Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi

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1 Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo

2 Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz numeric. Le uguglinz: ) ) sono uguglinze letterli e sono rispettivmente soddisftte, come si può fcilmente verificre, l prim per qulsisi vlore di ( R ) e l second solo per (sostituendo vero quindi l uguglinz verifict ). L prim dett identità (o uguglinz indetermint), l second dett equzione Chimeremo: IDENTITÀ: Un uguglinz tr due espressioni lgebriche (espressioni letterli), in un o più vribili ( y z ), che risulti verifict qulsisi sino i vlori numerici ttribuiti lle vribili che in ess figurno. e 8

3 EQUAZIONE: Un uguglinz tr due espressioni lgebriche, in un o più vribili, che risulti verifict solmente per prticolri vlori ttribuiti lle vribili che in ess figurno. Le due espressioni letterli, seprte dl simbolo di uguglinz, sono dette rispettivmente primo e secondo membro. I monomi presenti nelle espressioni lgebriche sono detti termini dell equzione. L letter (o le lettere) che presente nell equzione dett incognit, mentre i termini che non contengono l incognit sono detti termini noti. I vlori dell incognit che soddisfno l equzione sono detti soluzioni o rdici dell equzione. Due equzioni si dicono equivlenti qundo tutte le soluzioni dell prim sono nche soluzioni dell second e vicevers. Due equzioni equivlenti un terz sono equivlenti tr loro.

4 Clssificzione Clssificzione equzioni: Le equzioni lgebriche rzionli sono così clssificbili: NUMERICHE: se non figurno ltre lettere oltre l incognit; LETTERALI: se oltre l incognit figurno ltre lettere; INTERE: se l incognit non figur l denomintore; FRATTE: se l incognit figur nche, o solo, l denomintore. Il grdo di un equzione dto dl grdo mssimo dell incognit presente nell equzione.

5 Risoluzione In generle per risolvere un equzione si cerc di trsformrl in un ltr d ess, m di form più semplice. Per fr ciò si utilizzno il e il principio di equivlenz. Risoluzione di un equzione: Risolvere un equzione vuol dire trovrne le soluzioni. Può drsi che un equzione non mmett soluzioni, cio non esist lcun vlore delle incognite che l verifichi; si dice llor che l equzione impossibile (il risultto srà, in tle cso, 0 d un numero diverso d 0): Può drsi che un equzione mmett un numero illimitto di soluzioni; si dice llor che l equzione indetermint (in effetti non un equzione m un identità; il risultto srà, in tle cso, sempre 0 0): Un equzione che mmette un numero finito di soluzioni si dice determint.

6 principio di equivlenz: Sommndo, o sottrendo, d entrmbi i membri di un equzione lo stesso vlore numerico o l stess espressione lgebric si ottiene un equzione quell dt sottrendo sommndo d sommndo d sommndo entrmbi entrmbi monomi simili D tle principio derivno le seguenti regole esemplifictive: se uno stesso termine figur in entrmbi i membri di unequzione può essere soppresso; se due termini opposti si trovno nello stesso membro possono essere soppressi; si può trsportre un termine di unequzione d un membro llltro purché gli si cmbi il segno (legge del trsporto). Lultim regol quell che utilizzeremo per trsferire tutte le l primo membro e tutti i termini noti l secondo membro. i i i i monomi membri simili membri

7 principio di equivlenz: Moltiplicndo o dividendo entrmbi i membri di un equzione lgebric per uno stesso numero diverso d zero, o per un stess espressione che non si poss nnullre, si ottiene un equzione ll dt ( ) ( ) m nche D tle principio derivno le seguenti regole esemplifictive: se i due membri di unequzione hnno un fttore numerico comune questo può essere soppresso; cmbindo i segni tutti i termini di un equzione se ne ottiene unltr ; moltiplicndo (o dividendo) i due membri di un equzione per un espressione, o numero, conveniente si ottiene unequzione quell dt. Tle principio si utilizz si per eliminre denomintori comuni d entrmbi i membri, o per eliminre il coefficiente (prte numeric) dell l momento di clcolrne il vlore finle. equivlent e equivlent e

8 Per risolvere un equzione di primo grdo si seguono i seguenti pssggi: ) si eseguono tutte le operzioni presenti nei due membri; ) si eliminno i denomintori, se vi sono, moltiplicndo entrmbi i membri per il loro m.c.m.; ) si trsportno tutti i termini incogniti in uno stesso membro e i termini noti nell ltro (legge del trsporto); ) si riducono i termini simili; ) si divide il termine noto per il coefficiente dell incognit. ESEMPIO : ESEMPIO : ( ) ( 8)

9 Esercizi ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] [ ] 7) 6 6) 6 ) min det ) ) ) 8 ) t er in impossibile