; sono possiili tre si: sen β si ottengono due vlori supplementri β e β π - - < : deve risultre β < e periò β < π; è ettile solo β ; - : deve risultre β e periò il prolem mmette un sol soluzione β se < π/; - > : deve risultre β > e periò il prolem mmette due soluzione β e β π - β se < π/; ) dti i due lti e e l ngolo ompreso γ, lolre, e β: + os γ ; d) dti i tre lti, e, lolre i tre ngoli, β e γ: + os γ. +, + os β, 3. L re di un tringolo è dt dl semiprodotto di due lti per il seno dell ngolo ompreso.