La parabola con asse parallelo all ady

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1 L prbol con sse prllelo ll dy I Prbol con vertice nell origine degli ssi crtesini I disegni degli esercizi dll 1 l 3 dell sched di lbortorio, sono i seguenti: Quindi il segno del coefficiente di x determin innnzitutto l orientmento dell prbol: se è positivo l prbol h concvità verso l lto e se è negtivo h concvità verso il bsso Il punto di minimo/di mssimo, si chim ERTICE dell prbol e si indic con: Un prbol è un curv simmetric rispetto d un rett 1 specile pssnte per il vertice Studieremo solo i csi in cui quest rett si prllel ll sse y (o ll sse x Tle rett si chim sse dell prbol Se il coefficiente di x tende 0 l prbol v prendosi mentre se tende ll l infinito, l prbol v chiudendosi Indicto con l letter tle coefficiente, possimo rissumere tutto ciò nell tbell: >0 <0 0 P dx P dy 0 P dx p dy Dove: P indic l prbol, le frecce mgre indicno il verbo tendere ; le frecce ciccione indicno l impliczione logic (si leggono: llor ; è il simbolo dell infinito (il segno dvnti v interpretto come normlmente in lgebr; dy indic il semisse positivo delle y e dy indic il semisse negtivo delle y Intersezione con sse y, intersezioni con sse x e vertice coincidono nel punto O(0;0 L prbol è tngente ll sse x nel punto O E così si conclude l trttzione del cso: prbol con vertice in O e sse prllelo ll sse y Cioè il cso corrispondente ll equzione: y x 1 Condizione necessri e sufficiente ffinché un curv si simmetric rispetto d un rett è che tle rett si sse di ciscun segmento che h per estremi punti dell curv con scisse equidistnti dll rett E simmetric rispetto ll bisettrice di I e III qudrnte dell prbol con sse prllelo ll dy quindi h equzione: x y

2 II Prbol con vertice sull sse delle ordinte (dy, m non in O Il coefficiente di x,, influisce solo e unicmente su orientmento e pertur Prendimo perciò =1, per semplicità I disegni dell esercizio 4 dell sched di lbortorio sono: Le prbol di equzione y=x +3 non h intersezioni con l sse x L prbol di equzione y=x 3 h intersezioni reli distinte con l sse x, le cui scisse otterri risolvendo l equzione: x 3 0 Cerchi inftti quei punti dell prbol che hnno ordint 0, e per trovrli dovri sostituire d y il vlore 0: ricord inftti cos dice il Principio fondmentle dell geometri nlitic Per risolvere l equzione: x 3 0 si può portre il termine noto l secondo membro: x =3, e poi pplicre i principio di equivlenz fcendo l operzione di estrzione di rdice qudrt 3 d mbo i membri (spendo che x = ±x Soluzioni: x 3 e x 3 1 Per stimre l posizione di questi vlori sull sse x, si osserv che: 1 3 4, cioè: 1 3 Con l clcoltrice: 3 1,7 Le prbole con <0 sono simmetriche delle precedenti, rispetto l sse x, come puoi vedere in figur In generle (usndo quindi le lettere e non esempi numerici: un prbol h vertice sull sse y e sse coincidente con l sse y sse l su equzione è del tipo: y= x +y L intersezione con l sse y coincide con il vertice e si trov nel punto (0;y Le intersezioni con l sse x si trovno risolvendo l equzione x +y=0 e sono: ± Quindi sono numeri reli sse: > 0 (un rdice qudrt è un numero rele sse il rdicndo è positivo, cioè sse: < 0 (ricord quello che hi studito per le disequzioni: moltiplicndo mbo i membri per un numero negtivo, cmbi il verso dell disequzione, cioè sse coefficiente di x e termine noto sono discordi Inftti le prbole di equzione y=x 3 e y= x +3 hnno intersezione con l sse x, mentre le prbole di equzione y=x +3 e y= x 3, no Dt un prbol con O, l trsformzione che può portrl d vere su sse y si chim trslzione Stimo usndo questo tipo di trsformzione per studire le prbole, dl cso più semplice (O quello più complesso Ricordi che bbimo prlto di trslzioni qundo bbimo trttto le rette oblique in posizione qulunque? Le trslzioni sono isometrie (cioè un trsformzione che non modific le lunghezze, le distnze e gli ngoli, come le simmetrie e le rotzioni Per or le trtteremo in mnier intuitiv, rimndndo un trttzione più rigoros ll fine dell trttzione delle prbole E così si conclude il cso: prbol con vertice sull sse y e sse prllelo ll sse y 3 = b > 0, b > 0 b =

3 III prbol con vertice sull sse delle scisse (dx m non in O Lscimo ncor =1 I disegni dell esercizio 5 dell sched di lbortorio sono (rispetto ll sched, le equzioni corrispondenti i disegni sono lo sviluppo del qudrto del binomio: Queste prbole, come puoi vedere, hnno vertice sull sse x: sono tngenti ll sse x nel vertice (le due intersezioni con l sse x coincidono con il vertice Osserv che per vere l sciss del vertice, bisogn prendere l opposto del termine ddizionto d x! 4 Un prbol h vertice sull sse x sse l su equzione è del tipo: y= (x - x L ordint del punto di intersezione con l sse y si ottiene sostituendo 0 l posto di x nell equzione, ottenendo così: y dy= (0- x = x Negli esempi delle schede inftti 9 o -9 ( second del segno di tle ordint Il cso prbol con vertice sull sse delle scisse (dx m non in O, cioè il cso corrispondente ll equzione:, finisce qui: (x;0 e dy (0; x I prbol con vertice in un qulunque punto interno l pino Inserendo contempornemente le perturbzioni dei csi II e III, vremo il cso più generle: y ( x x y che si ottiene dll prbol con O medinte un trslzione che porti il vertice nel punto del pino di coordinte ( x ; y Per vere le intersezioni con l sse x, quindi le soluzioni dell equzione ( x x y 0, y fccio i seguenti pssggi: ( x x y y x x x1, x Per ottenere l intersezione con l sse y devi sostituire il vlore 0 l posto di x Ftti i conti Ti deve venire: x y Osserv nel disegno che legme c è tr i segni dei coefficienti e le simmetrie che legno diverse prbole fr loro 4 Nel II cso bbimo ggiunto lgebricmente un numero l termine x ottenendo un trslzione lungo l dy, mentre desso toglimo lgebricmente un numero l termine x e ottenimo un trslzione lungo l dx Sembr così esserci un strn simmetri! M bst scrivere: y y x invece che y x y e ecco che l pprente simmetri scompre! Cpiri meglio più vnti

4 L prbol con equzione in form cnonic e sistemtizzzione definitiv Nelle pgine precedenti bbimo giocto con l prbol per cercre di comprendere le relzioni fr l su posizione nel pino e le crtteristiche dell equzione rppresenttiv Per fr questo ci simo serviti di un equzione prticolre nell qule erno sempre ben visibili le coordinte del vertice, m che non è l equzione utilizzt comunemente Quest ultim, dett nche equzione cnonic, è scritt nell form: y x b x c, b e c sono prmetri sostituendo i quli, di volt in volt, numeri specifici modifichi: orientmento, pertur e posizione dell prbol nel pino crtesino Andimo scoprire regole di crttere generle su tli prmetri Cioè ndimo ritrovre in quest equzione ufficile le scoperte ftte sinor Per fr questo ci serve il principio d identità dei polinomi: Due polinomi di grdo n sono uguli sse sono uguli i coefficienti delle vribile di grdo k, con: 0 k n Andimo quindi confrontre i coefficienti delle nostre due equzioni y ( x x y x x x x y x b x c è in entrmbi coefficiente di x (e non è un cso se ho scelto quest letter! Uguglindo i coefficienti di x si h: x b quindi: b x : l sciss del vertice Uguglindo i termini noti, e sostituendo l posto di x, b/, si h l ordint del vertice, inftti: x y c b b 4c b b 4c ( y c y c y y y y Per le intersezioni con l sse x l relzione d considerre è: x1, x Sostituimo lle coordinte del vertice le relzioni fr i coefficienti dell equzione cnonic individuti: x 1, b 1 b b b con b 4c 4 4 Coglimo subito l occsione per osservre che, se b (cioè: y b, l formul diviene: ( 4c 4 4c c c con: c 4 L prbol vrà intersezioni con l sse x sse 0 Per 0 tli intersezioni srnno coincidenti (prbol tngente ll sse x e per 0 tli intersezioni srnno distinte L intersezione con l sse y esiste sempre (m può vlere 0 ed è dto d c Se c=0 l prbol present un risoluzione semplifict in qunto dy dx 1 0 e, b x bx 0 h, oltre ll soluzione 0, l soluzione: x che è il doppio di x

5 Rivedimo ll luce degli ultimi risultti i quttro csi di posizione dell prbol I prbol con vertice nell origine degli ssi crtesini IDENTICO II prbol con vertice sull sse y L equzione cnonic è: y x c (0;c intersezione c con sse y Le intersezioni con l sse x sono reli sse c<0 inftti è: x1, III prbol con vertice sull sse x L equzione cnonic è del tipo: y x x x solo così è inftti riconducibile qunto bbimo visto e cioè: ( x xv y Spesso tle form non è immeditmente individubile m puoi vere certezz che si presente, nche se cmufft, se ottieni Δ=0 l momento di clcolrti l ordint di o le intersezioni con l sse x! (-b/;0 b b I prbol con vertice nel pino ( ; ; dx c ; dx1, o con l 4 formul ridott se b è pri All interno di questo cso è contenuto il cso c=0 che ho trttto nell pgin precedente OSS CN (m non sufficiente ffinché l prbol bbi intersezione con l sse x è che c<0 In quel cso inftti, -4 c>0 e quindi Δ>0 in qunto somm di quntità positive Per un grfico dignitoso Il numero di punti minimo d trovre è 5, se e le intersezioni con sse x sono distnti fr loro, e 7 ltrimenti Per poter effetture i conti necessri d utilizzre il metodo dell tbell ti conviene scrivere y ( x x l equzione nell form: y L scelt dell unità di misur è FONDAMENTALE: l migliore è dt dl mcm fr i denomintori delle coordinte di e delle intersezioni con sse x, se sono rzionli Altrimenti dovri regolrti tu di cso in cso, osservndo i numeri che hi! Schem generle rissuntivo dei csi possibili Indicte con x1 e x le intersezioni con l sse x (CASELLE GRIGIE = CASI IMPOSSIBILI Δ>0 x1 x Δ=0 x1 x b,c=0 b=0 c=0, b, c 0 ertice e intersezioni con gli ssi coincidono in O sse c<0 x 1=0 e x =x se c<0 o b c sse qudrto binomio Δ<0 x, x sse c>0 se c>0 e b c 1 Osserv come tle schem non teng conto esplicitmente delle differenze fr i csi >0 e <0 Tli differenze sono comprese nell vlutzione del segno del prodotto c! Nei libri viene sempre fornit l definizione di prbol come luogo geometrico Lscio te il divertente gioco di mettere in relzione quell definizione con qunto studito sinor! Fcolttiv quest nno L nno prossimo srà obbligtori