Proiettività della Retta e del Piano.

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1 Introduzione. In queste note proponimo l clssificzione delle proiettività per l rett proiettiv ed il pino proiettivo su un corpo lgebricmente chiuso. Nel cso dell rett studieremo nche il cso del corpo rele e il cso di un corpo rbitrrio. 1. Elementi uniti di un Proiettività. Sino V uno spzio vettorile sul corpo K P = P(V uno spzio proiettivo di dimensione n ϕ un proiettività di P(V in sé e f uno degli utomorfismi di V che induce ϕ. L proiettività ϕ induce un ppliczione biettiv di S = S(V in sé che indicheremo ncor con ϕ o con S(f se è necessrio essere più precisi Definizione (Elementi uniti di un Proiettività. Dt un proiettività ϕ : S S un elemento s S si dice unito per ϕ (o sotto ϕ se ϕ(s = s. Ad esempio un punto P è unito per ϕ se viene mndto in sé stesso: ϕ(p = P. Un rett r è unit se ϕ(r = r; si dice invece un rett di punti uniti se ϕ(p = P per ogni P r. Ovvimente un rett di punti uniti è un rett unit; il vicevers essendo in generle flso. Si us l stess terminologi per qulunque sottovrietà linere. Attenzione: Il ftto che un elemento s si unito in generle non implic che sino uniti tutti i suoi punti. Studimo come cercre punti uniti ed iperpini uniti di un proiettività Punti uniti e utovettori. Scelto un riferimento su P possimo rppresentre i suoi punti con coordinte omogenee X e ϕ : P P con un mtrice A PGL(n K (cioè un mtrice qudrt invertibile d ordine n+1 meno di proporzionlità. Che un punto P = v si unito per ϕ signific llor che v è un utovettore per l ppliczione f ovvero che le sue coordinte x P sono un utovettore dell mtrice A. Inftti poiché P = v bbimo ϕ(p = f(v cosicché ϕ(p = P se e solo se f(v = λv ovvero ϕ(p = P se e solo se Ax P = λx P per qulche utovlore λ (necessrimente non nullo. Dunque: cercre i punti uniti di un proiettività equivle cercre gli utovettori di un ppliczione linere f sovrstnte ϕ ovvero di un mtrice che rppresenti l proiettività Ricordimo l terminologi: si descrive l situzione dicendo che λ è un utovlore di f e che ogni vettore v V come sopr è un utovettore ssocito ll utovlore λ. Gli utovlori di f sono le rdici dell equzione crtteristic (o polinomio crtteristico di f det(xid V f = 0 o equivlentemente det(xi n+1 A = 0 se A è l mtrice di f reltivmente d un qulche bse di V. Ad un utovlore λ di f restno ssociti i numeri interi positivi Mult(λ e Null(λ. Mult(λ si dice l molteplicità (o molteplicità lgebric di λ ed è l molteplicità di λ in qunto rdice dell equzione crtteristic. Null(λ si dice l nullità (o molteplicità geometric di λ ed è l dimensione del sottospzio degli utovettori ssociti λ. In generle per ogni utovlore λ di f si h Mult(λ Null(λ. Se tutti gli utovlori di f sono in K f è riducibile form tringolre ed digonlizzbile se e solo se Mult(λ = Null(λ per ogni utovlore λ Osservimo che scelto un riferimento proiettivo l mtrice A è determint meno di moltipliczione per uno sclre (come pure l ppliczione f dunque i suoi utovlori non sono invrinti dell proiettività; i rpporti tr gli utovlori invece lo sono cioè non dipendono dll mtrice scelt per rppresentre l proiettività. Quindi l frse il punto unito P è ssocito ll utovlore λ h senso solo se si fiss l mtrice A; invece l frse i punti fissi P e Q sono ssociti llo stesso utovlore (oppure: due utovlori distinti oppure: due utovlori opposti h senso indipendentemente dll mtrice scelt per rppresentre l proiettività. Università di Pdov Itli 1 [email protected]

2 Osservimo che se due punti uniti distinti sono ssociti llo stesso utovlore llor tutt l rett congiungente è ftt di punti uniti ssociti quello stesso utovlore; cioè si trtt di un rett di punti uniti. Se invece due punti uniti sono ssociti due utovlori distinti (e dunque sono due punti distinti llor l rett che li congiunge è un rett unit m non un rett di punti uniti (e nzi gli unici punti uniti di quell rett sono i due dti. Generlizzre l ffermzione tre o più punti Iperpini uniti e utovettori dell mtrice trspost. Un iperpino π di P è definito d un equzione π X = 0 un volt fissto un riferimento in P (ricordimo che si dicono le coordinte plückerine di π e sono le sue coordinte in qunto punto dello spzio proiettivo dule usndo il riferimento dule di quello scelto in P. Questo signific che π = {P P tli che π x P = 0}. L immgine di π trmite ϕ è dt dll iperpino ϕ(π: ϕ(π = {Q P tli che Q = ϕ(p con P π} = {Q P tli che x Q = Ax P e π x P = 0} = {Q P tli che A 1 x Q = x P e π x P = 0} = {Q P tli che π A 1 x Q = 0}. che è dunque definito dll equzione ( π A 1 X = 0 cioè h coordinte plückerine π A 1. Dunque un iperpino di equzione X = 0 è unito se e solo se bbimo A 1 = µ per qulche µ K (necessrimente diverso d zero cioè se e solo se A = λ per qulche λ (necessrimente diverso d zero o infine se e solo se t è un utovettore di A t. Conclusione: cercre gli iperpini uniti di un proiettività equivle cercre gli utovettori dell trspost di un mtrice che rppresenti l proiettività 1.4. Osservzione: Un mtrice e l su trspost hnno lo stesso polinomio crtteristico dunque gli stessi utovlori con le stesse molteplicità lgebriche; m in generle gli utospzi e gli utovettori dell mtrice e dell su trspost sono completmente diversi Relzioni tr punti uniti e iperpini uniti. È utile vere dei criteri per cpire qundo un punto unito ed un iperpino unito si pprtengno. Un risultto è fcile: (1 se un punto unito ed un iperpino unito sono ssociti d utovlori distinti llor si pprtengono (cioè il punto pprtiene ll iperpino. Inftti si P il punto unito con Ax P = λx P e si π l iperpino unito con π A = µ π e si λ µ; llor (λ µ π x P = λ π x P µ π x P = π Ax P π Ax P = 0 d cui π x P = 0 cioè P π. Nel cso invece in cui punto e pino sono ssociti llo stesso utovlore l situzione è più complict; se l utovlore h molteplicità lgebric uno llor h ssociti un unico punto unito ed un unico iperpino unito che non si pprtengono. Dunque: (2 se un punto unito ed un iperpino unito sono ssociti llo stesso utovlore e si pprtengono llor l utovlore h molteplicità mggiore di uno. Più precismente: (3 se un utovlore h ssociti un unico punto unito ed un unico iperpino unito llor questi si pprtengono se e solo se l utovlore h molteplicità mggiore di uno Dulità. Un punto di vist migliore per studire i fenomeni precedenti è il seguente. Ad ogni proiettività ϕ di P(V in sé corrisponde cnonicmente un proiettività ϕ di P = P(V in sé dt dll composizione ϕ : P(V P(V P(V P(V ove : P(V P(V è l ppliczione cnonic che mnd ogni sottospzio di V nel suo ortogonle in V e è l ppliczione invers. Se si fiss un riferimento su P(V l proiettività ϕ è descritt d un mtrice A GL n+1 (K determint meno di un fttore non nullo nel modo seguente: x ϕ(p = Ax P ove x P indic l mtrice (x 0... x n t delle coordinte di P per ogni P P(V. Se I è punto di P(V di coordinte plückerine u I llor π = I = {P P(V : u I x P = 0} è iperpino di P(V e l iperpino immgine trmite ϕ è ϕ(π = {ϕ(p P(V : u I x P = 0} = {Q P(V : u I A 1 x Q = 0} Università di Pdov Itli 2 [email protected]

3 (perché x Q = Ax P e dunque ϕ (I = (π è il punto di P(V di coordinte plückerine u I A 1. Quindi l mtrice di un ppliczione linere sovrstnte ϕ è (A t 1 (compre l trspost perché le coordinte dei punti devono essere in colonn. Quindi se f : V V er ppliczione linere sovrstnte ϕ llor un ppliczione linere sovrstnte ϕ è dt d (f 1 : V V e rppresent l zione di ϕ sugli iperpini di P(V Involuzioni. Le involuzioni sono le proiettività ϕ non identiche tli che ϕ 2 si l identità. Se K è lgebricmente chiuso un proiettività è un involuzione sse esistono due sottospzi complementri L ed M di punti uniti e ssociti due utovlori uno opposto dell ltro. Per ogni rett P Q con P L e Q M l proiettività indott è un involuzione vente P e Q come punti uniti. Nel cso delle rette proiettive: un proietività è un involuzione se e solo se esiste un coppi di punti involutori (P Q tli che ϕ(p = Q e ϕ(q = P ; inoltre esiste unic l involuzione un volt ssegnti le immgini di due punti distinti (in prticolre se vengono ssegnti due punti fissi distinti Omologie. Un omologi è un proiettività non identic con un iperpino di punti uniti detto sse di omologi; per dulità esiste un punto unito centro di un stell di iperpini uniti detto centro di omologi; l omologi si dice specile o generle second che il centro pprteng o no ll sse. L mtrice di un omologi in un riferimento che estend un riferimento dell sse è del tipo 0. 0 µ 0 0 se generle (il centro è il primo punto del riferimento il rpporto µ/λ si dice l invrinte dell omologi e per ogni punto P fuori dell sse e diverso dl centro si h (C H P ϕ(p = µ/λ per ogni H ; ovvero λi n se specile; osservimo che si trtt delle proiettività che inducono delle trslzioni nello spzio ffine complementre dell iperpino di equzione X 0 = 0 in quel riferimento Costruzione grfic delle omologie. Un volt noti sse e centro C di un omologi ess è determint dll immgine ϕp di un qulunque punto non unito P. Inftti le rette del fscio di centro C sono rette unite (non di punti uniti e questo permette le seguenti costruzioni grfiche: λi ϕr ϕq A = ϕa C p = ϕp P Q ϕp omologi generle r q = ϕq ϕq ϕp A = ϕa r p = ϕp C P Q q = ϕq omologi specile ϕr 2. Proiettività dell Rett. Ricordimo che per l rett proiettiv punti e iperpini coincidono. Un proiettività ϕ : P 1 (K P 1 (K scelto un sistem di riferimento proiettivo si rppresent trmite un mtrice invertibile A d ordine 2 meno di proporzionlità Cso di un corpo lgebricmente chiuso. Se K è lgebricmente chiuso le forme cnoniche di Jordn clssificno le proiettività di P 1 (K in sé. Si hnno solo tre forme: Università di Pdov Itli 3 [email protected]

4 (1 l identità (di mtrice λi con λ 0; questo cso si verific qundo il polinomio crtteristico dell mtrice A h un unico utovlore dunque di molteplicità lgebric 2 e che bbi molteplicità geometric 2 cioè che bbi due utovettori indipendenti; (2 l omologi generle con due punti uniti distinti; questo cso si verific qundo il polinomio crtteristico dell mtrice A h due utovlori distinti λ µ e dunque due utovettori indipendenti (in un riferimento di utovettori l mtrice di ϕ divent ( λ 0 0 µ con λ µ non nulli (3 l omologi specile con un solo punto unito; questo cso si verific qundo il polinomio crtteristico dell mtrice A h un unico utovlore dunque di molteplicità lgebric 2 e che bbi molteplicità geometric 1 cioè che bbi utospzio di dimensione 1 (in questo cso si può scegliere un riferimento in cui ϕ è rppresentto dll mtrice ( λ 1 0 λ con λ 0. Questi csi concludono l clssificzione su un corpo lgebricmente chiuso poiché non vi sono ltre possibilità per gli utovlori e le loro molteplicità Cso di un corpo rbitrrio. Se K è qulsisi definimo (A := (tr (A 2 4 det(a; Si trtt del discriminnte del polinomio di secondo grdo X 2 tr (AX + det(a che è il polinomio crtteristico dell mtrice A. Un proiettività non identic si dice prbolic se (A = 0 iperbolic se (A è qudrto in K ellittic se (A non è qudrto in K (queste condizioni dipendono solo dll proiettività e non dll mtrice che l rppresent. Tenendo conto che gli utovlori si clcolno con l clssic formul x 12 = tr (A ± (A 2 si vede che per un proiettività prbolic il polinomio crtteristico h un unico utovlore di molteplicità lgebric 2 e geometric 1 (ltrimenti l proiettività srebbe identic; per proiettività iperboliche vi sono due utovlori distinti in K; per proiettività ellittiche non vi sono utovlori in K (dunque si trtt di mtrici che non sono nemmeno tringolrizzbili in K m vi sono due utovlori distinti in K[ ]. Un proiettività è prbolic iperbolic ellittic second che bbi un unico punto unito (necessrimente rzionle su K due punti uniti distinti in P 1 (K nessuno punto unito rzionle su K (e llor h due punti uniti in P 1 (K[ ]. Conclusione: le proiettività si clssificno come segue: (1 l identità; (2 proiettività iperboliche (hnno due utovlori distinti in K dunque due punti uniti distinti in P 1 (K e si riconoscono dl ftto che (A si qudrto in K; (3 proiettività prboliche (hnno un solo utovlore necesrimente in K dunque un solo punto unito necessrimente in P 1 (K e si riconoscono dl ftto che (A = 0; (4 proiettività ellittiche (sono prive di utovlori in K e hnno due utovlori distinti in K[ ]; dunque non hnno lcun punto unito in P 1 (K e hnno due punti uniti distinti in P 1 (K[ ] e si riconoscono dl ftto che (A non si qudrto in K. Studio delle involuzioni. Se K è un corpo di crtteristic 2 llor tutte le proiettività prboliche sono involuzioni (con un unico punto unito e vicevers ogni involuzione è prbolic. Se invece l crtteristic del corpo è divers d due llor non esistono involuzioni prboliche e le involuzioni sono ellittiche o iperboliche second che det(a si un qudrto o no in K Cso del corpo rele. In questo cso bbimo che (A è un qudrto se e solo se (A 0. Dunque l proiettività è iperbolic ellittic prbolic second che (A si positivo negtivo o nullo. Se poi si trtt di un involuzione llor non è prbolic ed è ellittic o iperbolic second che det(a si positivo o negtivo. Osservzione: se P Q sono punti distinti non uniti e non uno l immgine dell ltro per l involuzione ϕ llor ϕ è ellittic o iperbolic second che (P ϕ(p Q ϕ(q si negtivo o positivo Esercizi. Studire le proiettività di mtrici ( ( ( ( ( Università di Pdov Itli 4 [email protected]

5 sulle rette proiettive sopr i corpi Q R C. 3. Proiettività del Pino Cso di un corpo lgebricmente chiuso. Sino ϕ un proiettività di P 2 (K in sé A un mtrice di ϕ e ϱ 1 ϱ 2 ϱ 3 le tre rdici dell equzione crtteristic di A. Più in generle l clssificzione vle per un corpo qulsisi m solo per le proiettività le cui funzioni lineri sovrstnti hnno tutti i loro utovlori nel corpo. Distinguimo i possibili csi di molteplicità e nullità Tre rdici distinte ϱ 1 ϱ 2 ϱ 3. A ciscun di esse corrisponde un punto unito R i ed un rett unit r i i = I punti e le rette sono vertici e lti di uno stesso tringolo; l rett r i contiene i due punti diversi d R i. Se si sceglie il riferimento (P 0 P 1 P 2 U in modo che (P 0 P 1 P 2 = (R 1 R ( 2 R 3 cioè che i punti uniti sino i vertici del tringolo fondmentle; llor l mtrice di ϕ ssume l form 0 ϱ 2 0. ϱ Due rdici distinte ϱ 1 ϱ 2 Mult(ϱ 1 = 1 Mult(ϱ 2 = 2 Null(ϱ 2 = 1. Ad ognun delle due rdici ϱ i corrisponde un solo punto unito R i ed un sol rett unit r i. L rett r 1 pss per R 2 m non per R 1 invece r 2 pss si per R 1 che per R 2. Se si sceglie il riferimento (P 0 P 1 P 2 U in modo che P 0 = R 1 P 1 = R 2 u 0 = r 1 (e quindi u 2 = r 2 ; llor dopo un opportun scelt del punto unità l mtrice di ϕ ( 0 ϱ 2 1. ϱ Due rdici distinte ϱ 1 ϱ 2 Mult(ϱ 1 = 1 Mult(ϱ 2 = 2 Null(ϱ 2 = 2. A ϱ 1 corrispondono un ssume l form solo punto unito R ed un sol rett unit r. Invece ϱ 2 corrispondono i punti uniti di un rett (che srà necessrimente r e le rette unite di un fscio (che vrà necessrimente centro in R. Le proiettività di questo tipo si dicono omologie non specili. Il punto R si dice il centro dell omologi e l rett r si dice l sse. Non specile signific che il centro non pprtiene ll sse. Se si sceglie il riferimento (P 0 P 1 P 2 U ( in modo che P 0 = R u 0 = r; llor l mtrice di ϕ ssume l form 0 ϱ 2 0. ϱ Tre rdici coincidenti con Mult(ϱ = 3 Null(ϱ = 1. A ϱ corrispondono un solo punto unito R ed un sol rett unit r che si pprtengono. Se si sceglie il riferimento (P 0 P 1 P 2 U in modo che P 0 = R u 2 = r e che u 0 conteng ϕ(p 2 ; llor l mtrice di ϕ ssume l form. ( ϱ ϱ 1 ϱ Tre rdici coincidenti con Mult(ϱ = 3 Null(ϱ = 2. A ϱ corrispondono i punti uniti di un rett r e le rette unite di un fscio il cui centro R pprtiene d r. Le proiettività di questo tipo si dicono omologie specili. Il punto R si dice il centro dell omologi e l rett r si dice l sse. Se si sceglie il riferimento (P 0 P 1 P 2 U in modo che P 0 = R u 2 = r; llor dopo un opportun scelt del punto unità l mtrice di ϕ ssume l form ( ϱ 0 ϱ 1 ϱ Tre rdici coincidenti con Mult(ϱ = 3 Null(ϱ = 3. L proiettività ϕ è l ppliczione identic. Comunque si scelg il riferimento (P 0 P 1 P 2 U l mtrice di ϕ ssume l form Esercizi. Studire le proiettività di mtrici sul pino proiettivo sopr il corpo R. ( ϱ 0 ϱ 0 ϱ Università di Pdov Itli 5 [email protected]