Ciro Baratto GONIOMETRIA TRIGONOMETRIA 799 ESERCIZI SVOLTI

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Giorgio Righi
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1 Ciro Brtto GONIOMETRIA TRIGONOMETRIA 99 ESERCIZI SVOLTI

3 INTRODUZIONE Gli eserizi (n. 99) he seguono sono stti svolti per un migliore omprensione dell goniometri e dell trigonometri, erndo, in lrg misur, di non trlsire pssggi intermedi. A tl fine sono stte introdotte note esplitive. Suddivisi per rgomenti, essi sono preeduti d rihimi teorii e/o dlle formule pplite. E stto dottto inizilmente il simolo per rppresentre l operzione di moltiplizione. Si è ritenuto utile rihimre in vi preliminre, i onetti di potenz e di rzionlizzzione. Questo liro di eserizi è destinto tutti quelli he desiderno pprendere ed pprofondire i onetti trttti. Si etterà on grtitudine qulsisi suggerimento teso migliorre l presente edizione. Npoli, settemre 008 ing. Ciro Brtto

4 PARTE PRIMA -ALGEBRA.-CONCETTO DI POTENZA Si riord he i numeri negtivi elevti potenz pri si trsformno in positivi mentre quelli elevti potenz dispri rimngono negtivi. Ciò deriv dll definizione di potenz: x n è il prodotto n volte x on n intero. Ciò deriv dll definizione di potenz: x n = x x x x(n volte) on x d R(insieme dei numeri reli) Dunque x²=x x e x³=x x x Cioè in x x, x ompre volte e in x x x, x ompre volte. Se x= - si h: x ²=x x= (-) (-) = + x³=x x x=(-) (-) (-)=- poihé meno per meno fornise più e più per meno fornise meno. Si dedue he i numeri negtivi elevti potenz dispri rimngono negtivi. I numeri negtivi elevti potenz pri si trsformno in positivi. NOTA ESPLICATIVA N. L espressione n è ugule n ;l espressione n n; n n; In/ mtemti/ / è/ sottinteso Nel prosieguo useremo l form ) = = ) ) ( ) ) = ) n ESERCIZI =

5 ) 8 ( ) ) ( ) 8) 9 ( ) 9) 9 ( ) = NOTA ESPLICATIVA N. L espressione (+n) può sriversi (n) ioè si sottintende il segno + Nel prosieguo ometteremo il segno + NOTA ESPLICATIVA N. L espressione () ()= = L espressione (-)()=- =- 0) 9 ) ) 8 = 8 8 ()

6 -ALGEBRA.-CONCETTO DI RAZIONALIZZAZIONE Qundo l denomintore di un frzione ompre il segno del rdile,per rendere esso rzionle si esegue l osiddett rzionlizzzione. Con tle termine si suole indire quel omplesso di operzioni he onsentono di ottenere un denomintore privo di rdili. A)Se l frzione è del tipo )Si moltipli = si oper nel modo seguente: per permnendo : )Al posto di possimo sostituire un qulunque rpporto di termini uguli;seglimo = )Si esegue il prodotto dei numertori e dei denomintori: : = = ( ) )Si elidono il segno del qudrto e dell rdie qudrt l denomintore trttndosi di funzioni un,invers dell ltr,ottenendosi: ESERCIZI ) = ( ) ) )

7 Eserizio n. ) = ) 0 8) 9) = Omettimo il simolo per indire il prodotto se non nel prodotto fr due o più numeri. 0) 8 B)Se l frzione è del tipo si / oper / nel / seguente /mod o : )Si moltipli per permnendo : = )Al posto di possimo sostituire un qulunque rpporto di termini uguli.seglimo il rpporto del oniugto di e ioè : )Si esegue il prodotto dei numertori e dei denomintori onsiderndo he il prodotto dei denomintori è del tipo (+) (-)= - : ( ) ( ) ( ) )Si elidono i segni di qudrto e di rdie qudrt,ottenendosi:

8 ( ) C)Se l frzione è del tipo si proede llo stesso modo he in B) segliendo il rpporto del oniugto di e ioè D)Se l frzione è del tipo si vrà: ) ( ) ( ) ( ) = ) ( ) ( = ) ( = ) ( =- (- ) NOTA ESPLICATIVA N. = Slteremo questo pssggio nel prosieguo. ) ) ( ) ( ) ( 9 ) ) ( ) ( ) ( = ) ) ( ) ( ) ) ( ) 9

10 -GONIOMETRIA.-CONCETTO DI GONIOMETRIA L goniometri, he signifi letterlmente <<misur dell ngolo>>,s interess,ppunto,di iò e, delle relzioni, he si mnifestno tr essi. Altresì definise le funzioni goniometrihe e ne studi le proprietà..-angoli Dte due semirette e venti l stess origine O,queste dividono il pino in due prti ognun delle quli,omprese le semirette,è definit ngolo. O, e sono definiti,rispettivmente,vertie e lti dell ngolo he può essere onvesso se non ontiene i prolungmenti dei lti e onvo in so ontrrio. Il grdo he si definise ome l novntesim prte di un ngolo retto è l unità di misur prti degli ngoli. Ogni grdo si suddivide in 0 minuti primi;ogni primo si suddivide in 0 minuti seondi. Il sistem di suddivisione è detto sessgesimle per tle motivo. Il rdinte,he si definise ome l ngolo l entro di un ironferenz di qulsisi rggio he sottende un ro l ui misur è pri quell del suo rggio,è l unità di misur teori degli ngoli. L misur in rdinti dell ngolo giro(0 ) è pri. Per dimostrre iò si onsideri e si moltiplihi e si divid per r = r r Poihé r è l misur dell ironferenz si h he: r ironferenz = r rggio Tle rpporto è definito ngolo giro per ui: r ironferenz = 0 (ngolo giro) r rggio Quttro ngoli retti formno un ngolo giro. 8

11 Riepilogndo, è l misur dell ngolo giro in rdinti mentre 0 è l misur dello stesso in grdi. L orrispondenz grdi(x)-rdinti(y) si ttu on l proporzione: 0 : = x : y In un proporzione il prodotto dei medi è ugule quello degli estremi,per ui: ()x=0 y Se si vuole rivre d quest uguglinz() l misur in grdi x in funzione di quell in r- Dinti,y, st dividere primo e seondo memro per (l uguglinz non mi): x 0y semplifindo s ottiene: 80y x= Se si vuole rivre dll () l misur in rdinti y in funzione di quell in grdi x st dividere primo e seondo memro dell stess per 0 : x y 0 semplifindo si h: x y= 80 ESERCIZI ) Esprimere in grdi x l misur dell ngolo in rdinti y x 80 y Sostituendo y l reltiv espressione si h: x ) Esprimere in grdi x l misur dell ngolo in rdinti y 80 x 80 )Esprimere in grdi x l misur dell ngolo in rdinti y 80 x 0 L eserizio ) mnifest he mezz ironferenz orrisponde d un ngolo pitto (80 ) L eserizio ) mnifest he l ironferenz orrisponde d un ngolo giro(0 ) 9

12 ' )Esprimere in rdinti y l misur dell ngolo in grdi x Tle ngolo ridotto in frzione di grdo vle: ' x 0 Di onseguenz: y x = )Esprimere in rdinti y l misur dell ngolo in grdi y 80 x )Esprimere in grdi x l misur dell ngolo in rdinti 80 x 0 0 x y )Esprimere in grdi x l misur dell ngolo in rdinti y = 80 x 0 8)Esprimere in grdi x l misur dell ngolo in rdinti 80 x 90 9)Esprimere in grdi x l misur dell ngolo in rdinti 80 x 80 0)Esprimere in grdi x l misur dell ngolo in rdinti 80 x 0 )Esprimere in grdi x l misur dell ngolo in rdinti 80 x 0 y y y y )Esprimere in rdinti y l misur dell ngolo in grdi x=0 y 0 80

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