Consideriamo la seguente tabella di numeri presi da un estrazione del lotto:

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1 MAICI E DEEMINANI. LE MAICI Considerimo l seguente tbell di numeri presi d un estrzione del lotto: 7 8 > 8 7 H I numeri presenti sono disposti su righe e colonne. Essi costituiscono un insieme ordinto di elementi. olendo rppresentre un qulunque insieme di numeri, ordinto come in un tbell, si utilizz un qudro composto d righe e d colonne, delimitto destr e sinistr d due prentesi qudre: - > 7 H. - Un qudro di questo tipo viene detto mtrice. DEFINIZIONE Mtrice Dti m n numeri, l tbell che li ordin in m righe e n colonne viene dett mtrice. Gli m n numeri presenti nell mtrice si chimno elementi dell mtrice. e il numero delle righe è diverso d quello delle colonne, l mtrice si dice rettngolre, ltrimenti si dice qudrt. EEMPIO L mtrice < F è rettngolre, perché è formt d righe e colonne. L mtrice 8 > H è qudrt, perché è formt d righe e colonne. Per indicre gli elementi generici di un mtrice m n, utilizzimo un letter dell lfbeto, per esempio, munit di due indici; il primo indic il numero di rig e il secondo il numero di colonn. Per esempio, l elemento si trov ll incrocio fr l rig e l colonn. Un mtrice generic di righe e colonne può essere rppresentt nel seguente modo:. terz rig 8 7 = 8 second colonn Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

2 L scrittur A = [ ik ], con # i # m e # k # n, è un mnier bbrevit per descrivere un mtrice m n. Elementi corrispondenti sono e, e -, e 7, f Più in generle, un mtrice m n è indict nel seguente modo: f f n f f n f f m è il numero di righe, n n è il numero di colonne. f f f f f f f m m m m f f mn i è soliti indicre un mtrice con lettere miuscole: A, B, C, f I suoi elementi si rppresentno, come bbimo visto, con lettere minuscole contrssegnte d due indici. Due mtrici m n vengono dette dello stesso tipo e gli elementi che occupno lo stesso posto nelle due mtrici si dicono elementi corrispondenti. EEMPIO Le mtrici - 7 < F e < F sono dello stesso tipo, perché entrmbe sono 9 - formte d righe e colonne. Due mtrici dello stesso tipo sono uguli se gli elementi corrispondenti sono uguli. EEMPIO - : -- Le mtrici < F e < - : F sono uguli. Due mtrici dello stesso tipo sono opposte qundo gli elementi corrispondenti sono opposti. L mtrice oppost di A si indic con - A. EEMPIO Le mtrici - - < F e < F sono opposte. Mtrici prticolri null. > H è un mtrice L mtrice [ - ] è un mtrice rig. - L mtrice è un - mtrice colonn. DEFINIZIONE Mtrice null Un mtrice è null se tutti i suoi elementi sono uguli. L mtrice null si indic con il simbolo O oppure O mn se si vuole precisre il numero delle righe e delle colonne. DEFINIZIONE Mtrice rig Un mtrice formt d un sol rig si chim mtrice rig o vettore rig. DEFINIZIONE Mtrice colonn Un mtrice formt d un sol colonn si chim mtrice colonn o vettore colonn. Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

3 Le mtrici qudrte Un generic mtrice qudrt n n viene indict nel seguente modo: f f n f f n f f n (n è il numero di righe e di colonne). f f f f f f n n n f f nn DEFINIZIONE Ordine di un mtrice qudrt i chim ordine di un mtrice qudrt il numero delle sue righe (o delle colonne). L digonle principle è formt d tutti gli elementi che si trovno sull digonle di estremi e nn. Di conseguenz, tli elementi hnno i due indici uguli fr loro (,,, ). L digonle secondri è formt d tutti gli elementi che si trovno sull digonle di estremi n e n. Di conseguenz, tli elementi hnno i due indici che sommti dnno sempre n +. EEMPIO Nell seguente mtrice di ordine : > H gli elementi dell digonle principle sono,, ; gli elementi dell digonle secondri sono 8,,. Abbimo già visto che un mtrice è qudrt qundo il numero di righe è ugule l numero di colonne. L mtrice precedente è di ordine n. n n n n n n nn Figur L digonle principle e l digonle secondri di un mtrice qudrt. DEFINIZIONE Mtrice identic Un mtrice qudrt si dice identic (o mtrice unità) qundo gli elementi dell digonle principle sono tutti uguli e gli ltri elementi sono nulli. L mtrice identic di ordine n si indic con il simbolo I n. EEMPIO L seguente mtrice di ordine è identic: I = > H.. OPEAZIONI CON LE MAICI L ddizione e l sottrzione DEFINIZIONE L somm di due mtrici A e B dello stesso tipo è un terz mtrice A + B dello stesso tipo i cui elementi sono l somm degli elementi corrispondenti delle due mtrici. b c l bl cl b b c c + = + l + l + l > H > H > H d e f dl el fl d+ dl e+ el f+ fl Non è possibile sommre due mtrici che non sino dello stesso tipo. Per esempio non si può eseguire l seguente ddizione: - ; E+ ; E. - - Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

4 In simboli, se A = [ ij ] e B = [ b ij ] sono due mtrici dello stesso tipo, l loro somm è l mtrice espress come: A+ B = [ + b ]. In simboli, se A = [ ij ] e B = [b ij ] sono due mtrici dello stesso tipo, l loro differenz è l mtrice A - B = [ ij - b ij ]. ij ij EEMPIO = = > H > H > H > H L differenz di due mtrici si può definire come somm dell prim mtrice con l oppost dell second: A - B = A + (- B). Poiché il risultto di un ddizione fr mtrici dello stesso tipo è ncor un mtrice dello stesso tipo, l ddizione è un operzione intern nell insieme delle mtrici dello stesso tipo. EEMPIO = = > H > H > H > H > H Le proprietà dell ddizione L ddizione fr mtrici dello stesso tipo gode delle seguenti proprietà: proprietà ssocitiv: A + (B + C) = (A + B) + C; proprietà commuttiv: A + B = B + A; mmette come elemento neutro l mtrice null dello stesso tipo: A + = + A = A per ogni mtrice A. L moltipliczione di un mtrice per un numero rele In simboli, se k è un numero rele e A = [ ij] un mtrice qulsisi, l mtrice prodotto di k per A è espress come k$ A = [ k$ ij ]. DEFINIZIONE Il prodotto di un mtrice per un numero rele k è un mtrice dello stesso tipo i cui elementi sono tutti moltiplicti per k. EEMPIO - - $ < F = < F k b c k$ k$ b k$ c $ > H = > H d e f k$ d k$ e k$ f Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

5 L moltipliczione di un mtrice rig per un mtrice colonn DEFINIZIONE Il prodotto di un mtrice rig n per un mtrice colonn n, con lo stesso numero di elementi, è un mtrice formt d un solo elemento, ottenuto sommndo fr loro i prodotti degli elementi corrispondenti. d b c? $ e = f = $ d+ b$ e+ c$ f@ EEMPIO Clcolimo il prodotto di un mtrice rig di elementi per un mtrice colonn, sempre di elementi: e l mtrice rig e l mtrice colonn hnno un numero diverso di elementi non è possibile clcolre il prodotto. Gli elementi corrispondenti sono quelli che occupno lo stesso posto d ordine nell rig e nell colonn.? $ > H = [ $ + $ + $ (- )] = [ ]. - Il risultto è l mtrice [], di ordine. L moltipliczione di un mtrice m n per un mtrice n p DEFINIZIONE Il prodotto di un mtrice A di tipo m n per un mtrice B di tipo n p è un mtrice C di tipo m p, il cui elemento c hk è dto dl prodotto dell rig numero h dell prim mtrice per l colonn numero k dell second mtrice. " b m n o g g g c d$ > H = g g g p q r e f g e$ n+ f$ q g! - - e l prim mtrice h un numero di colonne diverso dl numero di righe dell second mtrice, llor non è possibile clcolre il prodotto. Due mtrici tli che il numero delle colonne dell prim si ugule l numero delle righe dell second si dicono conformbili. EEMPIO Clcolimo il prodotto fr un mtrice e un mtrice. crivimo l mtrice prodotto con gli elementi generici: < F $ > - H = = G Determinimo gli elementi dell prim rig dell mtrice prodotto, moltiplicndo l prim rig dell prim mtrice per tutte le colonne dell second mtrice. Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

6 Applicndo l definizione di prodotto di mtrici, possimo nche clcolre l potenz n-esim di un mtrice qudrt che definimo: A n = A$ A$ f $ A, n volte con n $. e A $ B = B $ A, llor A e B si dicono commutbili. Per esempio, puoi verificre che le mtrici A = < F - e B = < F sono commutbili. Clcolimo :? $ > H = [ $ + $ + $ ] = [ ]. Quindi =. Anlogmente, si ottiene: =, = e =. Gli elementi dell prim rig dell mtrice prodotto sono:,,,. Determinimo gli elementi dell second rig dell mtrice prodotto, moltiplicndo l second rig dell prim mtrice per tutte le colonne dell second mtrice. Clcolimo : - -? $ > H = [-]. Quindi = -. Anlogmente: =, = - 7 e =. Gli elementi dell second rig sono: -,, - 7,. Possimo scrivere: < F $ > - H = < F e A e B sono due mtrici qulsisi, è possibile eseguire i prodotti A $ B e B $ A se e solo se A è di tipo m n e B di tipo n m. L condizione è verifict se, in prticolre, A e B sono mtrici qudrte dello stesso ordine. Le proprietà dell moltipliczione In generle, l moltipliczione fr mtrici qudrte non è commuttiv. EEMPIO Considerimo le seguenti mtrici qudrte : - A = < F, B = < F - Clcolimo i prodotti: - A$ B = < F, B$ A = < - F. - Quindi: A $ B! B $ A. Enuncimo le proprietà di cui gode l moltipliczione fr mtrici: proprietà ssocitiv: upponimo che per le mtrici A, B e C si possibile clcolre l somm e i prodotti indicti. (A $ B) $ C = A $ (B $ C); proprietà distributiv ( sinistr e destr) dell moltipliczione rispetto ll ddizione: A $ (B + C) = A $ B + A $ C; (A + B) $ C = A $ C + B $ C. Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

7 le nche l proprietà distributiv dell moltipliczione di un numero rispetto ll ddizione di mtrici: $ (A + B) = $ A + $ B,!. Inoltre, se A e B sono mtrici qudrte di ordine n: l moltipliczione per l mtrice null h per prodotto l mtrice null: A $ O = O $ A = O; l moltipliczione per l mtrice identic h per prodotto l mtrice stess: A $ I n = I n $ A = A, quindi l mtrice identic di ordine n, I n, è l elemento neutro dell moltipliczione fr mtrici qudrte di ordine n; Non vle l legge di nnullmento del prodotto. Inftti, l mtrice prodotto A$ B può essere l mtrice null O senz che sino nulle le mtrici A e B. EEMPIO A = > H, B = < - F, A$ B = < F. Non vle l legge di cncellzione, ossi si può verificre che d A$ B = A$ C non segu necessrimente che B = C. EEMPIO - A = < F, - B = < F, C = < F. A$ B = A$ C = < F, m B! C I DEEMINANI A ogni mtrice qudrt viene ssocito un numero rele, detto determinnte dell mtrice. Per indicre il determinnte di un mtrice si può scrivere «det» dvnti ll mtrice, oppure scrivere gli stessi elementi dell mtrice, delimitti d due righe verticli. Il determinnte si definisce soltnto per le mtrici qudrte. EEMPIO det < - F = -. Noi prendimo in esme i determinnti delle mtrici del primo, secondo e terzo ordine. DEFINIZIONE Determinnte di un mtrice di ordine Il determinnte di un mtrice del primo ordine è ugule l numero stesso che compre nell mtrice. = Attenzione: non devi confondere il simbolo di determinnte con quello di vlore ssoluto! Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der] 7

8 EEMPIO det[ - ] = - =-. DEFINIZIONE Determinnte di un mtrice di ordine Il determinnte di un mtrice del secondo ordine è ugule ll differenz fr il prodotto dei due elementi dell digonle principle e il prodotto dei due elementi dell digonle secondri. b c d = d b c EEMPIO - det< F = - =-$ 7- $ (- ) = Il determinnte di un mtrice di ordine Il determinnte di un mtrice di ordine si può clcolre con l regol di rrus. EEMPIO Clcolimo il seguente determinnte,, servendoci dell regol di rrus, come illustrto nell figur. Figur = + + = + + = = =. icopimo destr del determinnte i termini delle prime due colonne dell mtrice. b. Moltiplichimo i termini lungo l digonle principle e lungo le due digonli prllele ess; scrivimo i prodotti e li sommimo. c. ipetimo il procedimento moltiplicndo i termini lungo l digonle secondri e lungo le due digonli prllele ess; scrivimo i prodotti e li sommimo. d. Il determinnte è ugule ll differenz fr l prim e l second somm di prodotti. 8 Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

9 In generle, per un mtrice qulsisi A di ordine lo schem è il seguente: e ottenimo che det A vle: EPLOAZIONE: IL ANKING DI GOOGLE All bse del successo di Google c è un lgoritmo mtemtico i chim Pgenk e ssegn ogni pgin web un rngo, ovvero un numero tr e. Il rngo contribuisce determinre l posizione dell pgin nei risultti dell ricerc effettut su Google. Più il rngo è lto, più lt srà l posizione dell pgin, e quindi mggiori le probbilità che si consultt dll utente. Non descriveremo l lgoritmo mtemtico utilizzto per clcolre il Pgenk, m dremo un ide di come le mtrici possno essere utili nell costruzione del modello che descrive i collegmenti tr i diversi siti. Uno dei criteri di importnz di un pgin web è dto dl numero di collegmenti o link verso di ess. i suppone, inftti, che qunti più siti rimndino un pgin, tnto più quest si considert utorevole. In prtic, Google interpret un collegmento dll pgin A ll pgin B come un voto espresso dll prim in merito ll second. M non si limit clcolre il numero di voti, o collegmenti, ssegnti un pgin, prende nche in esme l pgin che h ssegnto il voto. I voti espressi d pgine importnti hnno più rilevnz e quindi contribuiscono rendere importnti le pgine collegte. Un mtrice per descrivere il eb upponimo che nel eb ci sino n pgine, che chimimo P, P,..., P n. i dice che P j «punt» P i se nell pgin P j c è un link verso l pgin P i. L rppresentzione grfic di quest definizione è un insieme di punti collegti tr loro, con un frecci che v dl vertice j l vertice i se l pgin P j punt ll pgin P i. Con l definizione dt si può costruire un mtrice qudrt M, formt solo d e d : M i,j = se P j punt P i, M i,j = ltrimenti. i trtt dell mtrice di dicenz dell rppresentzione grfic del eb. Per esempio, per n =, si h quest mtrice qundo i collegmenti sono quelli dell seguente figur. IN CINQUE LIDE upponi che l figur precedente, invece di riferirsi link fr siti, descriv l relzione «preferisce studire con b», reltiv ll insieme di quttro compgni di clsse. In questo cso il grfico che rppresent l mtrice descrive un fenomeno socile e per questo si chim sociogrmm. Cerc in Internet esempi di sociogrmmi e relizz un presentzione multimedile sull rgomento. Cerc nel eb: mtrice dicenz sociogrmm. Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der] 9

10 LABOAOIO DI MAEMAICA LE MAICI E I DEEMINANI CON DEIE Alcune funzioni di Derive sulle mtrici L funzione serve per ottenere DE(M) il determinnte dell mtrice M. ELEMEN(M, m, n) l elemento dell mtrice M di rig m e di colonn n. L funzione cre un mtrice formt dll mtrice M INE(r, M, n) con l inserimento dell rig r dopo l rig di indice n. EPLACE(r, M, n) con l sostituzione dell rig di indice n con l rig r. DELEE(M, n) con l cncellzione dell rig di indice n. ADJOIN(r, M) con l ggiunt dell rig r. APPEND(M, M) sldt ll mtrice M. L ssegnzione M i j = p sostituisce l elemento dell mtrice M di rig j e colonn j con l elemento p. Esercitzioni Con l iuto di Derive, supponendo che A, B e C sino le mtrici - A = ; E, B = ; E, C = ; E, - -8 stbilisci l vlidità o meno delle seguenti uguglinze. A $ B = B $ A [fls] (A $ B) $ C = A $ (B $ C) [ver] A $ (B + C) = A $ B + A $ C [ver] A + (B $ C) = (A + B) $ (A + C) [fls] (A - B) - C = A - (B - C) [fls] erific che: DE(A + B)! DE(A) + DE(B), DE(A $ B) = DE(B $ A) = DE(A) $ DE(B), DE(A / B) = DE(A) / DE(B), con DE(B)!. Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

11 . LE MAICI eori pg. crivi un mtrice rettngolre e indic gli elementi,,. crivi tre mtrici rettngolri di dimensioni,,. crivi tre mtrici qudrte di dimensioni,,. - 7 Dt l mtrice - 8, indic:,,,,,. 9 - Determin e b in modo che le mtrici + b + - > H e > - bh sino uguli. [ =, b =-] - x+ y - Determin x e y in modo che le mtrici ; E e x + - = G sino uguli. x - y x+ y : x =-, y =- D 8 7 Dt l mtrice < F, scrivi l oppost. - 7 y - 8 y+ x 8 Determin x e y in modo che le mtrici < F e ; E sino opposte. [ x =, y = ] - x+ y x b + 9 Determin, b e c in modo che le mtrici c - e b Le mtrici qudrte - b > H sino opposte. Dt l mtrice > H, indic: - ) l ordine, gli elementi dell digonle principle e gli elementi dell digonle secondri; b) gli elementi e. [ =, b =, c =-] EO O FALO? ) Un mtrice identic deve essere qudrt. F b) L ordine di un mtrice qudrt è il numero delle righe. F c) e tutti gli elementi dell digonle principle di un mtrice qudrt sono nulli, llor l mtrice è l mtrice null. F d) e tutti gli elementi dell digonle principle di un mtrice qudrt sono nulli, llor l mtrice è l mtrice identic. F Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

12 . OPEAZIONI CON LE MAICI eori pg. L ddizione e l sottrzione EECIZIO GUIDA Clcolimo, se possibile, l somm e l differenz fr le mtrici: A = - H, B = -H. - > > Le mtrici A e B sono entrmbe mtrici e perciò sono dello stesso tipo, quindi possimo clcolrne l somm e l differenz: A+ B = A- B = (-) H = -H. + - > > (-) H= H. - - > > Esegui, qundo è possibile, le ddizioni fr le seguenti mtrici. - - A =- > -H, B = > H A = > - H, B = > H A =, B = A =- > -, B = > - > > - HH - - > - - > HH H H [non si può eseguire l ddizione] Clcol, qundo è possibile, le differenze A - B fr le seguenti mtrici. - 7 A = > - - H, B = > H. > > - -HH A =- > - H, B = > H. [non si può eseguire l sottrzione] A = > H, B = > - H. > > -HH - Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

13 Dte le mtrici A = >, B = >, C = > - - H H H, verific l proprietà commuttiv e l proprietà ssocitiv dell ddizione mostrndo che: ) A + B = B + A; b) B + C = C + B; c) (A + B) + C = A + (B + C). L moltipliczione di un mtrice per un numero rele EECIZIO GUIDA Determinimo il prodotto, del numero rele per l mtrice A = ; E. - Per determinre l mtrice prodotto, moltiplichimo tutti gli elementi per : A $ $ $ - $ =- $ < F - = = G -$ -$ -$(- ) = < F. Clcol i seguenti prodotti fr mtrici e numeri reli. $ - - > H > - - > HH - - $ $ > H > > HH - - $ < F - - < F - Dte le mtrici A = - H, B = - ) A + B ; b) A - B. > > - -H, clcol le seguenti espressioni A+ B = > - ; A- B = > > H HH 7 7 ) A + B ; b) - A + B. A+ B = - ;- A+ B = Dte le mtrici A = -, B = -, C = > > H > HH > H > H > H, clcol le seguenti espressioni. 8 ) A + B + C; b) A - B + C. - A+ B+ C = > - ; A- B+ C = > > H HH - 9 ) A + B - C; b) A + B - C. A+ B C = - ; A+ B- C = > - > H > HH Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

14 L moltipliczione di un mtrice rig per un mtrice colonn EECIZIO GUIDA Clcolimo, se possibile, il prodotto fr le seguenti coppie di mtrici rig e di mtrici colonn: - - ) -? $ > H ; b) -? $. - ) L mtrice rig h elementi, mentre l mtrice colonn ne h : il numero di elementi è diverso, perciò non possimo clcolre tle prodotto. b) L mtrice rig h lo stesso numero di elementi dell mtrice colonn, e dunque possimo effetture l operzione. Per eseguire l operzione fr le due mtrici moltiplichimo fr loro gli elementi corrispondenti nelle due mtrici e quindi sommimo i prodotti: - -? $ = [ $ (- ) + $ + $ + (- ) $ ] = [-8]. Il risultto è l mtrice [-8]. Clcol, qundo è possibile, i prodotti delle seguenti mtrici rig per le mtrici colonn ? $ [- $ > H [ - - -? $ - [- - -? $ [non si può clcolre il prodotto] L moltipliczione di un mtrice m n per un mtrice n p? $ ; E [ EECIZIO GUIDA - Dte le mtrici A = ; E e B = > -H, clcolimo, se è possibile, il loro prodotto. Poiché il numero delle colonne di A è ed è ugule l numero di righe di B, llor possimo clcolre il prodotto. L mtrice prodotto h lo stesso numero di righe di A, cioè, e lo stesso numero di colonne di B, cioè, e perciò è un mtrice. crivimo l mtrice prodotto C con gli elementi generici: c c < F. c c Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

15 Determinimo gli elementi di C con il prodotto rig per colonn. c = $ b + $ b + $ b = $ + $ + (- ) $ = -. c = $ b + $ b + $ b = $ + $ (- ) + (- ) $ =. c = $ b + $ b + $ b = $ + $ + $ =. c = $ b + $ b + $ b = $ + $ (- ) + $ =. Possimo scrivere: - C = A$ B = ; E $ > - H = ; - E. Clcol, qundo è possibile, il prodotto delle seguenti coppie di mtrici ; - - E$ ; - E > -H $ -? - > -H $ ; E ;; EE - - > > HH - >- - - > HH - - -H$ - H - 8 [non si può clcolre il prodotto] > > > 9 H$ > ; E $ >- H H > > HH - ;; EE -? $ > - H [-7-7]? x x x -x x - x -x $ - > > x HH -x x x- x x Dte le seguenti mtrici A e B, determin i prodotti A $ B e B $ A verificndo che l moltipliczione fr mtrici non gode dell proprietà commuttiv. 9 A = > H, B = ; E A = ; E, B = ; - E. -8 A$ B = > 7 - ; B$ A = ; - - > H EH A B 7 ; B A ; $ = ; E $ = ; EE 7-7 Dt l mtrice A = ; E, clcol A e A. -9, 8 - ;; E ; EE 8 - rov in modo che si: ; - E$ ; E= ; - E. [ = ] 9 - Determin x in modo che: ; E = ; E. x [ x =-9] - erific che: ; E = ; E. - Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

16 IEPILOGO Le operzioni con le mtrici E Il prodotto delle mtrici A = ; - - E e B = ; - E è l mtrice: A ; - E. D ; - E. B ; - - E. - E ; - E. - C ; E. - E Dt l mtrice A = ; - E, se clcolimo A, ottenimo l mtrice: - A ; E. 8 D ; E. - 8 B ; E. 8 E ; E. - C ; E. - 8 Assegnte le mtrici A = - ; E e B = ; E, esegui le operzioni indicte A- B, - A+ B. ;; E, ; EE ( A+ B), -( B- A). ;; E, ; EE Dte le mtrici A = [- ] e B = [- - ], esegui le operzioni indicte. -A- B, ( A- B). : [ - -], :- - -DD A- B, ( A+ B). [- -7-8], [- - ]? - Consider le mtrici A = ; E, B = ; - E, C = ; - - E e clcol le seguenti espressioni A- B+ C, ( B- C) + A. 8 7, 9 ;; E ; EE A+ B- C, -A-B- C., ;; E ; EE Clcol, se è possibile, il prodotto delle seguenti mtrici > -H $ ; E $ > > HH > H > H [non si può clcolre] - - H$ - - > > Dte le mtrici H > > HH - - A = > H, B = > H, C = > - - -H, verific l proprietà ssocitiv dell moltipliczione clcolndo (A $ B) $ C e A $ (B $ C) e mostrndo che le mtrici ottenute sono uguli. Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

17 Dte le mtrici A = > H, I = >, O = > H H, verific che: ) A $ I = I $ A = A; b) A $ O = O $ A = O. Quli osservzioni puoi fre? - Dte le mtrici A = ; E, B = ; E, verific che A $ B è ugule ll mtrice null. - Quli osservzioni puoi fre su questo risultto? Dte le mtrici A = ; E, B = ; E, C = ; - E, esegui le operzioni indicte. - A, A$ C. A$ B, B$ A. 7 B$ C- B, C - C$ A. 8 A$ ( B- C), A$ B$ C. 9 ( A+ B) $ ( A- C), B$ C- A$ ( B+ C)., - ;; E ; EE - 7, 8 - ;; E ; EE - - -, > ; E > - HH - - 7, 8 ;; E ; EE - -, 9 - ;; E ; EE Inserisci nel qudrtino il segno di operzione che rende ver l uguglinz = > H > H > H [-] 7 Dt l mtrice A = ; - E, clcol A e A. 8 ; A = ; E, A = ; EE Dte le mtrici A = - ; - E e B = ; E, clcol A, B, A - B e (A + B). -, 7, - -, ;; E ; E ; E ; EE Dte le mtrici A = - ; E e B = ; E, verific che: - ) (A + B)! A + AB + B ; b) (A + B) = A + AB + BA + B. 7 Dte le mtrici A = ; - E e B = ; E, verific che: ) ( A+ B) $ ( A-B)! A - B ; b) ( A+ B) $ ( A- B) = A + A$ B-B$ A- B. Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der] 7

18 Determin l mtrice. 9 7 ; E $ = ; 7 ; E$ = ; E E - - ;; EE ;; EE 77 ; E $ ; E = $ ; E $ ; E= ; E - ;; EE - Dte le mtrici A=, B=, C= - - ; E ; E ; E, trov l mtrice - - = ; b c d E che verific le seguenti uguglinze. 79 -( A+ ) = B- C. 8 A+ B = C-. Nei seguenti esercizi determin i vlori d sostituire lle incognite per rendere ver l uguglinz = - - ; ; EE > = > 7 HH - x y ; 7 E $ z - > H = ; E [ x =, y =, z =, t = ] - t x ; E $ y = - - > H ; E [ x =, y = ] - x 8 x x+ x+? $ > H = [ ] [ x = ] 8 x - - ; E $ > x H = ; E [ x = ] 8 x +. I DEEMINANI eori pg. 7 Il determinnte di un mtrice 8 EECIZIO GUIDA Clcolimo il determinnte dell mtrice: ; - E. Per ottenere il determinnte eseguimo l differenz fr il prodotto degli elementi dell digonle principle e il prodotto degli elementi dell digonle secondri: digonle secondri det> H = $ (-)- $ =- - =-7. - digonle principle 8 Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

19 Clcol il determinnte delle seguenti mtrici di ordine. 8 ; - E [7] 9 87 ; E [] ; - 7 E [9] 8 89 ; - E [] 9 : - D : - D + b ; E [- b ] - b Il determinnte di un mtrice x + x ; E x x - [- ] x ; E x x+ [ x ] < [ - ] x < F x x [ x - x] 97 EECIZIO GUIDA Clcolimo, fcendo uso dell regol di rrus, il determinnte dell mtrice A = > 9 -H. - 7 icopimo destr dell mtrice i termini delle due prime colonne: Moltiplichimo i termini dell digonle principle e delle due digonli prllele destr di tle digonle: $ $ = ; $ (-) $ (-) = ; 9 $ $ 7 =. ommimo i tre prodotti ottenuti: + + = 7. ipetimo il procedimento moltiplicndo i termini dell digonle secondri e delle due prllele destr di quest e scrivimo i prodotti: - $ $ 9 = ; 7 $ (-) $ = - ; $ $ =. ommimo i prodotti: + (-) + = -. Il determinnte è ugule ll differenz fr l prim e l second somm di prodotti: det A = 7 - (-) = 9. Clcol i determinnti delle seguenti mtrici > H [- ] > H [- ] > H [- ] 99 - > H [- 9] - - > H [- 8] - > H [- ] Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der] 9

20 x x + x -x x + x > H [ ] > H [ ] > H [ ] x x x x x x > H [ x ] 9 - > H [- ] x - x + x - x x - x > H [- x] - > H [ ] - > H [ 9] x x > H [- x] > H [ ] > H [ ] Clcol i determinnti delle seguenti mtrici e verific che sono tutti uguli. Qule proprietà puoi dedurre? ; E 7 ; E 9 ; E ; E - > H > H > - - H > H Clcol il determinnte dell seguente mtrice e di quell d ess ottenut moltiplicndo per - gli elementi dell prim rig. ; - E [; -] Clcol il determinnte dell seguente mtrice e di quell d ess ottenut moltiplicndo per - gli elementi dell prim colonn. ; E [; -] - - Clcol il determinnte dell seguente mtrice e di quell d ess ottenut moltiplicndo per 7 gli elementi dell prim colonn. - > H [-; -] Clcol il determinnte dell seguente mtrice e di quell d ess ottenut moltiplicndo per gli elementi dell terz rig. - - > H [; ] - 7 Dt l mtrice ; E, determin un second mtrice ottenut ggiungendo ogni ele- - mento dell prim rig il corrispondente dell second rig moltiplicto per e verific che le due mtrici hnno lo stesso determinnte. [-] - 8 Dt l mtrice > H, determin un second - mtrice ottenut ggiungendo ogni ele- mento dell prim rig il corrispondente dell terz rig moltiplicto per - e verific che le due mtrici hnno lo stesso determinnte. [-] Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

21 Per ognun delle seguenti mtrici, scrivi un mtrice ottenut scmbindo fr loro due righe, clcolne i determinnti e verific che sono di segno opposto ; E [-; ] > - H [-9; 9] - 8 Per ognun delle seguenti mtrici, scrivi un mtrice ottenut scmbindo fr loro due colonne, clcolne i determinnti e verific che sono di segno opposto. - ; 8 E [-; ] > - H [-; ] - Per ciscun delle seguenti coppie di mtrici, clcol il prodotto e verific che l mtrice prodotto h determinnte ugule l prodotto dei determinnti delle mtrici dte ; E, ; E. [-; -; ] - - ; E, ; E. [-; -; ] > -H, > H. [; -; -] > > - -H, H. [; 7; 7] - - IEPILOGO I determinnti E 7 e A e B sono due generiche mtrici qudrte dello stesso ordine, qule delle seguenti uguglinze è ver? A A$ B = B$ A. B A- B = B- A. C det( A$ B) = det( B$ A). D A+ ( A$ B) = A$ ( A+ B). E ( A$ B) - B = A- B. 8 A e B sono due mtrici. In qule dei seguenti csi non è possibile eseguire il prodotto fr le mtrici A e B? A A è un mtrice qudrt di ordine e B è un mtrice colonn con elementi. B A è un mtrice rig con elementi e B è un mtrice colonn con elementi. C A è un mtrice rig con elementi e B è un mtrice rettngolre #. D A è un mtrice colonn con elementi e B è un mtrice rig con elementi. E A e B sono mtrici qudrte di ordine. 9 Il prodotto fr le mtrici A = ; E B - e = > è l mtrice: A ; - E. - B ; E. - C ; E. 7 D ; E. 8 E non si può clcolre. Il determinnte dell mtrice A. D 8. B 9. E - 9. C -. H - > H è: Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

22 e in un mtrice qudrt si scmbino prim due righe e poi due colonne, che cos succede l determinnte? A Divent nullo. B Non cmbi. C Divent doppio del determinnte inizile. D Divent qudruplo del determinnte ini zile. E Non è possibile rispondere poiché non si conoscono le righe e le colonne che sono stte scmbite. Dte due generiche mtrici qudrte A e B dello stesso ordine, un sol delle seguenti uguglinze è fls. Qule? A det (A $ B) = det (B $ A) B det (A + B) = det A + det B C det A = det A D det (A ) = (det A) E det (A $ B) = det B $ det A - Clcol il determinnte del prodotto delle mtrici: -, - 8 ; E. [-] pieg il significto di «moltipliczione righe per colonne fr mtrici» e mostr, con un esempio numerico, che quest operzione non gode, in generle, dell proprietà commuttiv. Dte due mtrici A di tipo m# n e B di tipo p# q, che relzioni devono esserci fr m, n, p, q ffinché si possno definire si A$ B si B$ A? In tl cso, l moltipliczione è commuttiv? Fi un esempio. Clcol il determinnte delle seguenti mtrici > H [-] 9 - > H [] x 7 x + x + x x > H [-x ] > H [- ] > H [] x x x x x > H [x ] erific le seguenti uguglinze. - x y = 7 9 x - y = b c b c = b + c + - = - Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

23 Dte le mtrici - - A = -, B = -, C = > H > H > H, rispondi lle seguenti richieste. Clcol det(a + B + C). [- ] 7 Clcol det(a $ B $ C ). [ ] 8 Clcol det( B+ C) $ A. [] 9 Clcol det( A$ B- C). [] erific se det A = ( det A). [sì] erific se det A$ B = det B $ A. [sì] isolvi le seguenti equzioni. x x -7 = 8 [] x x = - x [- ] x- x- IEPILOGO Mtrici e determinnti Dte le mtrici A = - e B = - -, clcol le seguenti espressioni A + B; B - A. > A+ B = > H; B- A = > - HH A + B; -A + B. A+ B = ; - A+ B = - Dte le mtrici A = ; E, B, C, = ; E - = ; E clcol le seguenti espressioni > > H > HH 7 A$ ( B+ C) ; A$ B- C. ; A$ ( B+ C) = ; E; A$ B- C = ; EE Determin l mtrice nell equzione: ; E- = ; E. ;; EE ( A+ B) $ ( B- C) ; A$ B+ B$ C. ;( A+ B) $ ( B- C) = ; E; A$ B+ B $ C = ; - EE -8-9 Dte le mtrici A = ; - E, B = ; E, C = ; - E, verific queste proprietà: - ) (A $ B) $ C = A $ (B $ C); b) A $ (B + C) = A $ B + A $ C; c) (B + C) $ A = B $ A + C $ A; d) (A + B) $ C = A $ C + B $ C; e) C $ (A + B) = C $ A + C $ B. Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]

24 Clcol il determinnte delle seguenti mtrici > H [ 8] > H [ ] 7 Clcol il determinnte del prodotto delle mtrici - e - ; E. [] 7 Dte le mtrici A = ; E, B = ; - Ee C = ; - E, - ) verific che A $ (B + C) = A $ B + A $ C; b) clcol il determinnte dell mtrice A e il determinnte dell mtrice D = B + C; c) verific che det A $ det D = det (A $ B + A $ C); d) se E = ; E, determin, se possibile, in modo tle che E $ (A $ B + A $ C) = (A $ B + A $ C) $ E. - - [b) det A = ; det D = 8; d) impossibile] 7 Dte le mtrici - A = > - H, B = > -H, C = > H, ) verific che A$ ( B+ C) = A$ B+ A$ C; b) clcol il determinnte dell mtrice A e il determinnte dell mtrice D = B+ C; c) verific che det A$ det D = det( A$ B+ A$ C) ; d) se E = > H, determin in modo tle che E$ ( A$ B+ A$ C) = ( A$ B+ A$ C) $ E. b) det A = ; det D =-7; d) impossibile@ 7 Let A = ; E, B = ; E, - - nd C = > H. ) Compute A+ Bnd A- B. b) Compute A$ C nd C$ A. (CAN University of New Brunswick, Mth est, ) - 7 If A = > - -H nd B = > - H, find A$ B nd B$ A, where possible. (CAN University of New Brunswick, Finl Exm, ) - A$ B = > ; B$ Anot possible 7 > H H A B ; A B ; 7 > ) + = - = ; E b) A$ C = ; E ; C$ A = - - > - HH Copyright Znichelli editore pa, Bologn [8 der]