Sistemi lineari Sistemi lineari quadrati
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- Sebastiano Pozzi
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1 Sistemi lineri Sistemi lineri qudrti
2 Definizione e crtteristiche di sistem qudrto (/) Dti un mtrice qudrt A(n n) ed un vettore (colonn) b d n componenti; Determinimo in modo tle che: A b Quest relzione di uguglinz è un'equzione vettorile nell incognit. Un vettore che l soddisf è un soluzione dell'equzione. (continu) L uguglinz è: Un equzione perché è ver solo per certi vlori del vettore ; Vettorile perché i due membri ( sinistr e destr del segno ) sono due vettori. Sistemi lineri Pin
3 Definizione e crtteristiche di sistem qudrto (/) Riscrivimo l'equzione vettorile Ab come segue: n n n n nn n b b b n Quest'unic equzione vettorile è equivlente n equzioni sclri (continu) Sistemi lineri Pin
4 Definizione e crtteristiche di sistem qudrto (/) n n n n b b n n nn n b n Questo insieme è un sistem di equzioni di grdo nelle n incognite,,, n (le componenti del vettore incognito ). Si chim sistem linere di ordine n, ed è equivlente ll'equzione vettorile di prtenz. 4 Le n equzioni derivno dl ftto che i due vettori memori dell equzione per essere uguli devono vere uguli ordintmente tutte le componenti. Scrivendo quindi che: l prim componente del primo membro è ugule ll prim componente del secondo membro; l second componente del primo membro è ugule ll second componente del secondo membro;... ; l n-esim componente del primo membro è ugule ll n-esim componente del secondo membro, si scrivono n equzioni nelle n incognite,,, n che devono essere soddisftte tutte contempornemente e che costituiscono quindi un sistem. Sistemi lineri Pin 4
5 Crttere e soluzione di un sistem linere n n Un sistem linere può essere: n n nn n n n b b b univocmente determinto se mmette un e un sol soluzione; indeterminto se mmette infinite soluzioni; impossibile se non mmette soluzioni. n Ricordimo che un soluzione del sistem è un vettore. Sistemi lineri Pin
6 Algoritmi di risoluzione di sistemi lineri Un sistem linere è un clssico e semplice modello numerico sul qule sono strutturbili ltrettnto clssici lgoritmi: per esempio l lgoritmo di Crmer. Tuttvi l enorme numero di conti che tli lgoritmi prevedono spinge ll ricerc di lgoritmi molto più efficienti. 6 L lgoritmo di Crmer fornisce l seguente soluzione: dove: i det(a i )/det(a) i,,,n A è l mtrice dei coefficienti A i è l mtrice dei coefficienti in cui l i-esim colonn è sostituit dl vettore dei termini noti. Questo lgoritmo h un peso computzionle elevto (usndo d esempio l regol di Lplce ogni determinnte richiede un numero di operzioni proporzionle (n)!. Anche con lgoritmi più efficienti il clcolo dei determinnti di grndi mtrici risult troppo oneroso). Inoltre non fornisce informzioni sul sistem se A è singolre (e quindi il sistem non è univocmente determinto). Per questi motivi non viene qusi mi usto, se non per piccoli sistemi determinti. Sistemi lineri Pin 6
7 Cso prticolre: osservzione (/) Se un sistem linere (d esempio ) si trovsse nell seguente form: b vremmo immedit possibilità di verificrne il crttere e di trovrne l soluzione. Inftti il sistem si riduce l seguente sistem equivlente: b b b / / / b b (continu) 7 Sistemi lineri Pin 7
8 Cso prticolre: osservzione (/) che in form mtricile si può scrivere: Ab b b b / / / e che mmette come unic soluzione il vettore: b b b / / / (continu) 8 Sistemi lineri Pin 8
9 Cso prticolre: osservzione (/) Inoltre se un sistem linere (nel cso esemplificto ) si trovsse nell seguente form: b b b con risulterebbe immeditmente: impossibile se b ; indeterminto se b 9 L ultim equzione, nel cso che si, mi fornisce subito importnti informzioni sul sistem: Se b l equzione divent b che è impossibile, quindi non esiste lcun vlore di che l rend ver e quindi il sistem è impossibile; Se b l equzione divent che è sempre verifict, quindi qulsisi vlore di l rend ver e il sistem è indeterminto (esistono infinite soluzioni). Sistemi lineri Pin 9
10 Risoluzione medinte digonlizzzione Dlle considerzioni ppen ftte segue che: Un generico sistem linere, soprttutto se di ordine elevto, viene nlizzto e risolto preferibilmente con un prticolre metodo di sostituzione che determin, se possibile, un sistem equivlente con mtrice dei coefficienti digonle. L lgoritmo di seguito presentto h crtteristiche di efficienz si in termini di stbilità che in termini di costo. È, in tl senso, competitivo con ogni ltro lgoritmo clssico. L lgoritmo di digonlizzzione tende sostituire il sistem dto con un sistem equivlente mtrice digonle, simile quello dell figur precedente. Sistemi lineri Pin
11 Algoritmo di digonlizzzione
12 Principi di equivlenz dei sistemi lineri n n b Principi di equivlenz: due equzioni possono essere scmbite fr loro n n nn n n n b b un equzione può essere moltiplict per un costnte ( ) un equzione può essere sostituit dll combinzione linere di se stess e di un ltr equzione n Sistemi lineri Pin
13 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (/8) Alcune equzioni vengono sostituite d ltre equzioni, rispettndo i principi di equivlenz. Si ottiene così un sistem equivlente quello dto (h le stesse soluzioni) m l cui mtrice è digonle. (continu) Sistemi lineri Pin
14 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (/8) sostituisco l equzione con l somm: ( equzione) (- / ) equzione (continu) 4 Sistemi lineri Pin 4
15 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (/8) ( ) sostituisco l equzione con l somm: ( equzione) (- / ) equzione ( ) - (continu) Sistemi lineri Pin
16 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (4/8) 6 sostituisco l equzione con l somm: ( equzione) (- / ) equzione 6 (continu) 6 Sistemi lineri Pin 6
17 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (/8) 6 6 sostituisco l equzione con l somm: ( equzione) (- / ) equzione (continu) 7 Sistemi lineri Pin 7
18 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (6/8) 6 sostituisco l equzione con l 6 somm: ( equzione) (- / ) equzione 6 (continu) 8 Sistemi lineri Pin 8
19 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (7/8) 6 6 sostituisco l equzione con l somm: ( equzione) (- / ) equzione 7-6 (continu) 9 Sistemi lineri Pin 9
20 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (8/8) 6 7 Dll form sclre ll form vettorile Ab : Il sistem è univocmente determinto, soluzione: (/, 9/,-6/) 9 6 Sistemi lineri Pin
21 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (/) Seguendo i pssi suggeriti dll lgoritmo pplicto ll esercizio precedente, troveremmo un moltiplictore con denomintore nullo, dunque si scmbi l second equzione con l terz (lgoritmo con pivot) (continu) Sistemi lineri Pin
22 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (/) sostituisco l equzione con l somm: ( equzione) (- / ) equzione sostituisco l equzione con l somm: ( equzione) (- / ) equzione (continu) Sistemi lineri Pin
23 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (/) Dll form sclre ll form vettorile Ab : Il sistem è dunque univocmente determinto con soluzione il vettore [-,/,] T Sistemi lineri Pin
24 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (/) 4 Non è possibile procedere dunque: 4 (continu) 4 Sistemi lineri Pin 4
25 Algoritmo di digonlizzzione: esempio (/) che in form vettorile Ab: 4 Non è possibile ottenere un digonlizzzione dell mtrice A, il sistem è dunque non univocmente determinto. In prticolre risult impossibile ( -!!! ) Sistemi lineri Pin
26 Pin 6 Sistemi lineri 6 Algoritmo di digonlizzzione: esempio 4 Algoritmo di digonlizzzione: esempio 4 (/) (/) (continu) (continu) 9 7 non è possibile procedere 7
27 Algoritmo di digonlizzzione: esempio 4 (/) che in form vettorile Ab : Non è possibile ottenere un digonlizzzione dell mtrice A, il sistem è dunque non univocmente determinto in prticolre risult indeterminto (!!). Attribuendo un vlore rbitrrio α d ottenimo come soluzione il vettore [7/-α/ /-α/ α] T che ssume infiniti vlori l vrire di α. 7 7 Sistemi lineri Pin 7
28 Conclusione Il procedimento illustrto perviene d un mtrice dei coefficienti crtterizznte il sistem linere, precismente: È un mtrice unitri I; segue che il sistem è univocmente determinto È un mtrice non digonle, m con un o più righe nulle nelle ultime posizioni; segue che il sistem è impossibile se il vettore termine noto (modificto dll lgoritmo) h, nelle corrispondenti posizioni, componenti non nulle È un mtrice con un o più righe nulle nelle ultime posizioni; segue che il sistem è indeterminto se il vettore termine noto (modificto dll lgoritmo) h nelle corrispondenti posizioni componenti nulle. 8 Sistemi lineri Pin 8
29 Sistemi lineri rettngolri In un sistem rettngolre il numero di equzioni è diverso dl numero di incognite. Se si hnno più equzioni che incognite il sistem è detto sovrdeterminto. Se si hnno più incognite che equzioni il sistem è detto sottodeterminto 9
30 Sistem linere rettngolre esempio (/) m L lgoritmo esemplificto per sistemi qudrti è generlizzbile l cso di sistemi rettngolri m n (cercndo l digonlizzzione di un sottomtrice qudrt) 4 m n n mn 4 4 n n n b b b m (continu) Sistemi lineri Pin
31 Sistem linere rettngolre esempio (/) Dll form sclre ll form vettorile Ab: 7 9 Il sistem è dunque indeterminto. Attribuendo un vlore rbitrrio α d 4, ottenimo come soluzione: [-9/-α/ -/-α/ -/-α7/ α] T. 4 Sistemi lineri Pin
32 Pin Sistemi lineri Sistem linere rettngolre Sistem linere rettngolre esempio esempio (/) (/) 4 (continu) (continu)
33 Sistem linere rettngolre esempio (/) che in form vettorile Ab: Il sistem è dunque univocmente determinto. Con soluzione [-,, ] T. Sistemi lineri Pin
34 Reduced Row Echelon Form 4
35 Reduced Row Echelon Form (/) Considerimo i risultti ottenuti finor pplicndo l lgoritmo di digonlizzzione. Osservndo come sono stte trsformte l mtrice dei coefficienti e l colonn dei termini noti osservimo qunto segue. Se si orl col vettore dei termini noti l mtrice ottenut (lo ponimo come ultim colonn) verifichimo che nell mtrice orlt: in ogni rig il primo elemento non nullo è (tle elemento è detto leding one ); se ci sono righe con tutti gli elementi nulli queste sono le ultime righe dell mtrice; ogni colonn che contiene leding h solo zeri l di sotto e l sopr di esso. Si dice che tle mtrice è in Reduced Row Echelon Form (continu) Sistemi lineri Pin
36 Reduced Row Echelon Form (/) Teorem: ogni mtrice può essere trsformt - con un sequenz di operzioni e permutzioni sulle righe - in un ed un sol mtrice ridott in echelon form. Anlizzndo l mtrice, come visto in tutti gli esempi precedenti, si deducono crttere ed eventuli soluzioni del sistem. 6 In MATLAB l Reduced row echelon form di un mtrice si ottiene medinte il comndo rref: Esempi: comndo: >> rref(b) se A è l mtrice dei coefficienti e b il vettore (colonn) dei termini noti, il >> rref([a b]) fornisce un mtrice che fornisce (dlle colonne di sinistr) l ntur del sistem e dll ultim colonn le eventuli soluzioni (per l csistic complet vedere le schede seguenti). Sistemi lineri Pin 6
37 Csistic di echelon form (cso ) (/9) MATRICE A TRASFORMATA b c VETTORE b TRASFORMATO Il sistem qudrto ( equzioni in incognite) è univocmente determinto con soluzione: [ b c] T. Cso prticolre sistem omogeneo (bc) con soluzione [ ] T. (continu) 7 Esminndo l reduced row echelon form (rref) dell mtrice orlt si vede che il sistem trsformto (equivlente quello originle) è: b c d cui segue immeditmente l soluzione. Sistemi lineri Pin 7
38 Csistic di echelon form (cso ) (/9) r s Il sistem qudrto ( equzioni in incognite) è impossibile (continu) 8 Esminndo l reduced row echelon form (rref) dell mtrice orlt si vede che il sistem trsformto (equivlente quello originle) è: r s L ultim equzione è chirmente impossibile. Sistemi lineri Pin 8
39 Csistic di echelon form (cso ) (/9) r s b Il sistem qudrto ( equzioni in incognite) è indeterminto con infinite soluzioni: [-αr b-αs α] T. Cso prticolre b sistem omogeneo indeterminto (continu) 9 Esminndo l reduced row echelon form (rref) dell mtrice orlt si vede che il sistem trsformto (equivlente quello originle) è: r s b L ultim equzione è sempre soddisftt, qulunque vlore α si ttribuisc d. Tle vlore, sostituito nell prim e nell second equzione, fornisce l soluzione complet (ossi il vettore [ ] T. Sistemi lineri Pin 9
40 Csistic di echelon form (cso 4) (4/9) MATRICE A TRASFORMATA b c d e f VETTORE b TRASFORMATO Il sistem rettngolre sottodeterminto ( equzioni in 4 incognite) è indeterminto con infinite soluzioni: [d-α e-bα f-cα α ] T. (continu) 4 Esminndo l reduced row echelon form (rref) dell mtrice orlt si vede che il sistem trsformto è: 4 d b 4 e c 4 f Le tre equzioni sono soddisftte ttribuendo 4 un vlore rbitrrio α e [ 4 ] T il vettore rppresentto in figur, come si può fcilmente verificre. Sistemi lineri Pin 4
41 Csistic di echelon form (cso ) (/9) r s d e f Il sistem rettngolre sottodeterminto ( equzioni in 4 incognite) è indeterminto con infinite soluzioni: [d-rα e-sα α f ] T. (continu) 4 Esminndo l reduced row echelon form (rref) dell mtrice orlt si vede che il sistem trsformto è: r d s e 4 f L ultim equzione fornisce immeditmente 4. Le ltre due equzioni sono soddisftte ttribuendo un vlore rbitrrio α e [ 4 ] T il vettore rppresentto in figur, come si può fcilmente verificre. Sistemi lineri Pin 4
42 Csistic di echelon form (cso 6) (6/9) r s b Il sistem rettngolre sottodeterminto ( equzioni in 4 incognite) è impossibile (continu) 4 Esminndo l reduced row echelon form (rref) dell mtrice orlt si vede che il sistem trsformto è: r 4 s b 4 L ultim equzione è chirmente impossibile. Sistemi lineri Pin 4
43 Csistic di echelon form (cso 7) (7/9) MATRICE A TRASFORMATA b c VETTORE b TRASFORMATO Il sistem rettngolre sovrdeterminto (4 equzioni in incognite) è univocmente determinto con soluzione [ b c] T. (continu) 4 Esminndo l reduced row echelon form (rref) dell mtrice orlt si vede che il sistem trsformto è: b c L ultim equzione è sempre soddisftt. Dlle ltre tre segue immeditmente l soluzione. Sistemi lineri Pin 4
44 Csistic di echelon form (cso 8) (8/9) r s Il sistem rettngolre sovrdeterminto (4 equzioni in incognite) è impossibile (continu) 44 Esminndo l reduced row echelon form (rref) dell mtrice orlt si vede che il sistem trsformto è: r s L terz equzione è chirmente impossibile. Sistemi lineri Pin 44
45 Csistic di echelon form (cso 9) (9/9) r s b Il sistem rettngolre sovrdeterminto (4 equzioni in incognite) è indeterminto con infinite soluzioni: [ -αr b-αs α] T. 4 Esminndo l reduced row echelon form (rref) dell mtrice orlt si vede che il sistem trsformto è: r s b Le ultime due equzioni sono sempre soddisftte. Le ltre due equzioni sono soddisftte ttribuendo un vlore rbitrrio α e [ ] T il vettore rppresentto in figur, come si può fcilmente verificre. Sistemi lineri Pin 4
46 Appliczione: rco tre cerniere (/) X α V X X H X6 X 6 α X X X 4 NODO : NODO : NODO : cosα sinα - cosα 6 cosα H - sinα - 6 sinα V 6 cosα 4 6 sinα (continu) 46 L rco tre cerniere è un sistem isosttico: due ste con complessivi 6 grdi di libertà, cerniere per complessivi 6 grdi di vincolo. Il sistem linere risolvente è quindi un sistem determinto: 6 equzioni (due equzioni di equilibrio per ogni nodo) e 6 incognite (le 4 rezioni vincolri,.., 4 e gli sforzi interni delle ste, 6 presi positivi se di trzione). Sistemi lineri Pin 46
47 Appliczione: rco tre cerniere (/) cosα sinα - cosα 6 cosα H - sinα - 6 sinα V 6 cosα 4 6 sinα A cosα sinα -cosα cosα -sinα -sinα -cosα sinα b -H -V 47 Dl sistem linere qudrto si ricvno l mtrice A e il vettore b, che permettono di risolvere numericmente il sistem. Sistemi lineri Pin 47
48 Arco tre cerniere: struttur lbile (α)( H X X X H X 6 X 6 X SISTEMA INDETERMINATO X X H H V X VX 6 SISTEMA IMPOSSIBILE 48 Sebbene il sistem linere si sempre qudrto, prticolri configurzioni geometriche del sistem fisico come quell in figur (cosα) lo possono rendere nomlo. Nell prte lt il sistem è sollecitto solo d un forz estern orizzontle. Le rezioni vincolri verticli risultno nulle, le rezioni vincolri orizzontli risultno indeterminte. Il sistem fornisce l seguente rref dell mtrice orlt (nlogo l cso ): H H Col solo crico verticle V non può stre in equilibrio il nodo e il sistem è impossibile. Corrispondentemente l rref divent (nlogo l cso ): Sistemi lineri Pin 48
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