TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO

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1 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO INTRODUZIONE Per trsformzione geometric pin si intende un corrispondenz iunivoc fr i punti di un pino, ossi un funzione iiettiv che ssoci d ogni punto P del pino un punto P dello stesso pino. Questo signific che tutti gli elementi dell insieme A hnno un corrispondente in B e tutti gli elementi dell insieme B sono immgini di un elemento di A. Queste trsformzioni sono lineri perché le relzioni che legno le coordinte di un punto e del suo corrispondente sono espresse d polinomi di primo grdo. Le trsformzioni operno sulle figure geometriche e possono cmire o no le crtteristiche delle figure. Le trsformzioni vengono clssificte secondo le proprietà che non cmino nell trsformzione, dette proprietà invrinti. TRASFORMAZIONI ISOMETRICHE Le più semplici trsformzioni geometriche sono le trsformzioni isometriche o isometrie. Si definisce isometri un trsformzione del pino che conserv le distnze. Le isometrie si distinguono in dirette e inverse second che mntengno o no l orientmento fr i punti. Sono isometrie dirette: le TRASLAZIONI, che sono trsformzioni in cui i segmenti che uniscono ogni punto l proprio corrispondente sono congruenti, prlleli e concordi. t: le ROTAZIONI di centro O, che sono trsformzioni in cui rimne fisso il punto O, detto centro di rotzione, e ogni punto P del pino h per corrispondente un punto P tle che le distnze OP e OPsino uguli e l ngolo POP si congruente un ngolo ssegnto di mpiezz : : cos sin sin cos Se l ngolo è un ngolo pitto, l rotzione corrispondente è dett SIMMETRIA CENTRALE, in qunto i punti corrispondenti sono simmetrici rispetto l centro O: o : Sono isometrie inverse: 1

2 le SIMMETRIE ASSIALI in cui i punti dell sse r rimngono fissi e sono detti punti uniti dell trsformzione. Ogni punto P del pino h per corrispondente il punto P tle che r si sse del segmento PP. Fr queste considerimo le: o Simmetrie rispetto ll sse : : o Simmetrie rispetto ll sse : TRASFORMAZIONI NON ISOMETRICHE Si definiscono trsformzioni non isometriche quelle trsformzioni che non conservno le distnze fr i punti. Le SIMILITUDINI Si definisce similitudine un funzione iiettiv del pino in sé tle che, dti due punti P e Q e i loro corrispondenti P e Q, fr l distnz dei punti P e Q e quell dei loro corrispondenti P e Q sussist l relzione: PQ PQ dove, rele e positivo, è detto rpporto di similitudine. Nelle similitudini ogni distnz reltiv tr i punti è modifict secondo un fttore costnte. Se =1, le distnze rimngono uguli e si h un isometri: così le isometrie sono un cso prticolre di similitudine. Fr le più semplici similitudini vi sono le OMOTETÌE. Si definisce omotetì con centro in un punto O del pino, un trsformzione che soddisf lle seguenti condizioni: l punto O corrisponde se stesso; d ogni punto P diverso d O corrisponde il punto P llineto con O e P, tle che risulti: OP OP con rele positivo. Se >1, l omotetì è un diltzione; se K<1, l omotetì è un contrzione. 2

3 Le TRASFORMAZIONI AFFINI Fissto un sistem di ssi crtesini (non necessrimente ortogonli), si definisce ffinità un trsformzione del pino in sé tle che d ogni punto P(; ) corrisponde un punto P ( ; ) le cui coordinte sono dte d: c d e f con,, c, d, e, f R e det(a) = 0 d e. Le proprietà crtteristiche dell ffinità sono: un ffinità trsform rette in rette; un ffinità trsform rette prllele in rette prllele e rette incidenti in rette incidenti; in un ffinità il rpporto fr le ree di due figure corrispondenti è egule l vlore ssoluto del determinnte dell mtrice dell trsformzione. 3

4 Trsformzioni Geometriche(2) Le definizioni che seguono sono generlmente riferite ll sistemzione ssiomtic post d Feli Klein nel fmoso trttto di Erlngen. I numeri n] indicno gli invrinti topologici. Trsformzioni geometriche: funzioni iiettive dello spzio in sé. Trsformzioni topologiche [luogo - studio]: trsformzioni geometriche che conservno: 1] Dimensionlità (linee in linee, punti in punti ecc.) 2] Crttere delle curve (curve chiuse in curve chiuse, curve perte in curve perte) 3] Singolrità (nodi in nodi ecc.) Trsformzioni proiettive: trsformzioni topologiche che conservno: 4] Le linee rette (rettilinerità) Trsformzioni ffini: trsformzioni proiettive che conservno: 5] Il prllelismo (m non l direzione delle rette prllele) Trsformzioni omotetiche: trsformzioni ffini che conservno: 6] L direzione 7] Gli ngoli 8] Il rpporto tr lti omologhi Trsformzioni isometriche: trsformzioni ffini che conservno: 7 ] Gli ngoli 8 ] Le distnze (trslzioni, rotzioni, roto-trslzioni, le simmetrie ssili e centrli) Trsformzioni simili: trsformzioni ffini che conservno l form Oss.: Eseguendo un composizione di un omotetì con un isometri, si ottengono le similitudini ossi: similitudine = omotetì Isometri. Ovvimente si le trsformzioni omotetiche si quelle isometriche rppresentno due sottogruppi delle similitudini. Si osservi più vnti che le isometrie non risultno, in generle, delle prticolri omotetìe poiché il coefficiente di diltzione di un omotetì è lo stesso per l e per l mentre nelle isometrie tle coefficiente può risultre 1. Similitudini Isometrie Identità Omotetie 4

5 5 Le Affinità Dopo ver introdotto le ffinità, ne studieremo il sottogruppo delle similitudini ossi, più in prticolre, le omotetìe e le isometrie (trslzioni, rotzioni, simmetrie). Le ffinità: eseguono due stirmenti sulle figure geometriche che possono determinre (nche se ciò può merviglire) un vrizione di ngoli e di direzioni. Le corrispondenti equzioni sono: h Le omotetìe sono ffinità prticolri con h = : Le isometrie sono ffinità suddivise in trslzioni, rotzioni e simmetrie (ssili e centrli).