Le equazioni di grado superiore al secondo

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1 Le equzioni di grdo superiore l secondo ITIS Feltrinelli nno scolstico R. Folgieri Teorem fondmentle dell lger Ogni equzione lgeric di grdo n h sempre n soluzioni, che possono essere reli o non reli Ad esempio, l equzione 3 1 = 0 h solo un soluzione rele, cioè = 1, ed h ltre due soluzioni dte d numeri non reli. Determinre le soluzioni di un equzione di grdo superiore l secondo non è sempre fcile. Ad esempio le equzioni complete di terzo e di qurto grdo hnno formule risolutive non fcili d pplicre. Per le equzioni di grdo superiore l qurto non ci sono formule risolutive. Ci occuperemo solo di lcune equzioni prticolri di grdi superiore l secondo, cioè di quelle che si possono risolvere riconducendole equzioni di primo e di secondo grdo. R. Folgieri

2 Risoluzione per scomposizione A volte un equzione si può scomporre in un prodotto di equzioni, di primo e di secondo grdo. Per effetture quest operzione occorre vere dimestichezz con i prodotti notevoli e con le regole di scomposizione (d esempio Ruffini) e di rccoglimento fttor comune. Vedimo lcuni esempi di equzioni di questo tipo: X = 0, che si può scomporre rccogliendo l, e ottenendo così ( 5 + 6)=0 risolviili entrme X 4 16 = 0 è l differenz di due qudrti: ( +4)( 4)=0 e il secondo fttore può ncor essere scomposto: ( +4)(+)(-)=0 tutte risolviili si scompone utilizzndo il metodo di Ruffini, ottenendo (-1)( )=0 risolviili entrme R. Folgieri Equzioni inomie Sono quelle l cui form cnonic è n + = 0 con, R, n N Le soluzioni si ottengono isolndo l incognit: Si estre, poi, l rdice n-esim: = n Possimo vere tre csi: n è pri ed e hnno segni concordi -/ è un numero negtivo. L rdice di indice pri di un numero negtivo non è compres nell insieme R, così l equzione non h soluzioni reli. n è pri ed e hnno segni discordi -/ è un numero positivo. L equzione h due soluzioni reli opposte tr loro, e cioè: = n = n n è dispri -/ è un numero positivo. Qulunque sino i vlori di e di, l equzione h un sol soluzione rele, dt d = n Vedimo lcuni esempi ( voi dire qule dei tre tipi pprtengono): X 4 16 = 0 h rdici = ± X = 0 h l sol rdice rele = - X = 0 non h rdici reli ( ) 3 7 =0 si può pensre come se l incognit fosse -. Poi si ricv il vlore di, cioé 5 (+1) 4 = 16 si può pensre come se l incognit fosse +1, trovndo le soluzioni + 1 = ± n = R. Folgieri

3 Equzioni trinomie Sono quelle l cui form cnonic è n + n + c = 0 con,, c R, n N Le soluzioni si ottengono per sostituzione, ponendo n = t L equzione divent, quindi: t + t + c = 0 Se il discriminnte è mggiore o ugule 0, l equzione due soluzioni reli, che sostituite di nuovo nell n = t, forniscono le soluzioni dell equzione trinomi. Se n =, si h un equzione nell form c = 0 che si dice iqudrtic. Vedimo lcuni esempi ( voi dire qule dei tre tipi pprtengono): X = 0 si pone 3 =t sostituendo si risolve. Poi si sostituiscono ncor i vlori ( voi provre) e si ottengono le soluzioni reli =1 e = - 3X = 0 si pone =t sostituendo si risolve. Poi si sostituiscono ncor i vlori ( voi provre) e si ottengono le soluzioni reli =± 1/3 e = ± X = 0 è un equzione iqudrtic. Si pone =t sostituendo si ottiene =3 che è impossiile in R e quindi l equzione non h soluzioni reli. R. Folgieri Equzioni reciproche Reciproche di prim specie: sono quelle in cui i coefficienti dei termini equidistnti dgli estremi sono numeri uguli. Es = 0 Reciproche di second specie: sono quelle in cui i coefficienti dei termini equidistnti dgli estremi sono numeri opposti. Es = 0 Se un equzione reciproc h come soluzione il numero rele k, llor h nche come soluzione il numero rele reciproco, cioè 1/k. Vedremo solo le equzioni reciproche di terzo, qurto e quinto grdo, che si risolvono tutte per scomposizione, eccetto quelle reciproche di qurto grdo e di prim specie. Reciproche di terzo grdo di prim specie Form normle = 0, con, R Il polinomio è sempre divisiile per +1. SI risolve perciò usndo Ruffini. Hnno sempre, comunque, l soluzione = -1 Es = 0 è divisiile per +1, scomponendo, oltre = -1, si h =1/ e = Reciproche di terzo grdo di second specie Form normle = 0, con, R Il polinomio è sempre divisiile per -1. SI risolve perciò usndo Ruffini. Hnno sempre, comunque, l soluzione = 1 Es = 0 è divisiile per +1, scomponendo, oltre = 1, e nessun ltr soluzione rele. R. Folgieri

4 Equzioni reciproche di qurto e di quinto grdo Reciproche di qurto grdo di prim specie Form normle c + + = 0, con,,c R Dividimo tutti i termini per, ottenendo + + c + / + / = 0 Mettimo evidenz i termini equidistnti dgli estremi, ottenendo: c = Or ponimo: + 1 = t 1 1 Elevndo l qudrto, otterremo: + + = t + = t Sostituendo nell equzione, ottenimo (t ) + t + c = 0. Si trovno (se esistono, le soluzioni t 1 e t e, tornndo ll + 1 = t si ottengono e che risolte dnno le soluzioni. + 1 = t + 1 = t 1 Es = 0 risolt con il metodo visto, h soluzioni = ½ e = Reciproche di qurto grdo di second specie Form normle = 0, con, R Mnc il termine centrle perché dovree essere ugule se stesso e l suo opposto e quindi è ugule 0. E sempre divisiile si per +1 si per -1. Così tutte hnno soluzioni = -1 e =1. Per il resto si risolvono con Ruffini. Es = 0 dividimo con Ruffini prim per -1 e poi per 1. Si ottengonoin tutto le soluzioni = -1, = 1, = 1/6, = 6. Reciproche di quinto grdo Di prim specie hnno soluione = -1,come quelle di terzo grdo di prim specie. Di second specie hnno soluione = 1, come quelle di terzo grdo di second specie. Si ssno di grdo con Ruffini e ci si riconduce d equzioni di qurto grdo. Es = 0 dividimo con Ruffini per 1. Si ottengonoin tutto le soluzioni = -1, = 1 (doppi), = -1/, = -. R. Folgieri Equzioni irrzionli Sono quelle in cui l incognit compre sotto rdice. Equzioni irrzionli con rdici qudrte Si elev l qudrto per eliminre l rdice. Accorgimenti: 1) Se l equzione contiene solo un rdice, conviene isolrl in uno dei due memri ) Se contiene due rdici e nessun lro termine, conviene mettere un rdice in un memro e un in un ltro 3) Se contiene due rdici e nche ltri termini, conviene che entrme le rdici sino d sole in uno dei due termini. Eliminndo l qudrto rest un rdice, che si deve poi isolre per poter elevre di nuovo l qudrto. L equzione ottenut, però, non è equivlente, per cui, trovte le rdici, occorre verificre che effettivmente sino rdici dell equzione irrzionle di prtenz., sostituendo ogni soluzione ll incognit per stilire se è soddisftt. Vedimo lcuni esempi ( voi pplicre il procedimento): + 5 = = = 6 = 0 R. Folgieri

5 Equzioni irrzionli con rdici cuiche Equzioni irrzionli con rdici cuiche Si elevno l cuo, un o più volte, entrmi i memri dell equzione. Accorgimenti: Non è necessrio verificre le soluzioni e nemmeno porre condizioni sull espressione sotto rdice, perché il rdicndo può essere positivo, negtivo o nullo. Vedimo lcuni esempi ( voi pplicre il procedimento): = = = + 1 Altri tipi di equzioni irrzionli Si possono risolvere con un po di intuito, per tenttivi e qulche ccorgimento (e fcendo molti, molti esercizi, che ci permetternno di riconoscere come procedere) Es. L seguente equzione si risolve riducendo entrme le rdici llo stesso indice 6: = + 1 ( + 1) = ( + 1 ) Es. l equzione seguente si risolve elevndo l qudrto due volte mo i memri + 1 = 1 R. Folgieri