Definizioni fondamentali

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1 Definizioni fondmentli Sistem scisse su un rett 1 Un rett si ce orientt qundo su ess è fissto un verso percorrenz Dti due punti qulsisi A e B un rett orientt r, il segmento AB che può essere percorso d A verso B si ce segmento orientto 3 Un segmento orientto un rett orientt è positivo se il segmento h l stess orientzione dell rett; negtivo se il segmento e l rett hnno orientzione scorde 4 Se A coincide con B il segmento AB si ce nullo 5 Qundo su un rett orientt si consider il segmento orientto AB non nullo, d esso viene ssocit un misur lgebric o misur reltiv o misur orientt rispetto d un segmento u ssunto come unità misur; se AB è un segmento positivo l su misur è un numero positivo, mentre se AB è un segmento negtivo l su misur è un numero negtivo L misur lgebric un segmento orientto AB si inc con AB, che si ce stnz lgebric o stnz reltiv o stnz orientt tr A e B 6 Si h AB BA, d cui AB + BA 7 Su r vle l identità Chrles: AB AC + CB essendo A, B, C tre punti qulsisi r e considerndo le misure in senso reltivo 8 Considert un rett orientt r, si fissi rbitrrimente un punto O si ess, detto punto origine o origine Il punto O vide l rett r in due semirette: un positiv che contiene i punti successivi O nel verso positivo, e l ltr negtiv che contiene i punti che precedono O 9 isst un unità misur u d ogni punto P r, il numero rele reltivo che è l misur lgebric, rispeto u, del segmento orientto OP si ce coornt sciss o sciss del punto P Per incre che è l sciss P, si us il simbolo P( 1 Qundo si fiss su un rett un punto O come origine, un verso positivo e un unità misur, si ce che si è fissto sull rett un sistem coornte scisse o semplicemente un sistem scisse 11 Un sistem scisse stbilisce un corrispondenz biunivoc tr i punti dell rett e l insieme dei numeri reli Quest corrispondenz biunivoc permette invidure i punti dell rett mente numeri 1 Su un rett in cui è fissto un sistem scisse, l stnz orientt tr due punti è ugule ll fferenz, nell orne, tr l sciss del secondo punto e quell del primo: A( 1 B( 1 ; l stnz ssolut tr i due punti è ugule l vlore ssoluto dell fferenz tr le scisse dei due punti 13 L sciss del punto meo un segmento è ugule ll semisomm, cioè ll me ritmetic, delle scisse degli estremi: 1 + M Coornte crtesine nel pino 1 Si ce che nel pino è stto fissto un sistem riferimento crtesino ortogonle O se sono stte fisste due rette perpencolri e ognun delle quli dott un sistem scisse in modo che il punto intersezione delle due rette e si l origine comune dei due sistemi scisse Normlmente il verso positivo dell rett viene scelto verso destr e quello dell rett verso l lto

2 Se l unità misur è l stess sulle due rette e, il sistem si ce monometrico; il cso contrrio il sistem srà metrico 3 A un generico punto P del pino si possono fr corrispondere due numeri e corrispondenti lle coornte scisse delle proiezioni sulle due rette e del punto P I due numeri prendono il nome coornte del punto P: il primo si ce sciss P e il secondo ornt P Gli ssi e si cono rispettivmente sse delle scisse e sse delle ornte 4 Un sistem riferimento ssi crtesini ortogonli stbilisce quin un corrispondenz biunivoc tr i punti del pino e le coppie ornte numeri reltivi Per incre che e sono le coornte del punto P si scrive P(, Quest corrispondenz biunivoc permette invidure i punti del pino mente coppie numeri 5 I due ssi e vidono il pino il quttro ngoli che si cono qudrnti Il primo qudrnte è convenzionlmente quello in lto destr e per l numerzione degli ltri si procede in verso ntiorrio 6 L stnz ssolut d due punti A( 1, 1 e B(, nel pino è dt dll rce qudrt dell som- m dei qudrti delle fferenz delle coornte omonime dei due punti: ( ( d Le coornte del punto meo un segmento è ugule ll semisomm, cioè ll me ritmetic, delle coornte degli estremi: 1 + M, 1 + M 8 Sino dti i due punti A( 1, 1 e B(, Le coornte del punto P(, che vide internmente il segmento AB in prti proporzionli i numeri m e n, cioè tle che si (m, n > sono AP m PB n n1 + m P n +, m n 1 + m P n + m 9 Sino dti i tre punti A( 1, 1, B(, e C( 3, 3 Le coornte del bricentro G(, del tringolo ABC sono G, G 3 3 Coornte crtesine nello spzio 1 Si ce che nello spzio è stto fissto un sistem riferimento crtesino ortogonle se sono stte fisste tre rette,, z uscenti d un punto O e ortogonli due due, ognun delle quli dott un sistem scisse in modo che il punto intersezione delle tre rette,, z si l origine comune dei sistemi scisse Le tre rette si cono ssi coornti e i tre pini che esse inviduno pini coornti A un generico punto P dello spzio si possono fr corrispondere tre numeri,, z corrispondenti lle coornte scisse delle proiezioni sulle tre rette,, z del punto P I tre numeri prendono il nome coornte crtesine del punto P: il primo si ce sciss P e il secondo ornt P, il terzo quot P 3 Un sistem riferimento ssi crtesini ortogonli stbilisce quin un corrispondenz biunivoc tr i punti dello spzio e le terne ornte numeri reltivi Per incre che,, z sono le coornte del punto P si scrive P(,, z Quest corrispondenz biunivoc permette invidure i punti dello spzio mente terne numeri 4 I tre ssi,, z vidono il pino il otto regioni (triedri trirettngoli 5 L stnz ssolut d due punti A( 1, 1, z 1 e B(,, z nel pino è dt dll rce qudrt dell somm dei qudrti delle fferenz delle coornte omonime dei due punti: ( + ( + ( z d 1 1 z1

3 Introduzione lle geometri nlitic pin 1 L geometri nlitic è quell prte dell mtemtic che stu e deduce le proprietà certi luoghi geometrici mente il clcolo lgebrico, cioè mente un metodo nlitico L geometri rzionle, l contrrio, us per indgre sulle figure geometriche un metodo sintetico che consiste nel dedurre tli proprietà prtire d lcune ipotesi, mente rgionmenti che si sviluppno ll interno dell geometri stess Si ce luogo geometrico pino l insieme tutti e soli i punti del pino che godono un dt proprietà 3 Ogni proprietà crtteristic dei punti un luogo geometrico può essere trdott in un relzione lgebric tr l sciss e l ornt dei punti P(, del luogo geometrico, ossi in un equzione del tipo (, che deve essere sodsftt dlle coornte dei punti del luogo e soltnto d esse L equzione (, si ce equzione del luogo Nei csi più comuni l equzione del luogo mmette infinite soluzioni e il luogo h infiniti punti che costituiscono il grmm o l curv rppresenttiv dell equzione 4 Un curv si ce curv lgebric se ess è rppresentt d un equzione lgebric 5 Se l equzione (, è un polinomio primo grdo in e : + b + c, esso rppresent un rett purché non si b 6 Se l equzione (, è un polinomio secondo grdo in e : + b + c + d + e + f, esso rppresent, se h soluzioni, un conic, ossi un circonferenz, un ellisse, un prbol, un iperbole o un form degenere queste curve 7 Tli curve si ottengono sezionndo un cono circolre rett due flde con un pino: si ottiene l ellisse tglindo l superficie conic con un pino che incontri, su un sol fld, tutte le genertrici dell superficie; se tle pino è perpencolre ll sse dell superficie conic si ottiene un circonferenz; b si ottiene l prbol tglindo l superficie conic con un pino che incontri, su un sol fld, tutte le genertrici dell superficie trnne un; c si ottiene l iperbole tglindo l superficie conic con un pino che incontri, su mbedue le flde, tutte le genertrici dell superficie trnne due 8 Se un curv è chius può essere rppresentt solmente d un funzione in form implicit 9 Si P(, un punto intersezione tr due curve 1 e rppresentte rispettivmente dlle equzioni 1(, e (, (, è soluzione del sistem 1(, Il sistem è: (, 1 grdo se 1 e sono rette; b grdo se 1 è un rett e un conic, o vicevers; c 4 grdo se 1 e sono coniche; Le curve 1 e vrnno tnti punti intersezioni qunte sono le soluzioni reli questo sistem, minori o uguli l grdo del sistem 1 In generle, un curv lgebric si ce orne n, se n è il mssimo numero punti che ess può vere in comune con un rett generic del pino

4 Trsformzioni geometriche nel pino crtesino 1 Si ce che un sistem XO Y è trslto rispetto l sistem O, se è stt effettut un trslzione τ che h portto l origine O nel punto O Se le coornte O nel sistem O sono O (, b, l relzione X + tr le coornte un generico punto P nel sistem O e nel sistem XOY è τ (trslzione Y + b 1 X rett, o, che è lo stesso, τ (trslzione invers Y b Si dt un curv rppresentt nel sistem O dll equzione in form esplicit f( o in form implicit (, L rppresentzione nel sistem trslto XOY quest curv si ottiene trsformndo X + l equzione nell form Y g(x o G(X, Y mente le formule τ Y + b 3 Si ce che un sistem XOY è ruotto rispetto l sistem O, se è stt effettut un rotzione ρ che h portto gli ssi e coincidere con le rette orientte X e Y pssnti con origine comune O ruotte dello stesso ngolo α rispetto e L relzione tr le coornte un generico punto P nel sistem X cosα Y senα O e nel sistem XOY è ρ (rotzione rett, o, che è lo stesso, X senα + Y cosα 1 X cosα + senα ρ (rotzione invers Y senα + cosα 4 Si dt un curv rppresentt nel sistem O dll equzione in form esplicit f( o in form implicit (, L rppresentzione nel sistem ruotto XOY quest curv si ottiene trsformndo X cosα Y senα l equzione nell form Y g(x o G(X, Y mente le formule ρ X senα + Y cosα 5 Considerimo un generic curv equzione (, Se l sostituzione ssocit ll simmetri rispetto ll sse lsci inltert l su equzione, cioè se (-, (,, llor l curv è simmetric rispetto ll sse L sse è l sse simmetri Nel cso in cui l equzione si esplicitbile nell form f(, llor è l curv è il grmm un funzione pri 6 Considerimo un generic curv equzione (, Se l sostituzione ssocit ll simmetri rispetto ll sse lsci inltert l su equzione, cioè se (, - (,, llor l curv è simmetric rispetto ll sse L sse è l sse simmetri In questo cso l equzione non è esplicitbile nell form f( 7 Considerimo un generic curv equzione (, Se l sostituzione ssocit ll simmetri rispetto ll sse lsci inltert l su equzione, cioè se (-, - (,, llor l curv è simmetric rispetto ll origine L origine O è il centro simmetri Nel cso in cui l equzione si esplicitbile nell form f(, llor è l curv è il grmm un funzione spri 8 Si σ C l simmetri centrle centro C(,, che trsform un punto P(, in un punto P (, in modo che C si il punto meo PP L espressione nlitic σ C è σ C 9 Considerimo un generic curv equzione (, Per ottenere l equzione dell curv C simmetric rispetto l punto C(, bst effetture nell equzione l sostituzione, che

5 è l sostituzione ssocit ll simmetri centro C(, : C C σ eq eq, (, ( Se quest sostituzione lsci inltert l equzione dell curv, ess è simmetric rispetto l punto C(,, che è detto centro simmetri dell curv 1 Si r un rett prllel ll sse i cui punti bbino tutti ornt q Si σ r l simmetri rispetto ll rett r, che trsform un punto P(, in un punto P (, L espressione nlitic σ r è q r σ 11 Considerimo un generic curv equzione (, Per ottenere l equzione dell curv r simmetric rispetto ll rett r prllel ll sse equzione q bst effetture nell equzione l sostituzione q, che è l sostituzione ssocit ll simmetri rispetto ll rett r: r r q q q σ eq eq, (, ( Se quest sostituzione lsci inltert l equzione dell curv, ess è simmetric rispetto ll rett r, che è dett sse simmetri dell curv 1 Si s un rett prllel ll sse i cui punti bbino tutti ornt p Si σ s l simmetri rispetto ll rett s, che trsform un punto P(, in un punto P (, L espressione nlitic σ s è p s σ 13 Considerimo un generic curv equzione (, Per ottenere l equzione dell curv s simmetric rispetto ll rett s prllel ll sse equzione p bst effetture nell equzione l sostituzione p, che è l sostituzione ssocit ll simmetri rispetto ll rett s: s s p p p σ eq eq, (, ( Se quest sostituzione lsci inltert l equzione dell curv, ess è simmetric rispetto ll rett s, che è dett sse simmetri dell curv L rett 1 L sse delle scisse è rppresentto dll equzione L sse delle ornte è rppresentto dll equzione 3 Un rett prllel ll sse delle scisse stnz q d esso h equzione q 4 Un rett prllel ll sse delle ornte stnz p d esso h equzione p 5 Un rett pssnte per l origine h equzione m, dove m si ce coefficiente ngolre dell rett (o prmetro rettivo ed è tnto mggiore qunto mggiore è l pendenz dell rett 6 L rett equzione è l bisettrice del primo-terzo qudrnte L rett equzione - è l bisettrice del secondo-qurto qudrnte 7 Un rett generic del pino h equzione in form esplicit m + q, dove m è il coefficiente ngolre dell rett e q è l ornt ll origine, intersezione dell rett con l sse delle ornte

6 8 Conzione necessri e sufficiente perché due rette, non prllele ll sse delle ornte, sino prllele, è che bbino ugule coefficiente ngolre 9 Conzione necessri e sufficiente perché due rette, non prllele gli ssi, sino perpencolri, è che i due coefficienti ngolri sino l uno l opposto del reciproco dell ltro 1 L equzione + b + c è tt rppresentre, l vrire dei coefficienti, b, c reli, qulsisi rett del pino, ed è dett equzione generle dell rett o nche equzione dell rett in form implicit Il coefficiente c è detto termine noto Per b si h coefficiente ngolre m e ornt ll origine b c c q Per b l equzione è, ossi un prllel dell sse delle ornte b 11 L equzione m + k, k R, rppresent un fscio improprio rette non prllele ll sse qulor pensi m fisso e k vribile L rett pssnte per l origine (k si ce rett bse del fscio Un fscio rette prllele ll sse h per equzione k 1 L equzione m(, dove m è il coefficiente ngolre vribile in R, rppresent un fscio proprio rette centro C(,, con esclusione dell prllel ll sse Per vere l totlità delle rette pssnti per C bst porre l equzione in form implicit, ( + b(,, b R 13 Se nell equzione del fscio rette proprio pssnte per un punto si consider m fisso, l stess equzione m( rppresent l rett pssnte per il punto (, e vente un ssegnto coefficiente ngolre m 14 Il coefficiente ngolre dell rett, non prllel ll sse, pssnte per due punti dti si ottiene come rpporto tr l fferenz delle ornte dei due punti e l fferenz delle corrispondenti scisse: 1 m 1 15 Sino P(1, 1 e Q(, due punti tli che l rett PQ non si prlell d lcuno degli ssi: 1 1 l equzione dell rett pssnte per i due punti dti è 16 Se un rett intersec rispettivmente gli ssi e nei punti P(p, e Q(, q, p e q si cono intercette ll origine rispettivmente sull sse e L equzione + p q 1 è dett equzione segmentri dell rett 17 L stnz un punto d un rett equzione + b + c si ottiene sostituendo nel primo membro dell equzione dell rett l posto e le coornte e del punto e videndo il vlore ssoluto del risultto ottenuto per l rce qudrt dell somm dei qudrti dei coefficienti e + b + c nell equzione stess: d + b 18 L sse un segmento estremi A( 1, 1 e B(,, cioè il luogo dei punti equistnti dgli estremi A e B, h equzione ( 1 + ( 1 ( + ( 19 L bisettrice degli ngoli formti d due rette incidenti equzioni rispettivmente + b + c e + b + c, cioè il luogo dei punti equistnti dlle due rette dte, h equzione + b + c + b + c ± + b + b b Dte due rette r e s equzione r + b + c e s + b + c,, incidenti nel b punto C(,, l loro combinzione linere + b + c + k( + b + c essendo k un prmetro 1 1

7 rele rppresent un fscio proprio rette centro C(,, generto d r e s, con esclusione dell rett s Le rette r e s sono dette rette bsi e si chimno, rispettivmente, prim genertrice e second genertrice Se si vogliono rppresentre tutte le rette pssnti per C, compres s, bisogn ricorrere due prmetri: k 1( + b + c + k ( + b + c Le coniche 1 Un qulsisi equzione lgebric grdo in e del tipo + b + c + d + e + f, se h soluzioni reli, rppresent un conic, eventulmente degenere, e in prticolre, detto b 4c il scriminnte dell conic, si h: per < un ellisse o un circonferenz; b per un prbol; c per > un iperbole L equzione un conic si ce in form normle o cnonic qundo gli ssi simmetri dell curv sono prlleli gli ssi e del sistem riferimento In questo cso l equzione mnce del termine rettngolre in 3 Per determinre l ngolo rotzione α degli ssi simmetri un generic conic rispetto gli ssi e è sufficiente pplicre ll equzione dell conic un rotzione 1 X cosα + senα ρ e determinre α in modo che il termine rettngolre risulti nullo Y senα + cosα L circonferenz 1 L circonferenz è il luogo dei punti del pino equistnti d un punto fisso detto centro L equzione un circonferenz centro C(, e rggio r è ( + ( r, che può nche essere scritt nell form normle o cnonic + + α + β +, dove α -, β -, + r α β 3 Vicevers, ogni equzione del tipo + + α + β + con + > rppresent un 4 4 α β circonferenz rele non degenere con centro C, e rggio α β r + Se 4 4 α 4 β + 4 l circonferenz h rggio nullo e si ce degenere nel suo centro 4 Per trovre le intersezioni un circonferenz con un rett del suo pino, bst risolvere il sistem + + α + β + secondo grdo formto dlle loro equzioni: Se le due soluzioni sono reli e + b + c stinte, l rett è secont l circonferenz; se le due soluzioni sono reli e coincidenti, l rett è tngente ll circonferenz; se le soluzioni non sono reli, l rett è estern ll circonferenz 5 Per trovre le intersezioni due circonferenze, bst risolvere il sistem qurto grdo formto dlle + + α + β + loro equzioni: Se le due circonferenze non sono concentriche (α α β + + α + β + β, sottrendo membro membro le due equzioni si ottiene il sistem equivlente

8 + + α + β + che rppresent le intersezioni dell prim circonferenz con l rett ( α α + ( β β + equzione (α α + (β β +, dett sse rcle delle due circonferenze Quest rett congiunge i due punti intersezione se le due circonferenze sono secnti, oppure è l tngente comune lle due circonferenze se sono tngenti (internmente o esternmente 6 Dte due circonferenze δ e δ non concentriche equzione δ + + α + β + e δ + + α + β +, l loro combinzione linere + + α + β + + k( + + α + β + essendo k un prmetro rele rppresent un fscio circonferenze, generto d δ e δ, con esclusione dell circonferenz δ Per k -1 l equzione si riduce ll equzione dell sse rcle δ e δ, che si conviene considerre come l equzione degenenere del fscio con rggio infinito Le intersezioni A e B delle circonferenze δ e δ genertrici del fscio sono dette punti bse del fscio Se si vogliono rppresentre tutte le circonferenze del fscio, compres δ, bisogn ricorrere due prmetri: k 1( + + α + β + + k ( + + α + β + L prbol 1 L prbol è il luogo geometrico dei punti del pino equistnti d un punto fisso (detto fuoco e d un rett dt d (dett rettrice L rett pssnte per il fuoco e perpencolre ll rettrice è l sse simmetri dell prbol 3 L intersezione dell prbol con il suo sse simmetri è il vertice dell prbol 4 L equzione un prbol vertice V(, e sse simmetri prllel ll sse è + b + c, dove b -, c + Se si consider vribile, quest equzione è quell un fscio prbole tutte con sse simmetri prllelo ll sse e vertice in V(, 5 Vicevers, ogni equzione secondo grdo del tipo + b + c rppresent un prbol con sse simmetri prllelo ll sse 6 Le coornte del vertice V un prbol equzione + b + c con sse simmetri prllelo ll sse sono b b 4c V, 4 7 Le coornte del fuoco un prbol equzione + b + c con sse simmetri prllelo ll sse sono b 1 b 4c, L equzione dell sse un prbol equzione + b + c con sse simmetri prllelo ll sse è b 9 L equzione dell rettrice d un prbol equzione + b + c con sse simmetri prllelo ll sse è 1 b 4c Il segno determin l concvità dell prbol: per > l prbol volge l concvità verso l lto; b per < l prbol volge l concvità verso il bsso; c per si h un prbol degenere (rett coincidente con l rettrice

9 11 Due prbole con sse simmetri prllelo ll sse sono congruenti se hnno ugule, nelle loro equzioni scritte nell form + b + c, il vlore ssoluto del coefficiente (coefficiente pertur 1 Per trovre le intersezioni un prbol con un rett del suo pino, bst risolvere il sistem + b + c secondo grdo formto dlle loro equzioni: Se le due soluzioni sono reli e stinte, m + q l rett è secont l prbol; se le due soluzioni sono reli e coincidenti, l rett è tngente ll prbol; se le soluzioni non sono reli, l rett è estern ll prbol Se l rett è prllel ll sse, cioè ll sse simmetri dell prbol ( h, l rett intersec l prbol in un solo punto 13 Dte due prbole e non concentriche equzione in form implicit b c e b c, l loro combinzione linere b c + k( b c essendo k un prmetro rele rppresent un fscio prbole, generto d e, con esclusione dell circonferenz Le intersezioni A e B delle prbole e genertrici del fscio sono dette punti bse del fscio Se si vogliono rppresentre tutte le circonferenze del fscio, compres, bisogn ricorrere due prmetri: k 1( b c + k ( b c Per k -1 l equzione si riduce ll equzione delle rette prllele ll sse pssnti per A e per B (l prbol degenere è costituit dll unione queste due rette, mentre per k l equzione si riduce ll equzione dell rett ' pssnte per A e B 14 Se A( 1, 1 e B(, sono due punti con 1 e m + q è l equzione dell rett che li congiunge, llor l equzione m + q + k( 1( rppresent il fscio prbole con sse simmetri prllelo ll sse vente A e B come punti bse L ellisse 1 L ellisse è il luogo dei punti un pino per i quli è costnte l somm delle stnze d due punti fissi detti fuochi Sino 1 e i due fuochi dell ellisse Il punto meo del segmento 1 si ce centro C dell ellisse L stnz tr i due fuochi si ce stnz focle (si chim semistnz focle l stnz c un vertice dl centro Le intersezioni A 1 e A dell ellisse con l rett che contiene i due fuochi 1 e si cono vertici dell ellisse Il segmento A 1A che congiunge i vertici si chim sse mggiore dell ellisse Il segmento B 1B congiungente le intersezioni B 1 e B dell ellisse con l sse dell sse mggiore pssnte per il centro dell ellisse si ce sse minore dell ellisse Le misure e b dei segmenti CA 1 e CB 1 si cono semissi dell ellisse L somm costnte delle stnze un punto dell ellisse due fuochi è pri l stnz tr uno dei fuochi e il centro si inc con c (semistnz focle 3 Si ce eccentricità e un ellisse il rpporto, minore dell unità, tr l semistnz focle c e il semisse c mggiore : e 4 L equzione in form normle o cnonic un ellisse con centro in C(, con sse mggiore ( ( prllelo ll sse è + 1 L equzione dell ellisse con sse mggiore prllelo b ll sse può essere sviluppt nell form m + n + p + q + r, con m b, n, p b, q -, r b + b p q 5 Ogni equzione del tipo m + n + p + q + r, con m e n non nulli e concor e s + r 4m 4n concorde con m e n, rppresent un ellisse con gli ssi simmetri prlleli gli ssi coornti e p q centro C, s s e semissi e b Se > b l sse mggiore è prllelo ll sse ; m n m n

10 per < b l sse mggiore è prllelo ll sse Per s l equzione rppresent un ellisse degenere nel suo centro 6 L semistnz focle c è legt i semissi dell ellisse dll relzione c b Per c si h un circonferenz rggio 7 Per le posizioni reciproche tr un rett e un ellisse vlgono le stesse considerzioni ftte per le posizioni reciproche tr un rett e un circonferenz L iperbole 1 L iperbole è il luogo dei punti del pino per i quli è costnte l fferenz delle stnze d due punti fissi detti fuochi Sino 1 e i due fuochi dell iperbole Il punto meo del segmento 1 si ce centro C dell iperbole L stnz tr i due fuochi si ce stnz focle (si chim semistnz focle l stnz c un vertice dl centro Le intersezioni A 1 e A dell iperbole con l rett che contiene i due fuochi 1 e si cono vertici dell iperbole Il segmento A 1A che congiunge i vertici si chim sse trsverso dell iperbole, come l rett cui esso pprtiene Si inc con l lunghezz del segmento CA 1 che congiunge il centro con uno dei vertici Le tngenti ll iperbole nei due vertici delimitno un strisci del pino lrghezz che non contiene punti dell iperbole L iperbole è quin costituit d due rmi 3 Esistono due rette pssnti per il centro dell iperbole che non intersecno l iperbole, m si vvicinno d ess indefinitmente mn mno che ci si llontn dll origine Tli rette si chimno sintoti dell iperbole L sse dell sse trverso pssnte per il centro, come il segmento B 1B che su esso congiunge le intersezioni B 1 e B delle congiungenti le intersezioni degli sintoti con le tngenti ll iperbole nei suoi vertici, si chim sse non trsverso dell iperbole Si inc con b l lunghezz del segmento CB 1 che congiunge il centro con il punto B 1 4 Si ce eccentricità e un iperbole il rpporto, mggiore dell unità, tr l semistnz focle c e il semisse trsverso : e c 5 L equzione in form normle o cnonic un iperbole con centro in C(, con ssi simmetri ( ( prlleli gli ssi coornti è ± 1 Se si prende il segno più l secondo membro b si h l equzione un iperbole con sse trsverso prllelo ll sse ; se si prende il segno meno l secondo membro si h l equzione un iperbole con sse trsverso prllelo ll sse L equzione dell ellisse con ssi simmetri prlleli gli ssi coornti può essere sviluppt nell form m + n + p + q + r 6 Ogni equzione del tipo m + n + p + q + r, con m e n non nulli e scor, rppresent p q un iperbole con gli ssi simmetri prlleli gli ssi coornti e centro C, e semissi m n s e m s b p q, dove s + r n 4m 4n Se s è concorde con m l sse trsverso è prllelo ll sse ; per s scorde d m l sse trsverso è prllelo ll sse Per s l equzione rppresent un ellisse degenere in un coppi rette coincidenti con i suoi sintoti 7 L semistnz focle c è legt i semissi dell iperbole dll relzione c + b 8 Le equzioni dei due sintoti dell iperbole centro C(, e semissi e b sono ( ± ( b 9 Per le posizioni reciproche tr un rett e un ellisse vlgono le stesse considerzioni ftte per le posizioni reciproche tr un rett e un prbol

11 1 Se le lunghezze e b dei due semissi dell iperbole sono uguli, l iperbole si ce equilter Gli sintoti un iperbole equilter sono perpencolri 11 L equzione un iperbole equilter con sintoti coincidenti con gli ssi crtesini è k + b 1 L funzione equzione dove, b, c, d sono numeri ssegnti, si ce funzione c + d omogrfic Per c e D d bc l funzione omogrfic rppresent un iperbole equilter con d centro C, e sintoti prlleli gli ssi coornti c c Coornte polri nel pino 1 issto un punto O nel pino detto polo; b un semirett O, dett sse polre, vente origine nel punto O; c un verso positivo delle rotzioni intorno l polo e d un unità misur U per i segmenti; risult stbilito un sistem coornte polri L stnz d un punto P del pino dl polo si ce modulo o rggio vettore P; l ngolo θ cui l sse polre deve ruotre per sovrpporsi l segmento OP si ce nomli o ngolo rezione P Il rggio vettore d e l nomli θ costituiscono le coornte polri P 3 Le trsformzioni dlle coornte polri un punto P lle sue coornte crtesine sono P d cos θ, P d sen θ 4 Le trsformzioni dlle coornte crtesine un punto P ll sue coornte polri sono d + cosθ, senθ + +, 5 Si dt un rett r; inchimo con α l ngolo che l normle r condott dl polo O form con l sse polre, e con l stnz del polo dll rett r L equzione dell rett r in coornte polri è llor d cos α θ ( 6 Si dt un circonferenz rggio r Se il polo del sistem coornte polri è un punto dell circonferenz, l equzione dell circonferenz in coornte polri è d r cos θ Se il polo del sistem coornte polri è il centro dell circonferenz, l equzione dell circonferenz in coornte polri è d r