Equazioni parametriche di primo grado

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1 Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere, dette incognite Le equzioni, cioè, sono uguglinze condizionte.ad esempio, l uguglinz: = è ver soltnto se l posto dell incognit si pone il vlore numerico. Inftti, si h: =, =. L relzione di uguglinz fr i termini e sussiste soltnto per =. Per, invece, si h: I vlori delle incognite che verificno un equzione si dicono soluzioni o rdici dell equzione. Per le equzioni lgebriche un incognit, il numero delle rdici dipende dl grdo del equzione. Il teorem fondmentle dell lgebr fferm, inftti, che un equzione lgebric di grdo n, con n numero intero positivo, mmette l mssimo rdici che possono essere tutte reli, tutte complesse, lcune reli e ltre complesse. Le rdici di un equzione, inoltre, sono funzioni dei coefficienti delle incognite. Se i coefficienti di un equzione sono numerici, le sue rdici sono dei numeri; se, invece, sono funzioni di un o più vribili, dette prmetri, nche le rdici risultno funzioni di tli vribili. Come si s, inoltre, un equzione può rppresentre l trduzione in termini nlitici di un problem di ntur qulsisi. In tl cso, le rdici dell equzioni devono verificre certe condizioni ffinché rppresentino soluzioni nche del problem. Non sempre, cioè, le rdici di un equzione che risolve un certo problem rppresentno soluzioni del problem stesso. Si chirirà or con degli esempi qunto ppen ffermto.. Si 0 = 0 l equzione risolvente un problem per il qule sono ccettbili, d esempio, vlori di mggiori di. Si deve vere, cioè, >. Equzioni prmetriche di primo grdo

2 Risolvendo l equzione, si trov: = Il risultto ottenuto rppresent un soluzione del problem perché è comptibile con l condizione del problem espress dll relzione >. Si può quindi ffermre che il problem proposto è possibile e l su soluzione è espress d =. Si = 0 l equzione risolvente un certo problem per il qule sono ccettbili soltnto. vlori interi dell incognit. Risolvendo l equzione, si trov: = Il vlore di trovto non può rppresentre un soluzione del problem perché non è un numero intero. Quest volt, cioè, l condizione del problem non è stt rispettt, contrrimente qunto successo nel cso precedente. Si conclude che il problem proposto è impossibile, ossi non mmette soluzione.. Si k + = 0 l equzione risolvente un certo problem per il qule sono ccettbili soltnto vlori di mggiori di e dove k indic un numero rele qulsisi. Risolvendo l equzione, si ricv: = k L rdice dell equzione non è costnte, cioè non è un numero ben definito e preciso come nei due csi precedenti. Al vrire del prmetro k, inftti, vrino i vlori dell rdice dell equzione. Si dice che è un funzione dell vribile k. Per certi vlòori di k si trovno vlori di mggiori di, per ltri minori o uguli. Quest volt non si può ffermre che il problem si possibile o impossibile. L possibilità o meno del problem dipende di vlori di k. Il problem è possibile per tutti quei vlori di k per cui risult mggiore di ; è impossibile, invece, per tutti quei vlori di k per cui risult minore o ugule. Si dice che se l equzione risolvente un problem è prmetric, il problem non è ssolutmente possibile o impossibile; cioè, come si è detto prim, dipende di vlori del prmetro presente nell equzione. Insomm, mentre nei primi due esempi si è trttto soltnto di ccertre se le rdici delle equzioni fossero comptibili con le condizioni del problem, in questo cso, invece, bisogn chiedersi per quli vlori del prmetro l rdice dell equzione rispett l condizione del problem. In ciò consiste l discussione delle equzioni prmetriche. Ponendo k > si trov: k > L rdice dell equzione è mggiore di per k > ; è minore o ugule per k. Si fferm llor che il problem è possibile per k >, è impossibile per k. Or srnno presentti i vri metodi di discussione delle equzioni prmetriche di primo grdo. Equzioni prmetriche di primo grdo

3 Polo Sivigli Discussione delle equzioni prmetriche di primo grdo Un generic equzione di primo grdo in form ridott è del tipo: + b = 0 Se i coefficienti e b sono numeri reli, l equzione è dett numeric e l su soluzione è: b = A second dei vlori di e b, l equzione si dice: determint, impossibile o indetermint. L rdice di un equzione di primo grdo può essere considert come l sciss del punto di intersezione dell rett y = + b con l sse delle scisse. Inftti, dl sistem: y = + b y = 0 per l proprietà trnsitiv dell relzione di uguglinz, si h: + b = 0 Si può dire llor che l equzione: + b = 0: è determint se l rett y = + b intersec l sse ; è impossibile se l rett y = + b non intersec l sse ; è indetermint se l rett y = + b coincide con l sse. Come è noto, un rett intersec l sse se il suo coefficiente ngolre è diverso d zero. Poiché il coefficiente ngolre dell rett y = + b è, l rett intersec l sse se 0. y O y O y = + b b > 0 y = + b = 0 e b 0 Fig. Fig. O y y O y = + b b < 0 y = + b = 0 e b = 0 Quindi: per 0, l equzione + b = 0 è determint e l su b rdice vle = ; per = 0, l rett y = + b diviene y = b;. se b 0, l rett y = b risult prllel ll sse ;. se b = 0, l rett y = b diviene y = 0 e coincide con l sse. Nel primo cso l rett non intersec l sse e perciò Equzioni prmetriche di primo grdo

4 l equzione + b = 0 è impossibile, ossi non mmette soluzioni. Nel secondo cso, invece, h infiniti punti in comune con l sse e perciò l equzione + b = 0 è indetermint, ossi mmette infinite soluzioni. Si consideri or un equzione di primo grdo come, d esempio: (k ) k + = 0 con k numero rele rbitrrio. Come si vede, i coefficienti dell equzione non sono numerici bensì funzioni del prmetro k. Si h, cioè, un equzione prmetric. Risolvendol, si ottiene: k = k I vlori di dipendono dl prmetro k. Si dice llor che l rdice dell equzione può ssumere infiniti vlori in corrispondenz degli infiniti vlori che possono essere ssegnti l prmetro k. Ad esempio: per k = si h: per k = si h: 0 = = 6 = = e così vi. Se si vuole che l incognit ssum prticolri vlori, d esempio mggiori di un dto numero, è necessrio ttribuire l prmetro k vlori tli che le corrispondenti rdici che si ottengono verifichino le condizioni imposte. Mentre per le equzioni numeriche bst ccertre semplicemente se le rdici soddisfino eventuli condizioni, per le equzioni prmetriche, invece, bisogn discutere i risultti per stbilire in corrispondenz di quli vlori del prmetro risultno verificte tli condizioni. ESEMPI 9. Dt l equzione prmetric: (k ) + k = 0, k R, stbilire per qule vlore del prmetro k, si h: =. PRIMO PROCEDIMENTO Risolvendo l equzione, si trov: k = k Per l condizione del problem, si deve vere: k = k Risolvendo l equzione in k, si trov il vlore del prmetro per il qule viene verifict l condizione post. Si h: k = 8k 0, 9k =, 9 Per k = l rdice dell equzione è. k = 9 Equzioni prmetriche di primo grdo

5 Polo Sivigli Il procedimento pplicto costituisce il cosiddetto metodo diretto dell discussione. Inftti, risolt l equzione, si è posto direttmente il risultto ugule. Per l verific, si pone l posto di k e si risolve poi l equzione numeric ottenut = 0, = Si h: + = 0, + = 0, Il vlore di k trovto è quello estto. SECONDO PROCEDIMENTO Il problem può essere risolto nche nel modo seguente. Osservndo che l rdice di un equzione di primo grdo + b = 0 equivle ll sciss del punto di intersezione dell rett y = + b con l sse, il problem proposto può essere ricondotto quello dell determinzione dell rett del fscio y = (k ) + k pssnte per il punto di coordinte (; 0). Sostituendo le coordinte del punto nell equzione del fscio di rette, si h: 0 = (k ) + k, 0 = 8k 0 + k, 9k =, k = 9 Il risultto è identico quello trovto prim. Questo secondo procedimento rppresent un metodo indiretto per l discussione delle soluzioni di un equzione prmetric. TERZO PROCEDIMENTO Il problem può essere risolto più semplicemente sostituendo nell equzione l posto di. Inftti, si h: (k ) + k = 0, 8k 0 + k = 0, 9k =, k = 9 Il risultto è identico quello trovto prim. Si è preferito presentre i tre procedimenti per dr modo di semplificre i problemi più complessi che si dovrnno ffrontre in seguito.. Si (m 6) m + = 0 un equzione prmetric, dove m è un numero rele. Per quli vlori di m l rdice dell equzione risult minore di 8? PRIMO PROCEDIMENTO Applicndo il metodo diretto, si risolve l equzione e si impone ll rdice di essere minore di 8. Si h: m = m 6 Per l condizione del problem, dev essere: m < 8 m 6 Risolvendo l disequzione, si trovno i vlori di m in corrispondenz dei quli le rdici dell equzione risultino minori di 8. Equzioni prmetriche di primo grdo

6 m 8 < 0, m 6 L disequzione si verific per: m < 6 oppure m 8m + 8 < 0, m 6 m > m < 0 m 6 Quindi, le rdici dell equzione srnno minori di 8 per tutti i vlori di m che sono minori di 6 o mggiori di. SECONDO PROCEDIMENTO Si risolve or il problem con un metodo indiretto. Si consideri l funzione: m = m 6 dove m è l vribile indipendente e l vribile dipendente. Si rppresent l funzione in un sistem Om di ssi crtesini ortogonli, dove Om è l sse delle scisse e O quello delle ordinte. L funzione rppresent un iperbole equilter vente per sintoti le rette: m = 6 e = Tenuto presente che nel nostro cso m è l sciss di un generico punto dell iperbole e l corrispondente ordint, llor m = 6 è l sintoto verticle e = quello orizzontle. Si disegn l rett orizzontle = 8. Poiché dev essere minore di 8, bisogn individure i punti dell iperbole venti ordinte minori di 8. Si trovno quindi le coordinte del punto A di intersezione dell iperbole con l rett = 8 risolvendo il sistem: 8 A = 8 = 8 m Si ottiene: = A ; 8 = m 6 O 6 m L prte di curv segnt in grssetto è formt d punti di ordinte minori di 8. Le scisse dei punti dell curv cui Fig. corrispondono punti di ordinte minori di 8 devono essere minori di 6 oppure mggiori di, come si vede chirmente nell figur. Quindi, per l condizione del problem, si deve vere: m < 6 oppure m > ffinché le rdici dell equzione sino numeri minori di 8. 6 Equzioni prmetriche di primo grdo

7 Polo Sivigli Si sono ritrovti così i risultti ottenuti col primo procedimento. Con questo secondo metodo, però, si not qulcos che prim er sfuggito. Come si vede chirmente dll figur, l rett = non intersec l iperbole. Ciò signific che l equzione dt non mmetterà mi l rdice =. Cioè, per i vlori del prmetro m soddisfcenti le condizioni: m < 6 oppure m > i vlori di sono tutti i numeri minori di 8 e diversi d. Inftti, sostituendo nell equzione l posto dell, si h: (m 6) m + = 0, m m + = 0, = 0 impossibile Quindi, per nessun vlore di m l equzione mmette l rdice =. Col primo procedimento, quest prticolrità dell equzione non è stt così evidente come col secondo. D ciò si può cpire l importnz dell geometri nlitic per l risoluzione dei problemi. Quest crtteristic può essere mess in evidenz nche decomponendo l frzione: m. m 6 Si esegue l divisione fr il numertore e il denomintore. Si h: m m 6 m + m Si può scrivere: = = + m 6 m 6 Poiché l frzione è sempre divers d zero, essendo il numertore un costnte divers d zero, m 6 l rdice ssumerà tutti vlori minori di per m < 6 e mggiori di per m > 6. Per m = 6 l equzione è impossibile.. Discutere le soluzioni dell equzione (k ) k + = 0 l vrire del prmetro k. Risolvendo l equzione, si h: k = k Si rppresent l funzione rele dell vribile k in un sistem Ok di ssi coordinti crtesini ortogonli. Ok è l sse delle scisse, O quello delle ordinte. Il digrmm dell funzione è l iperbole equilter vente per sintoti le rette: = (sintoto orizzontle) k = (sintoto verticle) L curv intersec l sse k delle scisse nel punto (; 0) e quello delle ordinste nel punto (0; ). Equzioni prmetriche di primo grdo

8 Dll figur risult subito che per k = l equzione è impossibile. Osservndo ttentmente l figur, si deduce qunto segue: O Fig. k per < k < 0 si h: < < per 0 k < si h: < + per < k < si h: < k < 0 per k < + si h. 0 < Se si vuole ottenere un equzione numeric, prtire d quell prmetric dt, che mmett un soluzione, d esempio, mggiore di, bst ssegnre l prmetro k un qulsisi vlore compreso fr 0 e ; se si vuole, invece, un equzione che bbi rdice negtiv, bst ssegnre l prmetro k un qulsisi vlore compreso fr e ; e così vi. ( k ) k + = 0. Risolvere il seguente sistem misto: k R Il sistem è detto misto perché formto d un equzione e d disequzioni. Il problem consiste nel determinre i vlori del prmetro k cui corrispondono vlori di compresi fr e. PRIMO PROCEDIMENTO Si trov in funzione di k. k Si h: = k Si disegn il grfico dell funzione ottenut in un sistem Ok di ssi coordinti crtesini ortogonli. Il grfico è l iperbole equilter di sintoti k = (sintoto verticle) e = (sintoto orizzontle). Si disegnno le rette prllele ll sse k delle scisse: = e =. Esse intersecno l curv nei punti A e B. Si trovno le coordinte dei punti A e B, risolvendo i due sistemi seguenti: = = k e k = k = k 8 Equzioni prmetriche di primo grdo

9 Polo Sivigli = = O B A k Fig. Si trov: k =, k =. Si h, così: A(; ), B ; I punti dell curv di ordinte comprese fr e sono tutti quelli che formno l rco AB. Le scisse k dei punti dell rco AB sono comprese fr e. Si dice llor che per k, risult:. SECONDO PROCEDIMENTO Si risolve or il problem con un ltro metodo indiretto, bsto sempre sull geometri nlitic. Si pone il primo membro dell equzione ugule y. Si h: y = (k ) k + L equzione rppresent un fscio di rette. Il problem proposto equivle ll ricerc dei vlori di k in corrispondenz dei quli si ottengono rette del fscio che intersecno l sse delle scisse nell intervllo vente per estremi i numeri e. Si studino i segni del primo coefficiente dell equzione e delle ordinte dei punti dell rett di scisse rispettivmente e. Si h: coefficiente = k 0 per k f() = (k ) k + = k 9 k + = k 0 per k f() = (k ) k + = k k + = k 0 per k Si è trovto che il primo coefficiente (o coefficiente ngolre dell rett) è positivo per k > e negtivo per k <. Ciò signific che per k < l rett form ngoli ottusi con l direzione positiv dell sse delle scisse; per k >, invece, gli ngoli sono cuti. Con f() si è indict l ordint del punto dell rett di sciss. Si è trovto che, per k <, i punti C. f() delle rette del fscio hnno ordinte negtive per = ; per k >, invece, si hnno ordinte positive. Anlogo discorso può essere ripetuto per i punti delle rette del fscio di sciss =. f() Fig. 6 I risultti trovti vengono riportti nell figur 6. Si studi l situzione per k compreso, rispettivmente, nei quttro intervlli trovti. Equzioni prmetriche di primo grdo 9

10 Per k < il primo coefficiente è negtivo e le rette del fscio risultno inclinte rispetto ll sse come indicto nell figur. L rett intersec l sse delle scisse nel punto 0, che è un rdice dell equzione. Or occorre vedere come si colloc tle rdice 0, che si ottiene per k <, rispetto ll intervllo vente come estremi i numeri e. Nell intervllo considerto il segno delle ordinte dei punti di sciss è negtivo. Ciò signific che il numero è ll destr di 0. Poiché nche f() è negtiv per k <, il si trov ll destr di 0. Come si vede, per k < si ottengono equzioni le cui rdici non sono comprese fr i numeri e. Si dice che per: k < non esiste nessun soluzione; si h: 0 < < Si consider or l intervllo d. In tle intervllo il primo coefficiente è positivo e perciò si Fig. 8 0 Fig. 0 hnno rette che formno ngoli cuti con l direzione positiv dell sse delle scisse. Poiché si f() che f() sono negtive nell intervllo considerto, i numeri e si trovno entrmbi sinistr dell rdice 0. Anche in questo cso i vlori di non sono compresi fr i numeri e. Si dice che per: < k < non esiste nessun soluzione; si h: < < 0 Si consider or k compreso nell intervllo esistente fr e. Fig. 9 0 Il numero si trov sinistr di 0 e il destr, essendo f() < 0 e f() > 0. In questo cso 0 è compreso fr e. Si dice che per: Fig. 0 Si esminno or i csi prticolri. < k < < 0 < 0 y = Fig. Per k >, come si vede nell figur 0, entrmbi i numeri e sono mggiori di 0. Si dice che: per k > nessun soluzione. 0 < < Per k =, il primo coefficiente è nullo e l rett è prllel ll sse delle scisse ed h equzione y =. L equzione dt, perciò, è impossibile. 0 Equzioni prmetriche di primo grdo

11 Polo Sivigli Fig. 0 = Per k = si h 0 =, essendo f() = 0. Cioè, per k = si ottiene l rett del fscio che intersec l sse delle scisse nel punto 0.=. Si dice che per: k = = ( un soluzione limite), < 0 = Fig. 0 = Per k = si h l soluzione =. Inftti, essendo f() = 0, l rett del fscio che si ottiene per k = intersec l sse nel punto 0.=. Si dice che per: k = = ( un soluzione limite), = 0 < Sintetizzndo i risultti, si h: per k Ciò signific che l equzione prmetric dt mmette soluzioni i cui vlori risultno compresi fr i numeri e soltnto in corrispondenz dei vlori di k compresi fr e. ( k ) k + = 0. Risolvere il seguente sistem misto: k R Si risolve il problem considerndo il fscio di rette: y = (k ) k + Si h: coefficiente = k 0 per k f() = (k ) k + = k + k + = k + 0 f() = (k ) k + = k k + = k 0 per Si form il seguente qudro degli intervlli. per k k C. f() f() Fig. Tenendo presente tutte le considerzioni ftte per l esercizio precedente, dl qudro si ricv: Equzioni prmetriche di primo grdo

12 0 Fig. Per k < C < 0 f ( ) > 0 f () < 0 < 0 < 0 = Fig. 6 Per C < 0 k = f ( ) > 0 f () = 0 < 0 = 0 Fig. Per < k < C < 0 f ( ) > 0 f () > 0 < < 0 y = Fig. 8 Per k = C = 0 f ( ) > 0 eq. impossibile f () > 0 0 Fig. 9 C > 0 Per < k < f ( ) > 0 0 < < f () > 0 0 = Fig. 0 Per k = C > 0 f ( ) = 0 0 = < f () > 0 Equzioni prmetriche di primo grdo

13 Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Per > k > < > 0 () 0 ) ( 0 f f C < 0 < Quindi, l equzione dt mmette rdici i cui vlori sono compresi fr e per k oppure per k. Come si vede: per < k Le rette del fscio intersecno l sse nei punti le cui scisse sono comprese fr e ;. per = k L rett del fscio intersec l sse nel punto di sciss ;. per < < k Le rette del fscio intersecno l sse nei punti le cui scisse sono mggiori di ;. per k = L rett del fscio è prllel ll sse e l su equzione è y = ;. per < < k Le rette del fscio intersecno l sse nei punti le cui scisse sono minori di ; 6. per = k L rett del fscio intersec l sse nel punto di sciss ;. per > k Le rette del fscio intersecno l sse nei punti le cui scisse sono comprese fr e. 6. Risolvere il seguente sistem misto: R = 0 ) ( Si risolve l esercizio col metodo diretto. L rdice dell equzione è: = +. Si deve vere: + che equivle l sistem: < , Fig. 0

14 dis. Le rdici dell equzione sono comprese fr e per. Fig. dis k + = 0. Risolvere il seguente sistem misto: k R PRIMO PROCEDIMENTO Poiché il coefficiente di è un costnte, è possibile seguire un procedimento grfico più semplificto. Si scrive l equzione nel modo seguente: = k Si può formre così il sistem: y = y = k L prim equzione rppresent un rett pssnte per l origine degli ssi coordinti, l second, invece, esprime un fscio di rette prllele ll sse. Il problem equivle ll determinzione dei k = 6 y 6 k = vlori di k in corrispondenz dei quli si hnno rette prllele ll sse che intersecno l rett y = nei punti di scisse comprese fr e. B Tli punti sono quelli del segmento AB. O Si trovno le coordinte degli estremi di tle segmento. Si h: f() = y A = ; f() = y B = 6. Risult: A(; ), B(; 6). A k = k = Dl grfico risult che: Fig. per k. SECONDO PROCEDIMENTO L esercizio può essere risolto nche nel modo che segue. Si consideri il fscio di rette: Per trovre le rette del fscio y = k pssnti per i punti A e B, si deve porre: k = k = k = 6 k = Equzioni prmetriche di primo grdo

15 Polo Sivigli y = k + Si h cioè un fscio di rette prllele fr loro. Si ricerchi per quli vlori del prmetro k si ottengono rette del fscio che intersecno l sse nei punti di scisse comprese fr e. Si trovi prim per quli vlori di k si hnno le rette del y fscio pssnti rispettivmente per i punti (; 0) e (; 0). k = Sostituendo le coordinte di tli punti nell equzione del k = fscio di rette, si h: 0 = k +, k = 0 = 6 k +, k = O Le rette del fscio pssnti per i punti di cui sopr sono: Fig. y = + e y = 6 Le rette del fscio che intersecno l sse nei punti di scisse comprese fr e si hnno in corrispondenz dei vlori di k compresi fr e. Quindi, per: k. TERZO PROCEDIMENTO Risolvendo l equzione, si h: = k Tenuto conto delle condizioni poste, si h: k Moltiplicndo per, si h: k 6 Sommndo, risult: k. Si perviene l medesimo risultto di prim. k + = 0 8. Risolvere il seguente sistem misto: k R Risolvendo l equzione, si h: = k Poiché l condizione può essere espress nel modo seguente:, si h: Equzioni prmetriche di primo grdo

16 Moltiplicndo per, si h: Sommndo, si h: k 0 k 0 8 k Infine, dividendo per, si perviene l risultto: 6 k. 6 + k = 0 9. Risolvere il seguente sistem misto: k R Risolvendo l equzione, si h: k = 6 Poiché l condizione può essere espress con e, si h: k 6 k 6 Moltiplicndo per 6, si h: k k Sottrendo d entrmbi i membri, si h: k k 9 Infine, dividendo per, si perviene i risultti: k 9 k 6 Equzioni prmetriche di primo grdo