Esponenziali e logaritmi

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1 Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele Esponenzili e ritmi L potenz è definit: se, per ogni R se, per tutti e soli gli R se, per tutti e soli gli Z. Sono definite: 7 7. Non sono definite:. Csi prticolri :,, per ogni R,, per ogni R Le proprietà delle potenze definite per esponenti interi vlgono nche per esponenti reli: Se, : b per ogni b, pprtenenti R vle : 4

2 Funzione esponenzile Si chim funzione esponenzile ogni funzione del tipo :, con fissto, R. Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttribuire è tutto R il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R + (l funzione esponenzile è sempre strettmente positiv). Si distinguono tre csi: : funzione crescente : : funzione costnte : per ogni R : funzione decrescente :. I seguenti grfici illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi : = = = = < < > > > 4

3 EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMI Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze. L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del tipo : b, con e b è l' incognit dell' equzione. Un'equzione esponenzile del tipo b può essere impossibile, indetermint o determint : impossibile se b, oppure b e esempio : oppure indetermint se, b esempio : determint se,, b esempio :. Si chim ritmo in bse di b l'unic soluzione dell'equzione esponenzile elementre nel cso determinto, cioè l'esponente d ssegnre ll bse per ottenere il numero b. = b = bse dell eponenzile e del ritmo Supponimo di dover risolvere un'equzione esponenzile b : se e b si scrivono come potenze (rzionli) dell stess bse, si eguglino gli esponenti : 8 se e b non si scrivono come potenze (rzionli) dell stess bse, le soluzioni si scrivono sotto form di ritmi :. Il ritmo risult essere l'operzione invers dell'esponenzile, pertnto le limitzioni cui è soggetto l'esponenzile si riflettono sul ritmo: fisst l bse >, deve essere b>, inoltre vlgono i csi prticolri:, poichè, poichè. Anmente, lle proprietà degli esponenzili precedentemente elencte corrispondono le seguenti proprietà dei ritmi: ) ( R R, ) ) ) 4) b c c b = ( R ( R (, b, c ) R R, ), ) formul di cmbimento di bse nei ritmi. I ritmi che compiono sulle clcoltrici sono in bse oppure in bse e, 78 : indic il, detto nche ritmo decimle ln, indic il e, detto nche b 44

4 ritmo nturle o neperino. Funzione ritmic Si chim funzione ritmic ogni funzione del tipo :, con e fissto, R. L funzione ritmic è l'invers dell'esponenzile, pertnto dominio e codominio risultno scmbiti rispetto quelli dell funzione esponenzile. Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttribuire è R + il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R. Si distinguono due csi: : funzione crescente : : funzione decrescente : I grfici dell funzione ritmic si ottengono d quelli dell funzione esponenzile per simmetri rispetto ll bisettrice del I e III qudrnte ( ) essi illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi : = = = < < > > > 4

5 EQUAZIONI LOGARITMICHE Un'equzione si dice ritmic qundo l'incognit compre soltnto nell'rgomento di uno o più ritmi. L'equzione ritmic più semplice (elementre) è del tipo : b, con e b R è l' incognit dell' equzione. L su soluzione, per qunto detto proposito dell'equzione esponenzile, è : Per risolvere un'equzione ritmic conviene: b.. (qundo è possibile) trsformre l'equzione dt in un equivlente del tipo A B, pplicndo le proprietà dei ritmi A B. determinre le soluzioni dell'equzione. eseguire il controllo medinte verific dirett dei vlori di clcolti l punto 4. in lterntiv l punto, ssocire ll'equzione di cui l punto tutte le condizioni di esistenz sui ritmi (ricordimo che un ritmo è definito soltnto per vlori positivi del suo rgomento), per selezionre le soluzioni ccettbili. Esempi. Risolvimo l'equzione: 8 6. Osservimo che: e. Quindi è possibile trsformre l'equzione ssegnt nell'equzione: L soluzione dell'equzione dt è quindi.. Risolvimo l'equzione: 7. Possimo trsformre l'equzione eseguendo il ritmo (in un bse qulsisi, per esempio in bse ) del primo e del secondo membro: 7. Applichimo l proprietà ) dei ritmi: 7. Applichimo l proprietà ) dei ritmi: 7. Isolndo ottenimo: 7 (*). In lterntiv potevmo isolre, ottenendo: 46

6 7. Prendendo il ritmo in bse di entrmbi i membri si h: 7 7 Utilizzndo l formul di cmbimento di bse 4) si riottiene (*).. Risolvimo l'equzione: 6. Osservimo che:. L'equzione ssegnt è equivlente : Il denomintore, essendo un funzione esponenzile, non può ssumere il vlore zero. Possimo moltiplicre per entrmbi i membri, ottenendo: 6 8. E' evidente l struttur di equzione lgebric di II grdo nell'incognit. Risolvendo tle equzione (può essere utile introdurre un vribile usiliri più evidente l ntur di equzione di secondo grdo) si h: oppure 4 d cui: oppure. 4. Risolvimo l'equzione ritmic:. z per rendere Imponimo le condizioni di esistenz sui ritmi dell'equzione dt, ricordndo che gli rgomenti devono essere positivi: cioè ll vribile si possono ssegnre solo i vlori mggiori di. Risolvimo l'equzione pplicndo l proprietà ) dei ritmi e osservndo che : Uguglindo gli rgomenti si h l seguente equzione equivlente: 7 9,. 9 7 Il vlore è minore di, quindi non è comptibile con le condizioni di esistenz. L'unic soluzione dell'equzione è dt d: 7. 47

7 Esercizi m n m. Tenendo presente che n, scrivi le seguenti potenze sotto form di rdice: 8 ) 4 4 b). 4. Scrivi le seguenti rdici sotto form di potenz con esponente rzionle: ) 4. b) Risolvi le seguenti equzioni esponenzili: ) 6 9 b) 8 4 c) 6 d) 7 4 e) f) 7 g) 4 h) 9 i) 6 j) 4. Risolvi le seguenti equzioni ritmiche: ) 9 b) c) d) 6 e) 8 9 f) 48